浅谈一类带有时滞线性切换系统的鲁棒二次镇定性

姜亚婷

【摘要】在實际的工程控制中，频繁地出现一类带有时滞的线性切换系统，涉及领域广泛，对系统的稳定性等性能有着一定的影响.考虑到切换系统的控制问题时，一个理想的环境是切换的控制器与系统的切换状态同步，所以，考虑一个系统的线性状态反馈鲁棒二次镇定方法也变得非常重要.

【关键词】线性切换系统；动态输出反馈控制器；闭环系统；鲁棒二次镇定方法

考虑下列线性切换系统：

x·（t）=Aσ（t）x（t）+Bσ（t）μ（t）+Eσ（t）x（t-h），

x（θ）=φ（θ），θ∈[-h，0]，

y（t）=Cσ（t）x（t）.（1）

由下面的动态输出反馈控制器：

ζ·（t）=Gσ（t）ζ（t）+Lσ（t）y（t），

μ（t）=Kσ（t-τd）ζ（t）.（2）

应用动态输出反馈控制器（2）到系统（1）中，我们可得到下列闭环系统：

x·（t）=A～σ（t）x（t）+E～σ（t）x（t-h（t）），（3）

则我们引入无记忆状态反馈控制率μ（t）=Kσ（t-τd）ζ（t）后，闭环系统可写为

x=x

ξ，

A～σ（t）=A-σ（t）B-σ（t）Kσ（t-τd）

Lσ（t）Cσ（t）Gσ（t），

E～σ（t）=E-σ（t）0

00.

考虑如下的Lyapunov函数：

V（x（t），t）=xT（t）Px（t）+∫tt-h（t）xT（s）R1x（s）ds.

沿闭环系统V·（x，t）=2xTP[A+ΔA（t）]x≤-α‖x‖2关于时间t的导数为：

V·（x（t），t）=x·（t）Px（t）+x（t）Px·（t）+xT（t）R1x（t）-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））

=xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）+xT（t-h（t）） E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）+xT（t）R1x（t）-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））.（5）

其中，P为正定矩阵，R1∈Rn×n，标量ε>0.

由V·（x（t），t）=-ε‖x（t）‖2等价于

xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）

+xT（t-h（t））E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）

+xT（t）（R1+εI）x（t）

-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））<0.（6）

考虑到满足条件0≤h（t）≤h<∞，且h·（t）≤ρh<1，其中存在正实数h，ρh对所有的t，上式等价于

xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）

+xT（t-h（t））E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）

+xT（t）（R1+εI）x（t）

-（1-ρh）xT（t-h（t））R1x（t-h（t））<0.（7）

上式可以表示成

xT（t）xT（t-h（t））ΞxT（t）

xT（t-h（t））<0，（8）

其中

Ξ=A～Tσ（t）P+PA～σ（t）+R1+εIPE～σ（t）

-（1-ρh）R1.

对所有的（x（t），t）∈Rn×R，t>0及初始条件x（t）=φ（t），t∈[-max（h（t）），0] 不等式都满足.显然其等价于Ξ<0，则系统（1）是鲁棒二次可镇定的.

【参考文献】

[1]D Liberzon.Switching in Systems and Control[M].Birkhauser Boston，2003.

[2]L Vu，M A Kristi.Stability of time-delay feedback switched linear systems[J].IEEE Trans.Automat.Control，2010，55（10）：2385-2389.

[3]R Wang，J Zhao.Reliable guaranteed cost control for uncertain switched nonlinear systems[J].Int.J.Syst.Sci.，2009，40（3）：205-211.