对小学数学抽象素养培育的思考和探究

牛德芳

【摘要】抽象是数学最本质的特征之一，对于数学学科的建设和发展是不可须臾或缺的，但是抽象一词并不在《义务教育数学课程标准（2011年版）》的核心词中阐述，再加上一线教师们对课标的解读程度不同，致使很多教师在上公开课或者是常态课时，经常忽视培养学生的抽象素养，过多地关注课堂情境教学，重视直观引用和实际应用，导致了学生的抽象思维能力得不到发展.笔者认为抽象思想应该是贯穿于小学整个学习阶段的，学生的抽象能力培育对学生的思维能力、逻辑能力等有很好的帮助.

【关键词】抽象；数学学科

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的课程性质提到：“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展.”可见，学生抽象素养的培养是小学数学课堂教学的重点与本质之一.

史宁中教授认为：“抽象指脱离了具体内容的形式和关系，因此，具有广泛的应用性.”作为一线数学教师，应该不难理解，数学的概念和运算法则是在现实生活中通过抽象得到的，也就是说数学中的任何概念、定理、法则等，都具有一定的抽象性.虽然在教科书中，我们不曾见到书中写有“抽象”一词，但是在课堂中我们常常要求学生用概括性的话语去提炼共同点，用字母符号抽象概括出一组相关联的算式，用一定的模式或模型解释具体的事物，其实这些都是抽象素养培育的体现，不过在随着情境化导入教学、几何直观在教学中的强势应用和解决实际问题的大力推崇，抽象素养的培育似乎已经成为教师们遗忘的思想.

一、直面问题：抽象素养的培育危机

（一）错失时机的把握，欠缺抽象概念的建立

小学儿童思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维形式为主要形式.但这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性.所以，很多教师认为，学生接触抽象思维能力，应该或者必须先以具体形象思维为初始，然后，慢慢过渡到抽象思维，所以他们就认为学生的抽象思维能力的培养应该在中高年级甚至是高年级，而低年级或者中年级以具体形象思维培养为主就行了.

其實，可以回忆一下，在低年级从认识10以内的自然数说起，抽象就开始伴随着教学的进程.例如，1，2，3等数的认识.到了中年级，学生学习小数和分数的认识，比如，认识二分之一或者几分之一，就是抽象的学习.当然，到了高年级，百分数的认识等就更为抽象了.当然，这些属于数的抽象一类，其实除了数的抽象外还有图和形的抽象，比如，线段的初步认识，是让学生先观察毛线再拉直，从而抽象出线段.很多教师在教学的时候，只是将这些内容作为一节课来教，而没有认识到其实就是在引导学生培养抽象素养的过程.所以，课堂欠缺了抽象思维的引领，影响学生后续抽象学习，导致抽象概念的建立不明确.

（二）止步于直观层面，忽视抽象素养的培育

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出，要重视直观，处理好直观与抽象的关系.其实，课标也在提醒教师们不要只偏向于直观，只停留于直观，而不向深层次去发掘学生的思维潜力.

比如，在学习比较分数大小的时候，教师出示题目比较二分之一和三分之一的大小，有学生回答要看圆的大小才能判断，也就是有三种情况，这时教师只是分析学生没有认清是同一个圆，不同圆的几分之一不能比较，而没有从数的本身去分析，结果学生只会对分印象深刻，对数的认识很单薄.再比如，六年级表面积的学习中，经常会遇到求几个正方体拼成的不规则的立体图形，让学生求表面积的大小，有些学生仍然用数出面的个数再计算总的表面积的方法，教师没有指出这种方法的好坏，其实教师的本意是遵循学生的想法，因为比较直观地“数”出小正方形的个数毕竟较为容易理解，可是，教师应该引导学生学会从立体图形抽象出左面（或右面）、上面（或下面）、前面（后面）的图形，然后，用数学算式的方法进行计算，这种方法比第一种方法要有思维含量，不是拘于现有的直观图解决问题.

（三）本质上忽略抽象教学，推迟学生抽象能力的发展

由于在课标中没有明确定义抽象的概念和抽象的教学要求，所以很多教师基本上从本质上忽略抽象教学，很多时候都是在新授课结束后，进行巩固练习和课外提升，但是往往都是从题目的难度上去考虑的，并非是从数学最终的本质抽象素养去考虑的.

二、寻求途径：抽象素养的培育道路

（一）以生为本，把握抽象素养培育的时机

从小学数学的角度看，抽象主要包括数与数量关系的抽象、图形与图形关系的抽象.史宁中教授将抽象的深度大体分为三个层次.1.简约阶段：把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达.2.符号阶段：去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的实物在内的一类事物.3.通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物.仔细分析史宁中教授将抽象深度分为的三个层次，其实简约阶段的抽象深度，就是学生在低年级学习中应达到的程度；符号阶段的抽象深度，就是学生在中高年级学习中应达到的程度；第三阶段的抽象深度，就是学生在初高中学习中应达到的程度.这样的明确区分，也为教师们对学生抽象思想的培育方向提供了有利的证据，也就是说，需要教师把握时机，让学生的抽象能力能够在他们不同的阶段适当地发展.

学生在低年级学习11～20的认识时，也有抽象的思想，因为这些数相比1～9这些数来说较为复杂，但是这些数都是用了0～9这些数字符号进行组合，不过在意义上截然不同，需要教师们通过简单化、条理化的表述引导学生理解.

比如，学生在中年级学习长方形和正方形时，遇到这样一个问题：有两个长方形，长都是4厘米，宽都是2厘米，你会把它们拼成长方形或者正方形吗？拼成的图形的周长是多少？

这道题目，先让学生用准备好的两个完全一样大小的长方形拼一拼，发现会拼成两种不同的图形，一个是长方形，一个是正方形.启发学生，让学生去计算一下拼成的两个图形的周长，发现长方形的周长是32厘米，而正方形的周长是16厘米.

师：为什么都是用两个同样大小的小长方形拼成的图形，但是周长却不相同呢？

同桌交流思考.

生1：因为它们拼成的图形不一样.

生2：我觉得它们拼成的图形周长不一样是因为长方形的周长实际上是4个原长与2个原宽的和，而正方形的周长是4个原宽与2个原长的和，肯定是长方形的周长大于正方形的周长.

师：能说得再清楚点吗？

生：那我在黑板上来写一写吧.

学生写下了下面的式子.

长方形的周长=4个原长+2个原宽

=2个原长+2个原长+2个原宽

正方形的周长=4个原宽+2个原长

=2个原宽+2个原宽+2个原长

生2：那么2条长肯定比2条宽要长，所以长方形的周长大于正方形的周长.

师：同学们，这名同学的做法一目了然，我们还可以将长方形的周长中相同的部分画去，最后，发现就拿2个原长和2个原宽做比较，更加一目了然.

新课程理念中，提倡学生要“开放”，而开放程度越高，学生的思维就越高，教师鼓励学生的想法多样化有个性，这名学生的想法意境属于符号阶段的想法了，他能够通过用代数的做法来解决这个问题，具有抽象性，应顺应学生的想法，搭建抽象能力提升的平台.

（二）正确处理直观与抽象的关系，重视抽象要求的体现

在教学中，我们可以通过直观逐步抽象出数学概念，为抽象的能力提高铺平道路，但是也要正确衡量直观与抽象的关系，直观教学的不断深化，导致学生都失去了本有的抽象能力，其实过度地直观，有时候会让学生的大脑活动不起来.

比如，学生在学习认识分数时，教师一般会通过大量的操作，帮助学生理解直观与抽象之间的联系，让学生把正方形、长方形、圆等，平均分成若干份，取其中的一份或几份进行观察，接著在大量具体分数的基础上，概括出分数的定义，这样的完整过程，就是不断体会概念的过程，帮助学生逐步形成抽象概括的能力.

可见，对于抽象与直观的关系，需要认真拿捏，既可以通过直观教学，为学生建立“逐步抽象”做准备，又要通过从直观到抽象转折处进行引导，进而处理好直观与抽象的关系.

（三）厘清抽象本质，明晰学生抽象能力的提升

数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程.根据小学生的心理特点和规律，小学数学的教学往往重操作和直观，但是操作和直观是教学的手段而非目的，要在适当的时机进行适度的抽象，由于数学抽象在数学中及教学过程中无处不在，所以这对发展学生的抽象思维能力和认识数学的本质是有好处的.

三、潜移默化：抽象思想的渗透意义

（一）抽象思想的渗透——发展学生抽象思维能力

抽象思维是指在思维过程中以概念、判断、推理的形式来反映事物本质属性和内在规律的思维，教师的课堂注重了学生抽象素养的培育后，学生就能够借助语言、运用符号和概念进行数学运算和推导了，从而能使得学生今后适应更难的数学学习.也可以说，通过学习数学培养学生的抽象能力，对于学习其他学科，对于研究解决其他领域的问题，对于今后在各种场面对事物错综复杂的多种因素，主动进行舍去次要因素、提取主要因素的分析活动，都是一种能够有效迁移的能力训练.

（二）抽象思想的渗透——发展学生构建数学建模的能力

列宁说过：“认识是人对自然界的反映，但是这并不是简单的、直接的、完全的反映，而是一系列的抽象过程，即概念、规律等的构成、形成的过程.”而模型思想建立的本质，就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系，其实，学生在学习过程中，总是从相对简单到相对复杂，从相对具体到相对抽象，逐步积累经验，从而形成运用模型去进行数学思维的习惯，在建构模型的能力的发展中，需要抽象思维的推动，比如，数概念的模型、运算模型、方程模型等，其实，都需要以抽象思想为前提.

（三）抽象思想的渗透——提升学生学科核心素养

数学是研究数量关系和空间形式的科学，那么数学课程中抽象素养的培育无疑是对学生学科素养的提升，在学习抽象得出的知识的同时，更多地要学习抽象概括的方法，以求知出数学最本质的内涵.我们都知道数学素养是必备的条件，而核心素养的概念界定是这样的：是学生在接受相应学段的教育过程中，逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.抽象的思想无论在今后的数学学习还是生活中，对人的发展和进步都有着不可或缺的作用.

【参考文献】

[1]朱智贤.儿童心理学[M].北京：人民教育出版社，1979：323.

[2]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之二[J].小学数学教师，2013（1，2合刊）：3-5.

[3]曹培英.从学科素养育学科育人价值看数学基本思想[J].课程·教材·教法，2015（9）：40-43.

[4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京大学出版社，2012.

[5]王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海：华东师范大学出版社，2014.