加强命题巧证不等式——例说数学归纳法的间接应用

年四飞 (邮编：233400)

安徽省怀远第三中学

加强命题巧证不等式
——例说数学归纳法的间接应用

年四飞 (邮编：233400)

安徽省怀远第三中学

数学归纳法的实质在于：将一个无法(或很难)穷尽验证的与正整数n有关的命题转化为证明两个普通命题：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.有些表面看来与数学归纳法无关(或不易直接用数学归纳法证明)的命题，如能将其推广或加强，转化为一个更强的命题，而加强后的命题用数学归纳法易于证明，这样原来的命题就间接地得到了证明.加强命题有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论.下面通过几个具体的实例，介绍这两种方法在证明某些特殊命题中的应用.

1 将命题一般化

例1 已知a、b、c、d∈(0，1)，求证：abcd>a+b+c+d-3.

分析 本题直接证明比较困难，考虑把命题一般化：若a1、a2、…、an∈(0,1),则a1a2…an>a1+a2+…an-(n-1)(n∈N*,n≥2).

下面用数学归纳法证明推广后的命题.

(1)当n=2时，由于a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,所以

a1a2>a1+a2-1,不等式成立.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时，命题成立，即当a1,a2,…ak∈(0,1)时，有

a1a2…ak>a1+a2+…+ak-(k-1).

那么，当n=k+1 时，由于a1a2…ak∈(0,1),ak+1∈(0,1),则

a1a2…akak+1=(a1a2…ak)·ak+1>a1a2…ak+ak+1-1>a1+a2+…+ak-(k-1)+ak+1-1=a1+a2+…+ak+1-k.

这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.

根据(1)和(2)，可知一般化后的命题对任何大于1的正整数都成立.当n=4时命题自然也成立，所以原命题得证.

例2 若a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的实数，证明：

16(a1a2a3a4a5+1)>(1+a1)(1+a2)(1+a3)(1+a4)(1+a5).

分析 把命题一般化，推广为：若a1、a2、…、an都大于1，则当n≥2时，有

2n-1(a1a2…an+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+an).下面用数学归纳法证明这个不等式：

(1)当n=2时，2(a1a2+1)-(1+a1)(1+a2)=(a1-1)(a2-1)>0,于是

2(a1a2+1)>(1+a1)(1+a2)，所以不等式成立.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时，不等式成立，即当a1,a2,…ak都大于1时，有

2k-1(a1a2…ak+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak).那么，当n=k+1时，

2k(a1a2…ak+1+1)-(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)>2k(a1a2…ak+1+1)-2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)=2ka1a2…ak+1+2k-2k-1a1a2…ak+1-2k-1a1a2…ak-2k-1ak+1-2k-1=2k-1a1a2…ak(ak+1-1)-2k-1(ak+1-1)=2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1).

由于a1,a2,…ak,ak+1都大于1，故ak+1-1>0,a1a2…ak-1>0,所以

2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1)>0.这样就有

2k(a1a2…akak+1+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)，

也就是说n=k+1时，不等式也成立.

由(1)、(2)可得，推广后的不等式对于n取任何大于1的正整数都成立.n=5时不等式自然也成立，所以原命题得证.

2 加强结论

例3 已知n∈N*,n≥2，

分析 由于整个不等式不具有递推性，难于用数学归纳法证明.考虑将其结论加强为：

加强后的不等式用数学归纳法证明如下：

(1)当n=2时，不等式显然成立.

(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时，不等式成立，就是

这就是说，当n=k+1时不等式也成立.

根据(1)和(2)，可知加强后的不等式对任何大于1的正整数都成立.所以原命题成立.

下面用数学归纳法证明加强后的不等式：

(2) 假设n=k(k≥1,k∈N*)时，命题成立，当n=k+1时

由(1)、(2)可得，加强后的命题对于n∈N*都成立，所以原不等式成立.

对∀n∈N*,都有an>1.

这就是说n=k+1时不等式也成立.

根据(1)和(2)，可知加强后的不等式对于n∈N*都成立，所以原命题成立.

2017-01-13)