微幅晃动下考虑地基效应的矩形贮液结构动力响应研究

程选生， 景 伟， 李国亮， 李 德， 马 亮

(兰州理工大学 土木工程学院，兰州 730050)

微幅晃动下考虑地基效应的矩形贮液结构动力响应研究

程选生， 景 伟， 李国亮， 李 德， 马 亮

(兰州理工大学 土木工程学院，兰州 730050)

一般情况下矩形贮液结构通过底板直接坐落在地基上，有必要在考虑地基效应的基础上研究其动力特；定义微幅晃动波高限值，并建立矩形贮液结构的简化模型。采用人工边界模拟地基效应，建立了有限元计算模型，对比两类模型对应的晃动波高以验证简化模型的合理性，基于势流理论在微幅晃动范围内研究在不同边界条件、不同地震波和不同地震加速度幅值下矩形贮液结构的动力响应。结果表明，两类模型得到的晃动波高趋势一致，且最大晃动波高相差较小。在微幅晃动范围，液体最大晃动波高和地震加速度幅值成线性关系，考虑土-结构相互作用后，壁板水平位移、壁板有效应力和液体晃动压力有较大程度的的减小，而地基效应对液体晃动波高影响很小。

微幅晃动；土-结构相互作用；矩形贮液结构；黏弹性边界；流-固耦合；动力响应

钢筋混凝土矩形贮液结构在给排水等生命线工程和石油化工行业有着广泛的应用，该类特种结构在地震作用下失效不仅会影响人民的日常生活和工业企业的正常生产，而且还会引起液体泄漏导致火灾及环境污染等次生灾害，更甚者会威胁人民的生命安全。

贮液结构往往通过底板直接坐落在地基上，有必要在考虑地基效应的基础上研究该类结构的动力响应，关于地基效应对结构动力响应的影响，国内外学者做了大量的研究。夏栋舟等[1]推导了土-结构相互作用体系的耦合阻尼比公式，结果表明考虑土-结构相互作用后能够增大体系的阻尼性能，大大降低上部结构的地震作用；刘洁平等[2]提出了土-结构相互体系地震反映分析的简化评估方法；陈少林等[3]提出了一种分析三维土-结构动力相互作用的时域直接方法，该方法可同时得到土体和结构的反应；张之颖等[4]采用振动台试验研究了软弱基础上土-结构相互作用体系的阻尼特性；刘伟庆等[5]运用振动台试验研究得到土-结构相互作用会使结构的频率减小，能够改变结构体系的阻尼比；易伟建等[6]指出考虑土-结构相互作用后，基础变形对结构位移响应有很大的影响；刘毅等[7]采用整体有限元法分析了土-结构动力相互作用SSDI (Soil Structure Dynamical Interaction)下结构的动力特性，得到SSDI能使基础底面峰值加速度增大5%～30%，且地基土越软增大幅度越大。

贮液结构会由于流-固耦合的影响，在动力响应方面表现出一定的特殊性。王博等[8]采用集中弹簧模型考虑土-结构相互作用，结果表明土-结构相互对大型渡槽的模态和地震响应有影响；LARKIN[9]研究了考虑土-结构相互作用的储液池地震响应，得到与固支边界相比峰值加速度可增大2.3倍；程选生等[10]通过引入无量纲参数建立了弹性地基上矩形贮液结构液-固耦合系统的振动方程；KIANOUSH等[11]运用有限元法并考虑土-结构相互作用研究了地震频谱特性对混凝土矩形储液池动力响应的影响，得出考虑地基效应后，体系的最大脉冲基底剪力和基底弯矩会随着土体刚度的变化增大或减小；PATEL等[12]研究得出了地基参数对土结构相互作用有很大的影响，而且储液深度对结构响应的影响极大；张华等[13]研究了渡槽流固耦合体系的动力响应，得到SSI(Soil-Structure Interaction)效应对渡槽结构横槽向刚度和主应力有影响。课题组已在贮液结构的耦合振动和液动压力[14-16]、液-固耦合振动试验[17]、贮液结构自振特性的计算模型[18]和贮液结构液-固耦合地震响应[19]等方面进行了大量的工作。

矩形贮液结构由于流-固耦合作用表现出一定的特殊性，为了全面掌握该类结构在地震作用下的灾变问题，有必要研究考虑地基效应对其动力响应的影响。本文通过在贮液结构底部设置黏弹性人工边界来考虑地基效应，定义了微幅晃动波高限值，基于计算流体动力学，采用势流理论研究了矩形贮液结构在微幅晃动下的动力响应，通过对比不同边界条件的计算结果，得到了地基效应对贮液结构动力响应的影响规律，有助于为矩形贮液结构的合理设计提供理论依据。

1 微幅晃动

液体晃动波高的大小对贮液结构求解方法的选择及动力响应都有很大的影响，因此，合理地确定微幅和大幅晃动的界限对贮液结构流-固耦合研究显得尤为重要。若液体为微幅晃动(见图1)，则其求解可采用线性势流理论，从而使得计算分析大大简化。因此有必要以速度势函数φ为分析对象，导出液体微幅晃动需要满足的条件。

图1 微幅晃动Fig.1 Small sloshing

由速度势函数表示的流体运动Bernoulli方程可表达为

(1)

式(1)中，当自由液面未扰动时，z=0，并令此时作用的大气压强为P0，则C(t)=P0/ρ。

从自由液面动力学边界条件可知，在自由表面作用着大气压强P=P0，于是在液体自由表面式(1)可简化为

(2)

若要满足线性化，由式(2)得到速度势函数必须满足

(3)

即

(4)

黄德波[20]利用分离变量法得到了液体线性晃动对应的速度势函数的近似表达式

(5)

将式(5)代入式(4)并化简得

(6)

式中：a为波幅；h为贮液高度。

表达式(6)需在流体域的各个位置都满足，则可令z=0，进一步由式(6)得到

(7)

对于微幅晃动，thkh≈kh，引入高阶无穷小量ε，考虑到表达式(7)的任意性，且液体晃动以一阶为主，则可取k=1，由此得到微幅晃动波幅a需要满足的条件

a≤ε×h

(8)

式中，ε为高阶无穷小量(≤10-1)。

2 计算模型及动力响应求解

在矩形贮液结构底部使用人工黏弹性边界模拟土-结构相互作用，将贮液结构中的液体按三质点体系模型进行简化，即液体总体分为3部分：刚性质量m0、对流质量mc和脉冲质量mi。由于钢筋混凝土结构本身质量较大，在动力分析中还需要考虑混凝土质量m，由于在模型中假定液体刚性质量和贮液结构一起做刚性运动，为了简化并减少自由度，因此可以将钢筋混凝土贮液结构的质量m和液体刚性质量m0进行叠加，得到总刚性质量m+m0，最终得到考虑地基效应钢筋混凝土矩形贮液结构的简化力学模型如图2所示[21-22]。

图2 简化模型Fig.2 Simplified model

根据Hamilton原理，得到该系统的能量平衡方程如式(9)

(9)

式中：T为系统的动能；V为系统势能；δWc为系统阻尼耗散能。

(10)

(11)

(12)

(13)

在ti时刻位移给定的前提下，可采用Wilson-θ方法得到ti+θΔt时刻的位移，当θ足够大(≥1.37)时，Wilson-θ是无条件稳定的。采用该种方法求解时，存在逐步积分表达式(14)

(14)

(15)

(16)

式中，M、C和K分别为体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。

(17)

(18)

(19)

3 数值算例

3.1 计算模型

钢筋混凝土矩形贮液结构尺寸为6 m×6 m×4.8 m，壁板厚度为0.3 m，储存液体高度为2.4 m。对于矩形贮液结构，可取ε为10-1，由此得到微幅晃动的限值为0.24 m。考虑流-固耦合，在贮液结构底部设置人工黏弹性边界模拟土-结构相互作用，采用实体单元模拟壁板，采用势流单元模拟液体，液体密度为1 000 kg/m3，体积模量为2.3×109Pa。运用ADINA建立计算模型如图3所示，混凝土材料参数见表1，黏弹性边界参数见表2。

图3 计算模型Fig.3 Computational model

密度ρ/(kg·m-3)切线模量E/Pa抗拉强度σ/Pa抗拉屈服强度σ/Pa25003.38×10102.39×1062.2×106抗压强度σ/Pa压应变ε极限抗压强度σ/Pa极限压应变ε-40×106-0.002-26.8×106-0.004

表2 黏弹性边界参数

3.2 模型验证

简化模型动力方程的质量参数m0、mc和mi，阻尼参数Cc、Ci和C0以及刚度参数Kc、Ki和K0参考文献[23]计算得到，具体参数见表3，地基参数k和c分别为7.44×107N/m和1.20×107N·s·m-1。运用MATLAB编程求解简化模型对应的动力方程，简化模型对应的晃动波高由式(20)得到

(20)

式中：b为平行于地震作用方向贮液结构的边长；g为重力加速度。

表3 简化模型参数

运用数值仿真工具ADINA求解计算模型，有限元计算模型黏弹性边界取参数I。为简化计算，假定混凝土为线弹性材料，弹性模量为3.38×1010Pa，密度为2 500 kg/m3，泊松比为0.2。选取Chichi波为地震作用，PGA为0.4g。对比简化模型和计算模型对应的晃动波高，以便验证模型的合理性，两类模型晃动波高的计算结果对比见图4。

图4 计算结果对比Fig.4 Comparison of calculation results

由图4得到，三质点简化模型和有限元计算模型在计算液体晃动波高时得到的趋势基本一致，同时，两者得到的晃动波高最大值分别为0.235 m和0.211 m，计算结果相差较小，从而说明了考虑地基效应混凝土矩形贮液结构三质点简化模型的合理性。

3.3 边界条件对贮液结构动力响应的影响

在临界波高确定的基础上，基于势流理论研究液体微幅晃动问题。为了研究地基效应对矩形贮液结构动力响应的影响规律，本文考虑了四种边界条件：①底部固支；②黏弹性边界I；③黏弹性边界II；④黏弹性边界III。所选取的用于时程分析的四条地震波Chichi波、Kobe波、Trinidad波和Friuli波对应的反应谱曲线见图5。

图5 反应谱Fig.5 Response spectrum

基于增量动力分析原理，对选取的四条地震波调幅，使其幅值依次为0.10 g、0.15 g、0.20 g、0.25 g、0.30 g、0.35 g和0.40 g。通过对计算模型输入Chichi波、Kobe波、Trinidad波和Friuli波，得到矩形贮液结构在液体微幅晃动下的动力响应，最大晃动波高和地震幅值的关系见图6，最大晃动波高对应的节点液体晃动时程曲线见图7，壁板水平位移时程曲线见图8，最大液动压力和地震幅值的关系见图9，壁板最大有效应力和地震幅值的关系见图10。限于篇幅，图7～图10只列出了Chichi波和Kobe波对应的计算结果。

图6 最大晃动波高与地震幅值关系Fig.6 Relationship between the maximum sloshing height and seismic amplitude

由图6可知，在液体微幅晃动下，四种边界条件下液体最大晃动波高与地震加速度幅值成线性关系，在地震三要素中持续时间和加速度幅值相等的情况下，Chichi波、Kobe波和Friuli波三条地震波对应的液体最大晃动波高和Trinidad波对应的值有较大的差别，主要原因在于地震动频谱特性对液体晃动波高有很大的影响。该贮液结构的周期在3 s左右，由图5地震波反应谱曲线可以看出，3 s左右Chichi波、Kobe波和Friuli对应的反应谱曲线非常接近，即结构第一周期对应的加速度反应谱Sa(T1)相差很小，而Trinidad波对应的加速度反应谱最小，使得Trinidad波对应的最大晃动波高在同一地震波幅值下与其它三条波相比其值最小。

图7 四种边界下晃动波高时程曲线Fig.7 Time history curves of sloshing height under four kinds of boundary conditions

由图7得到在Chichi波和Kobe波作用下，钢筋混凝土矩形贮液结构的液体微幅晃动波高在四种边界条件下相差非常小，即就贮液结构液体晃动波高来说，是否考虑地基效应以及地基参数取值对其计算结果的影响很小。

由图8得到支座边界条件对壁板水平位移的影响不容忽视，贮液结构固支的壁板水平位移计算结果明显大于黏弹性边界，最大水平位移在固支和黏弹性边界下，计算结果最大能相差好几倍。考虑土-结构相互作用时，地基的刚度和阻尼参数取值对壁板水平位移有影响，由于地基阻尼等的影响，使得结构的响应有很大程度的减小。考虑土-结构相互作用后，当地基参数取值合理，在允许的误差范围时，不同参数取值引起的结构动力响应相差较小，可以满足工程的分析精度要求。

图8 四种边界下壁板水平位移时程曲线Fig.8 Time history curves of wall horizontal displacement under four kinds of boundary conditions

图9 最大液动压力与地震幅值关系Fig.9 Relationship between the maximum hydraulic pressure and seismic amplitude

由图9得到在四种边界条件下最大液体晃动压力随着地震加速度幅值的增大而增大，考虑地基效应后，晃动压力值相比于固支边界有较大的减小，最大可相差9%左右。另外，考虑地基效应后，地基参数的不同取值对液动压力有影响，但不是很大。

由图10得到，在Chichi波和Kobe波作用下，四种边界条件对应的壁板有效应力最大值随着地震动幅值的增大而增大，考虑地基效应对壁板有效应力有很大的影响，固支和黏弹性边界相比，有效应力最大值可相差1.5左右倍。另外，地基参数的取值对有效应力计算结果有影响，但总体来看，其影响比较小，在某些地震加速度幅值下，四种边界计算结果基本相等。

图10 壁板有效应力与地震幅值关系Fig.10 Relationship between effective stress of tank wall and seismic amplitude

4 结 论

本文基于势流理论，在结构几何尺寸及水深等参数确定的情况下，定义了微幅晃动临界波高限值，通过在贮液结构底部设置人工黏弹性边界来考虑地基效应，研究了矩形贮液结构在微幅晃动下的动力响应，主要结论如下：

(1)在微幅晃动范围内，地震作用下液体晃动最大波高和地震加速度幅值基本成线性关系，该结论有助于对贮液结构在液体微幅晃动下，同一地震波而加速度幅值不同的晃动波高进行预测。

(2)四种边界条件下，相同位置节点的液体晃动波高时程曲线相差很小，由此得到考虑地基效应与否对晃动波高的计算结果影响不是很大。

(3)考虑地基效应后壁板水平位移、液体最大晃动压力和壁板有效应力都有较大程度的减小，经过合理设计，可采用较薄的壁板从而节约资源。四种边界条件下，地震幅值越大，晃动压力和有效应力也越大。

(4)考虑土-结构相互作用后，当地基参数取值合理，在允许的误差范围时，不同参数取值引起的结构动力响应相差较小，可以满足工程的分析精度要求。

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Dynamic response of a rectangular liquid-storage structure considering foundation effect under small amplitude sloshing

CHENG Xuansheng, JING Wei, LI Guoliang, LI De, MA Liang

(School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

A rectangular liquid-storage structure is often located on a foundation through bottom plates, it is necessary to study its dynamic characteristics considering the foundation effect. Here, the limit height of small amplitude sloshing was defined, the simplified model of the rectangular liquid storage structure was established. Using artificial boundaries to simulate foundation effect, the finite element calculation model was established. Sloshing heights corresponding to two kinds of models were compared to verify the rationality of the simplified model. Based on the potential flow theory, the dynamic responses of the rectangular liquid-storage structure under different boundary conditions, different seismic waves and different seismic acceleration amplitudes were studied. The results showed that the sloshing height trends of the two kinds of models are consistent, and the difference of the maximum sloshing heights is small; in the range of small amplitude sloshing, there is a linear relationship between the maximum sloshing height and the amplitude of earthquake acceleration; after considering soil-structure interaction, the tank wall horizontal displacement, tank wall effective stress and liquid sloshing pressure have a larger level of reduction, but the foundation effect has little influence on liquid sloshing height.

small amplitude sloshing；soil-structure interaction；rectangular liquid-storage structure；viscoelastic boundary；fluid-structure interaction；dynamic response

国家自然科学基金(51368039；51478212)；教育部博士点基金(博导类)(20136201110003)；甘肃省科技支撑计划(144GKCA032)

2015-10-09 修改稿收到日期： 2016-01-24

程选生 男，博士，教授，1972年生

景伟 男，博士生，1988年生

TU357

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.025