强化数学概念培养简约思维模式

周小东

【摘要】在数学教学中，教师有目的地通过问题情境的设置，以问题的形式来呈现出对于概念的理解与灵活的应用，可以强化概念，达到对数学问题的本质性认识.在问题的解决过程中，不断地渗透数学思想方法，培养数学思维能力，增强学生的自信心，使学生享受成功的体验，从而提高分析问题与解决问题的能力.

【关键词】概念；能力；思维

数学能力的核心是数学思维能力，数学思维能力的提高，必须以数学知识为载体，而数学概念的掌握，正是进行判断、推理，建立定理的基础，因此，清晰的概念是正确思维的前提.数学概念的掌握，遵循螺旋上升的认识的规律性，需要经过大脑系统的反复比较、判断、甄别等复杂过程的过滤，在运用中得以提升.因此，在教学中，应该不失时机地选择一些具有代表性的问题进行训练，不仅能够更好、更快地理解概念，而且也有利于培养分析问题解决问题的能力，从而达到提高思维能力的目的.

一、准确理解题意的能力

精心选择合适的问题，着意培养学生理解概念，以及运用概念分析问题与解决的能力.即能对给出的数学问题进行认真的阅读，理解题意，把握其中的内涵.

例1已知函数f（x）=3sin2πx2+1，使f（x+c）=f（x），对于任意x∈R都成立的正整数c的最小值是.

分析把对题意的理解和函数周期性定义进行比较，发现本题的目的就是要求函数的最小正周期.故函数可等价于f（x）=3sinπx2+1的周期，或者函数可变形为f（x）=32（1-cosπx）+1=52-32cosπx，从而得周期为2.

二、构建概念的能力

由于数学概念的抽象性以及认识的螺旋性，因而，对于数学概念的把握，如果能通过问题形式的呈现，那么对数学概念的理解将会由感性认识达到理性认识，从字面上的识记达到与函数及图像结合的动态性效果，从而完整准确地领悟数学概念，构建数学概念.

例2若函数f（x）=13x3-x在（a，10-a2）上有最小值，则实数a的取值范围为.

分析这是对函数最值问题的具体化.该函数在开区间上必有极小值，并且这极小值就是函数f（x）的最小值.因此，先求出函数f（x）在开区间上的极小值，并且将端点处的函数值与极小值进行大小比较，即可求得实数a的取值范围.通过对该问题的解决，不仅加深了对函数最值概念的理解，有助于澄清函数的极值问题与最值问题之间的区别与联系，而且对最值概念的理解也经历了动态化思维方式以及直观化的思维形式，从而达到对概念的建构.同时，借助于图形的直观，可以使得数的问题的解决在数形结合中得到优化.

三、简化运算的能力

提高运算能力是数学教学的重点目标之一，准确运用相关的概念，可以简化运算过程，达到快速准确的目的，同时，也有利用于提高学生学习的兴趣.

例3已知f（x）=4×2x+22x+1+ln（x+1+x2），若f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分别为M，N，则求M+N的值.

分析从给出的函数解析式来看，这是一个复杂的函数，我们无法画出其图像，但从函数定义在对称的闭区间上，我们就可以从函数的性质，即奇偶性方面分析探索其解题的思路.通过此问题，我们可以将奇偶性的知识激活，借助于恒等变形，将所求的问题的运算得到简化，并且也强化了概念的运用.

四、化归的能力

化归的能力是中学数学教学目标最重要的能力之一.善于利用化归的数学思想，将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉的问题，将未知问题转化为已知问题来求解，是提高数学思维能力的核心能力，也是高考中必考的重要的数学思想方法.

例4若函数f（x）=4xx2+1在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则求实数m的取值范围.

分析解决本題的关键在于根据定义的等价形式，将所求的问题转化为导数问题，利用导数中求函数单调性的方法来求解，也体现了知识与解法的与时俱进性.先求出函数的导数

f′（x）=4xx2+1′=4[x2+1-2x2]（x2+1）2=4（1-x2）（x2+1）2，

令f′（x）>0，得-1

五、严密的推理能力

数学的严密推理能力在新课标中以及高考考纲中，都很明确且占据了很重要的地位.如何提高严密的数学推理能力，除了几何与代数方面的培养以外，运用定义，也可以强化此项能力，体现数学体系的严密性和数学论证的无懈可击性，即数学推理的严谨性.当学生对数学概念的本质有了理解，能够运用概念去分析与解决问题而获得成功体验时，那么他对数学及其应用就会发生兴趣，想要进一步学习更新、更深的东西，就会形成较好的动机，从而促进学生产生正确的信念，将会极大地提高数学能力与解题水平.

数学概念的灵活运用建立在对它充分地理解的基础之上，要纯熟运用它，形成思维的策略，还需要在问题解决的过程中多思考、多实践，以求简的思维意识贯穿于解题过程的始终，精诚所至，数学简约思维的模式终将形成.