实数连续性诸命题的等价性的证明

李朋霖

摘 要：实数连续性诸等价命题为数学奠定了坚持基础，但目前，关于诸命题的等价性证明研究较少。为了了解实数连续性命题的结构及逻辑关系，本文介绍了实数连续性的概念及其命题描述，重点探讨了实数连续性诸命题的等价性证明。

关键词：实数连续性诸命题等价性证明

“极限”是数学分析中的基本运算，其以实数连续性为基石。而实数连续性有效区别了实数系与理数系，呈现了二者最本质的属性。对于实数而言，其最为显著的特点便是连续性，其可处理多种问题，如：呈现连续变量的变化状态，衡量不可公度线段之比等量。数学分析主要用于探讨连续变量变化规律，因此，实数的连续性对其有着积极的作用。

一、实数连续性的概念及其命题的描述

关于实数连续性的概念，不同理论对其有着差异化的描述，具体表现在以下几方面：第一，小数角度，实数为有限、无限循环、无限不循环小数；第二，戴德金角度，实数是与理数的区分；第三，康托尔角度，实数是由理数构成的基本序列；第四，魏尔斯特拉斯角度，实数为有理数集的上确界；第五，巴赫曼角度，实数为有理相关列确定的数。上述关于实数的定义，均体现出其具有连续性。

关于实数连续性命题的描述：一，单调有界数列存在极限；二，每个闭区间拥有唯一数h；三，如果非空集C有上界或者下界，则数C存在唯一的上确界或下确界；四，如果开区间集D覆盖闭区间[a，b]，则D所拥有的有限个开区间均覆盖上述该闭区间；五，如果C为有界无限点集，则其最少拥有一个聚点。

二、实数连续性诸命题的等价性证明

数学分析建立基础为极限理论，该理论的基石为实数连续性，其又与有理数系有着本质区别，因此，在高等数学学习过程中全面了解与认识实数连续性具有积极的意义。关于实数连续性命题主要有：单调有界定理、有限覆盖定理、闭区间套定理、聚点及确界定理等，上述定理利用不同形式论述了实数连续性，而具体模式为数学分析发展提供了可靠保障，本文对各个命题进行了介绍，并论证其等价性。

（一）命题描述

单调有界定理：如果数列递增或递减，并有上界或下界，则数列收敛，此时，单调有界数列一定有极限。闭区间套定理：假设闭区间C拥有一定性质，则C为闭区间套，同时在实数系中拥有唯一的点。界点定理，R的子集为A，y为R的某点，在一定条件下，y可为A的内点、外点及界点，如果A的任意点均为内点，则A为开集，如果数集A不等于非空，并且不等于R，则A一定存在界点。有限覆盖定理：数轴点集S，开区间集合为H，如果点集中的任意点均含在开区间内，则H为S的开覆盖，如果H中开区间有无限或有限个数，则H为S的有限开覆盖或无限开覆盖。以有限覆盖定理为例，假设H为闭区间M的一个开覆盖，则H中可选取出有限个开区间覆盖M。确界定理：如果A为非空数集，存在实数β，在满足充要条件下，β为数集A的上确界；如果A为非空数集，存在实数α，在符合充要要求下，α为数集A的下确界；如果非空数集A拥有上界与下界，则其必然存在唯一的上确界与下确界。戴德金定理：将实数划分为两类，在满足一定条件下，可对二者进行分拆，即：实数域划分，其中包括下类与上类，以实数域R为例，将其划分为A与B，必然存在实数β，此后将获得下类最大数与上类最小数。

（二）等价性证明

在明确实数连续性各命题后，可借助闭循环回路方法证实任意两个命题等价，在此基础上，不仅了解了系统各命题，还可认识其等价性，进而利于掌握证明分析中的关键定理思想方法。下面介绍几个定理的等价证明，具体如下：

1.单调有界定理与闭区间套定理，主要是证明ξ的存在性與唯一性，具体如下：[an，bn][an+1，bn+1]→数列单调增加且有上界→数列有极限。

假设ξ→ξ∈[an，bn]。同时，ξ唯一。

2.区间套定理与有限覆盖定理，证：利用反证法，两个定理结论均不成立，即：H中的有限个开区间难以覆盖[a，b]。此后将[a，b]进行等分，使其成为两个子区间，其中最少有一个子区间难以利用H中的有限个开区间覆盖，则记其为[a1，b1]，此时[a1，b1][a，b]，并且b1-a1=1/2（b-a）。再将[a1，b1]进行等分，使其成为两个子区间，最少有一个子区间难以利用H中的有限个开区间覆盖，记其为[a2，b2]，此时[a2，b2][a1，b1]，并且b2-a2=1/2（b1-a1）。上述步骤反复后，可获得闭区间列，在其满足一定条件下，可获得区间套，其中的任意闭区间均难以利用H中的有限个开区间覆盖，在此定理中，存在唯一点，由于H为[a，b]的一个开覆盖，经证明，必然存在属于H的有限个开区间覆盖[a，b]。

3.有限覆盖定理与界点定理，证：E为非空，使用发证法，假设E在[a，b]上无界点，由于[a，b]属于有界闭集，其一定被有限个开区间覆盖，此后从[a，b]中取有限个点，各点的领域并起来可覆盖[a，b]，二者矛盾，因此，假设不成立。

三、总结

综上所述，实数连续性定理形式各异，但均论述了实数集的连续性，为解决相关问题，表达式及证明方式各异，本文证明了各定理的等价性，相信，日后学习者关于实数连续性的认知将更加深刻。

参考文献：

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