换元法在函数综合问题中的应用举隅

江志杰 (邮编：362100)江 钧 (邮编：362100)

福建省惠安第三中学 福建省惠安第一中学

换元法在函数综合问题中的应用举隅

江志杰 (邮编：362100)江 钧 (邮编：362100)

福建省惠安第三中学 福建省惠安第一中学

我们在解决数学问题时，经常将某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就叫换元法(又称辅助元素法、变量代换法)．它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有着广泛的应用．应该说，换元法的实质在于转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．笔者发现：在某一类含参的函数导数综合问题中，若能巧妙地引进新的变量，则可将分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，将陌生的问题变为熟悉的形式，从而使复杂的计算、推证和探究过程得以简化．

例1 (2017年福建省高三单科质检21改编)若函数f(x)=xln(x+a)不存在极值点，求实数a的取值范围．

点评 值得一提的是：本题如此换元“功能”巨大，一则目标函数定义域变得清晰明确，二则参数位置单一且易参变分离，巧妙地避开繁杂的分类讨论，大大地降低了抽象思维的门槛！同时它也启迪我们：在研究复杂的含参函数问题时，遇到参数深居于“内函数”难以参变分离的情形，若能适时地通过换元转化，则可起到化繁为简、化难为易之功效！

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

解析 (Ⅰ)略；(Ⅱ)本题题意简洁，利用零点存在定理，若能将连续函数g(x)“控制”为“开口向上、左减右增、极小值为负”的“单谷”函数时，即可满足题意．无奈由于参数m出现的位置多样，增加了多次求导运算的繁杂程度，也增添了所研究函数在结构、符号及性态等方面的不定性．因此本题貌似唾手可得的“香饽饽”，实则难以下手的“烫山芋”！

于是本题转化为φ(t)=(t2-3t+5)et-2t-5m2恰有两个零点，求m的取值范围．

故φ′(t)在R上递增(其中φ′(0)=0)．进而得到：φ(t)在(-∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增(且当t→+∞时，φ(t)→+∞；当t→-∞时，φ(t)→+∞)．

只需φ(t)min=φ(0)=5-5m2<0,故得m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

结束语 处理有关含参的函数导数压轴问题时，参数的位置无疑决定了函数结构的繁杂程度和解题难度，往往需要我们调用众多的知识技能和思想方法．很多人在解决该类综合问题时之所以受困遇阻，根本原因就是数学知识方法的联系性和系统性薄弱．可以说，换元法作为中学数学的常用方法，若能巧用于化解有关含参的函数综合问题，则可实现参数位置的转移和问题表征的转化，发挥了去繁从简、柳暗花明的解法功能．同时，换元法的灵活运用，也必将有利于我们追索复杂问题的题源或原型，从而挖掘出其相关的问题变式！

2017-01-12)