含参变量的分段函数的零点问题的特值分析法

罗志强 (邮编：246000)

安徽省安庆市第一中学

含参变量的分段函数的零点问题的特值分析法

罗志强 (邮编：246000)

安徽省安庆市第一中学

近几年高考数学试题出现带参变量的分段函数的零点问题，题型新颖，思维灵活，中等难度，内容丰富，切入点多.本文就图象解法，通过例题来介绍自己的一点探索，期望对大家有所启发.

例1 (2015湖南理)已知

分析 本题函数f(x)的图象是由函数y=x3和y=x2两个函数组合而成的，直线x=a把这两个函数图象分成两个部分，函数f(x)在直线x=a的左半部分是y=x3,右半部分是y=x2.由于a是变化的，故函数f(x)的图象也不断发生变化，为了方便分析，对a取特殊值进行讨论.

图1

图2

(1)取a=0,如图1.函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，由题意，是否存在实数b,使方程f(x)=b有两个不等的实数解，故当a=0时不符合题意.又函数f(x)右半部分是y=x2,函数y=x2的图象是抛物线，对称轴是x=0,结合图1知，当a<0时,符合题意.

(2)取a=1,如图2. 函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，从而g(x)也是(-∞,+∞)内的增函数不符合题意.又当a∈(0,1)时，有a2>a3成立，由图象2可知，当a∈(0,1)时，函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，符合题意.又当a∈(1.+∞)时，有a2

分析 本题函数f(x)的图象是由函数y=2x-a和y=4(x-a)(x-2a)两个函数组合而成的，分段函数的变量取值范围不变，解析式中含有参变量.其中函数y=2x-a的图形是指数函数图形的上下平移，函数y=4(x-a)(x-2a)的零点是a和2a,符合题意的是f(x)恰有两个零点，对a进行讨论.问题是函数y=2x-a是否有零点，且函数y=4(x-a)(x-2a)的零点是否在分段的范围内(x≥1).问题看起来很复杂，若取特殊值来研究就简单了.

图3

图4

图5

结合图3知，当a<0时函数y=2x-a的图象是指数函数图象的向上平移，图象与x轴无交点，且函数y=4(x-a)(x-2a)的零点不是在分段(x≥1)的范围内，故f(x)无零点.所以a≤0不符合题意.

(2)取a=1,f(x)=

(3)取a=2,

当10,函数y=2x-a在分段范围内(x<1)有一个零点，函数y=4(x-a)(x-2a)在分段范围内(x≥1)有两个零点a和2a,故f(x)有三个零点，不符合题意.当a>2时，根据图象分析，函数y=2x-a的图象是指数函数图象的向下平移，且2-a<0,函数y=2x-a在分段范围内(x<1)无零点，函数y=4(x-a)(x-2a)在分段范围内(x≥1)有两个零点a和2a,故f(x)恰有两个零点，符合题意.故a≥2符合题意.

两道试题各有特点，例1分段函数中的变量的取值范围含有参变量，函数解析式中不含参变量，例2则相反，分段函数的取值范围确定，函数解析式中含有参变量.两个函数的图象随参变量取值的变化，函数的图象也在变，千姿百态，丰富多彩，给大家留有变幻想象的空间.虽然图象不确定，但变化有规律.如何思考？怎么切入？我认为图形图象是抓手，从特殊值或极端情况切入，思路简单，机智应变.这两道题有多种解法，都没有图象法简洁明朗，直奔主题.这两道高考试题起点低，落点高，考查常规常法与基础知识基本技能，数形结合，考点多，入口宽.符合高考命题多考想、少考算的命题思维，是难得的函数图象创新题.

2017-01-10)