基于样条无网格法的厚/薄压电功能梯度板动力分析

李双蓓， 吴 海， 莫春美

( 1. 广西大学 土木建筑工程学院，南宁 530004； 2. 广西大学 广西防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁 530004)

基于样条无网格法的厚/薄压电功能梯度板动力分析

李双蓓1,2， 吴 海1， 莫春美1

( 1. 广西大学 土木建筑工程学院，南宁 530004； 2. 广西大学 广西防灾减灾与工程安全重点实验室，南宁 530004)

在将板的挠度和剪切应变作为场变量的基础上增加考虑面内位移，采用样条无网格法建立了热环境下厚/薄压电功能梯度板动力分析新的计算格式。考虑功能梯度材料的物性参数随温度改变以及温度变化引起的面内力，讨论了压电FGM板在不同边界约束下材料梯度指数变化时，面内位移及面内力对热环境下压电功能梯度板的动力特性和动力响应的影响。分析结果表明，新建立的模型对厚/薄压电功能梯度板动力分析具有通用性和有效性，没有剪切闭锁现象，且计算效率和计算精度较高。

样条无网格法；厚/薄板；压电功能梯度板；面内位移；动力特性；动力响应

压电材料是一种具有正逆压电效应的新型智能材料，能够将机械能和电能进行转换，被广泛应用于结构的健康检测、监控以及结构的形状、振动控制等方面。功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是一种没有明显分界的新型复合材料，能消除物理性能的突变，热环境中能避免应力集中，降低材料层间的热应力，已应用于航天航空、机械工程和建筑工程等多个领域，具有较大的科学研究价值。

目前基于不同板理论开展压电FGM板的研究有很多，如基于一阶剪切理论，BEHJAT等[1]等研究了压电FGM厚板的几何非线性及自由振动问题。高阶剪切理论方面，FAKHARI等[2-3]研究了压电FGM厚板在机械荷载、热荷载及电荷载共同作用下的自由振动、动力响应等问题，表明温度对压电FGM板的动力学行为影响显著。黄君等[4]讨论了热环境中强电场作用下电致非线性效应对压电FGM板固有频率的影响。FARSANGI等[5]基于中厚板理论，推导出压电板的自由振动解析解。滕兆春等[6]基于二维弹性理论，建立了热环境下 FGM 圆环薄板面内自由振动分析模型，讨论几何参数、材料性质和温度变化对板固有频率的影响。现有文献中，研究厚/薄板的通用计算模型还比较少，田娇等[7]基于一阶剪切变形理论，构造了一种新型的三角形层合板单元，该单元每个节点增加了2个剪切自由度，较好地解决了厚薄板单元的剪切闭锁难题。李秀梅等[8]基于样条无网格法，以挠度和剪应变为场变量，建立了厚/薄均质板的通用计算格式，该模型分析薄板自由振动时不会出现剪切闭锁现象。压电FGM板的分析中，各种数值计算方法得到了运用。其中有限元法的应用最为广泛[9]，LOJA等[10]基于B样条有限条法，分析了压电FGM板的动力特性问题。LI等[11]采用样条无网格法，基于高阶剪切理论建立了压电层合板的分析模型，研究表明该方法计算精度高，未知量数目少，收敛稳定。

在LI等研究的基础上对热环境中的FGM板进行动力分析，建立压电FGM厚/薄板的样条无网格通用计算模型。鉴于FGM板的平面问题与弯曲问题是耦合的，因此将板的挠度w、剪切应变γxz=∂w/∂x-θx，γyz=∂w/∂y-θy及面内位移u、v作为全域的独立场变量，考虑热环境下温度变化引起的边界力对FGM板的影响，并将温度变化和压电材料电场对功能梯度板的面内作用处理为面内力在非线性应变上做功，研究改变板边界约束和功能梯度材料的梯度指数时，面内位移与板的挠度耦合即拉-弯耦合效应以及考虑面内力作用的几何非线性效应对压电FGM板动力特性和动力响应的影响。

1 压电FGM板的基本方程

如图1所示压电FGM板，压电片粘贴在上下表面，FGM板的厚度为hf，压电片的厚度分别为hp1和hp2。

图1 压电FGM板结构示意图Fig. 1 The structure of piezoelectric FGM plate

1.1 功能梯度材料的物性关系

(1)

Pi(T)=P0(P-1T-1+1+P1T1+P2T2+P3T3)(i=t,b)

(2)

式中：P为功能梯度材料弹性模量E、热膨胀系数α和密度ρ；t、b分别为功能梯度材料上、下表面；hf为FGM板厚度；n为材料梯度指数；T为温度；Pj(j=-1,0,…，3)分别为与温度有关的各项物理参数系数，可通过试验得到。

1.2 本构关系

压电FGM板采用以下本构关系

{σ}=[Q]{ε}-[e]T{E}-[Q]{α}ΔT

(3)

{D}=[e]{ε}+[ξ]{E}+{p}ΔT

(4)

ST={α}T[Q]T{ε}+{p}T{E}+βΔT

(5)

式中：{σ}、{ε}分别为压电FGM板的应力和应变列阵；[Q]为热环境中考虑温度相关性的弹性矩阵；{D}、{E}分别为电位移和电场强度列阵；[ξ]、[e]分别为压电材料的介电常数矩阵和压电应力常数矩阵；{α}、{p}分别为热膨胀系数和热电耦合常数列阵；ST、ΔT、β分别为熵、温度改变量和材料的比热容。

1.3 位移模式

考虑热环境下温度变化对FGM板面内位移的影响，将挠度w、剪应变γ和面内位移u、v作为独立未知量。基于一阶剪切变形理论，压电FGM板内任一点的位移分量和剪应变为

u=u0-zθx,v=v0-zθy,w=w0

(6)

式中：u0、v0、w0分别为板中性面任意一点的位移分量；θx、θy分别为中面法线绕y、x方向的转角。

假设压电层的电势沿板厚度方向线性分布，表示如下

Φ(x,y,z)=Φ0(x,y)+(z-hf/2)Φ1(x,y)

(7)

式中，Φ0(x,y)、Φ1(x,y)为面内的电势函数。

2 样条离散模型

样条无网格离散模型如图2所示，其中M、N分别为样条离散数目。

图2 样条无网格离散示意图Fig. 2 Discretization of FGM plate by spline meshless method

2.1 样条无网格法位移插值函数

选取中性面的纵向位移u0、v0，挠度w和剪应变γxz、γyz作为位移场中的基本未知量，用双向三次B样条函数乘积的线性组合表示样条无网格法的位移插值函数为

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：⊗表示Kronecker乘积；φi(x)和ψj(y)均是三次B样条基函数，具有对称性和紧凑性，局部非零。板的中面应变、任一点应变、曲率及剪切应变的矩阵表达式为

(13)

(14)

其中，

(15)

(16)

(17)

(18)

压电层电势和电场强度的样条离散化表达式为

(19)

(20)

(21)

2.2 厚/薄压电FGM板的动力方程

温度变化和压电材料电场对FGM板的面内作用，处理为面内温度荷载{Nθ}=[NθxNθyNθxy]T和面内电场荷载{NΦ}=[NΦxNΦyNΦxy]T在板的非线性应变上做功，则压电FGM板的瞬时总势能泛函为[12]

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，[Q]含义与式(3)相同。

[m]=diag(ρ,ρ,ρ,J,J)

(26)

(27)

(28)

(29)

其中，面内温度荷载和电场荷载的计算公式分别为

(30)

(31)

将式(9)、式(13)、式(14)、式(19)和式(29)代入总势能泛函式(22)，并利用广义瞬时变分原理，得到样条无网格法动力方程为

{fuu}+{FΦΦ}+{fuθ}-{FΦθ}

(32)

其中，

(33)

[K]=[Kuu]-([Hθ]+[HΦ])+

[KuΦ][KΦΦ]-1[KΦu]

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

{FΦΦ}=[KuΦ][KΦΦ]-1{fqe}，{FΦθ}=[KuΦ][KΦΦ]-1{fΦθ}

(39)

式中：[M]、[C]分别为压电FGM板的总质量、阻尼矩阵；[K]为压电FGM板的总刚度矩阵，包含了机械刚度[Kuu]，与面内力相关的几何刚度[Hθ]、[HΦ]，机-电耦合刚度[KuΦ]及自适应刚度矩阵[KΦΦ]；荷载则包含了板的机械荷载{fuu}、热-机耦合荷载{fuθ}、热-电耦合荷载{FΦθ}和电荷载{FΦΦ}等。

本文采用MATLAB软件编程计算，并利用Newmark-β法求解基于样条无网格法建立的厚/薄FGM板动力方程(32)，该动力方程考虑了FGM板的平面问题与弯曲问题的耦合效应，本文称之为耦合模型。

当在独立的位移场中忽略面内位移u、v，仅以挠度和剪应变为场变量，则退化为非耦合模型，此时拉伸刚度和耦合刚度为0，故刚度矩阵计算公式(35)退化为

(40)

密度矩阵式(26)退化为

[m]=diag(ρ,J,J)

(41)

3 数值算例与分析

3.1 验证模型分析

计算四边固支压电FGM板的固有频率，将计算结果与文献[2]进行对比。FGM板由SUS304/Si3N4组成，上表面t为Si3N4，下表面b为SUS304，与温度相关参数见表1，与温度不相关参数见表2。压电FGM方板的边长a为0.4 m，FGM板厚度hf为0.04 m。压电片厚度hp1和hp2均为0.001 m，压电材料参数见表3。固有频率系数λ的计算结果如表4所示。

表1 FGM板的温度相关性材料参数

表2 FGM板的温度相关性材料参数

表3 压电材料参数

表4 四边固支压电FGM方板一阶固有频率系数Tab.4 Frequency factor λ1 for fully clamped piezoelectric FGM plate

文献[2]为基于高阶剪切变形理论的有限元几何非线性解，本文则是将温度荷载和电荷载的面内作用处理为面内力在非线性应变上做功，计算结果对比表明本文解与有限元解非常接近。当样条离散分划为4×4时，三种工况下的基于两种算法的最大相对误差分别为：1.93%、3.08%、1.95%；样条离散分划为6×6时，相应工况下的最大相对误差分别为：0.59%、1.70%、0.60%。都不考虑压电材料的电势未知量时，样条无网格法6×6分划的未知量个数为405个，文献[2]有限元法10×10划分的未知量个数则为968个，可见本文方法取较少的节点数就可以取得较高的精度，且收敛性好。

3.2 厚/薄板动力分析的样条无网格模型通用性讨论

计算不同厚度四边简支均质板、四边固支压电FGM板的固有频率，讨论本文新建立模型对于厚/薄板动力分析的通用性和有效性，分析面内位移与挠度的耦合效应以及考虑面内力在非线性应变上做功对动力特性的影响。均质方板的边长a=4 m，厚度可变。材料属性为μ=0.3，E=3×107kN/m2，板的面密度为ρ=10 kg/m2。压电FGM板的边长a=4 m，厚度可变。材料参数同前文验证算例，梯度指数取n=2，计算结果分别如表5、表6所示。

由式(34)和表6可知，当压电功能梯度板处于热环境下，由于受到板的边界约束温度升高产生的面内力将导致板的刚度减小，固有频率下降；若此时给压电层施加负值的电压，由此产生的面内力为拉力，可增大板的刚度，提高固有频率，面内力对厚跨比较小的薄板的低阶固有频率影响较大。表6中压电FGM板的厚跨比为0.01时，只升高FGM板上表面的温度30 K，若不考虑温度面内力的作用，计算得到的一阶频率系数偏大，相对于考虑面内力作用的几何非线性效应时得到的计算值偏差达到了10.66%，而相应的四阶频率系数的偏差则为4.07%。

3.3 面内位移对压电FGM板动力响应的影响

讨论压电FGM板在不同边界约束下材料梯度指数变化时，平面问题与弯曲问题的耦合效应对压电功能梯度板动力响应的影响。压电FGM板的尺寸和材料参数同前文验证算例，在板面施加简谐荷载q=500sin(20πt) MPa作用，并在板的上下压电层各施加200 V电压，板的初始位移和初始速度取为0。

表5 四边简支均质方板固有频率系数Tab.5 Frequency factor λi for simply quadratic plate

表6 四边固支压电FGM方板固有频率系数Tab.6 Frequency factors for fully clamped piezoelectric FGM

取材料梯度指数n=2，四边固支(SSSS)和四边简支(CCCC)约束下压电FGM板在常温和热环境中板中心挠度时程图如图3所示，可见在热环境下，采用非耦合模型分析压电FGM板的动力响应问题有较大偏差。

(a) Tt=300 K,Tb=300 K

(b) Tt=500 K,Tb=500 K

表7给出了四边固支和四边简支压电FGM板随材料梯度指数变化时，在t=0.025 s时刻板中心点的动挠度wo。从表中可以看出，常温下四边固支压电FGM板采用非耦合模型计算得到的动挠度wo相对耦合模型的偏差值均大于四边简支约束下的相应偏差值，说明约束越强，耦合效应影响越大。而在热环境中，两种边界的相对偏差值大多超过了工程允许误差，特别是对于约束较弱的简支边界，温度应力加剧了耦合效应。常温时随着材料梯度指数由小到大，FGM板中心点的动挠度增大，这是因为n=0时，FGM板退化为上表面材料的均质板，其弹性模量较大，随着n增大，下表面材料在FGM板中所占比重增大，而下表面材料的弹性模量较小。当梯度指数n=2～3时，耦合刚度[B]最大，采用非耦合模型计算出现的偏差最大。下表面材料的热膨胀系数较大，当材料梯度指数较大时，温度应力对简支板的影响较大。

表7 不同边界约束下压电FGM板的中心点动挠度 wo(t=0.025 s)

4 结 论

本文采用样条无网格法，以面内位移、挠度和剪切应变为基本位移场，基于一阶剪切变形理论建立了厚/薄压电FGM板动力分析模型，研究板的面内位移与挠度的耦合效应以及面内力在非线性应变上做功的几何非线性效应对压电FGM板的动力特性和动力响应的影响。通过与已有文献结果比较，表明样条无网格新模型是正确的，适用于薄板和厚板，具有通用性，没有出现剪切闭锁问题，且未知量少、精度较高、收敛稳定。板的面内位移对厚板的高阶频率影响明显；材料梯度指数变化，会影响FGM板的耦合刚度，加大或减少耦合效应；约束越强，耦合效应影响越大；温度应力产生的面内力使得面内位移增大，进而使得拉-弯耦合效应增大，对FGM板的动力特性和动力响应的影响较大，面内位移及面内力的作用不能忽视。

[ 1 ] BEHJAT B, KHOSHRAVAN M R. Geometrically nonlinear static and free vibration analysis of functionally graded piezoelectric plates[J].Composite Structures, 2012, 94(3):874-882.

[ 2 ] FAKHARI V, OHADI A, YOUSEFIAN P. Nonlinear free and forced vibration behavior of functionally graded plate with piezoelectric layers in thermal environment[J]. Composite Structures, 2011, 93(9): 2310-2321.

[ 3 ] 黄小林，沈惠申. 热环境下贴压电层的功能梯度材料板的自由振动和动力响应[J]. 应用力学学报, 2005, 22(3): 456-460. HUANG Xiaolin,SHEN Huishen. Free vibration and dynamic response of functionally graded plates with piezoelectric layers in thermal environments[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics,2005,22(3):456-460.

[ 4 ] 黄君, 莫春美, 李双蓓. 基于样条有限点法的压电功能梯度板的动力分析[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2015,40(1): 127-137. HUANG Jun,MO Chunmei,LI Shuangbei.Dynamic analysis of piezoelectric FGM plate based on spline finite point method[J].Journal of Guangxi University(Natural Science), 2015,40(1) : 127-137.

[ 5 ] FARSANGI M A A, SAIDI A R,BATRA R C. Analytical solution for free vibrations of moderately thick hybrid piezoelectric laminatedplates[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013,332(22):5981-5998.

[ 6 ] 腾兆春，蒲育. 温度影响下FGM圆环板的面内自由振动分析[J].振动与冲击,2015,34(9):210-217. TENG Zhaochun,PU Yu. In-plane free vibration of FGM annular plates considering temperature effect[J]. Journal of Vibration and Shock,2015,34(9):210-217.

[ 7 ] 田娇，蔡永昌，田龙岗，等.含剪切自由度的厚薄通用三角形层合板单元[J].同济大学学报(自然科学版)，2013,41(12):1781-1786. TIAN Jiao,CAI Yongchang,TIAN Longgang,et al.A new laminated plate element CDST-S6 for thin or thick plates[J]. Journal of Tongji University(Natural Science),2013,41(12):1781-1786.

[ 8 ] 李秀梅, 吴锋, 秦荣, 等. 厚/薄板振动分析的样条无单元法[J]. 振动与冲击, 2010, 29(2): 107-110. LI Xiumei,WU Feng,QIN Rong, et al. Spline element-free method for thick/thin plate vibration analysis[J]. Journal of Vibration and Shock,2010,29(2):107-110.

[ 9 ] 尹硕辉，余天堂，刘 鹏. 基于等几何有限元法的功能梯度板自由振动分析[J]. 振动与冲击,2013,32(24):181-186.YIN Shuohui,YU Tiantang,LIU Peng. Free vibration analysis of functionally graded plates using isogeometric finite element method[J].Journal of Vibration and Shock, 2013,32(24):181-186.

[10] LOJA M A R, MOTA SOARES C M, BARBOSA J I. Analysis of functionally graded sandwich plate structures with piezoelectric skins, using B-spline finite strip method[J]. Composite Structures, 2013, 96(4):606-615.

[11] LI Shuangbei,HUANG Lixin,JIANG Linjie,et al. A bidirectional B-spline finite point method for the analysis of piezoelectric laminated composite plates and its application in material parameter identification [J]. Composite Structures,2014,107(1): 346-362.

[12] 秦荣. 计算结构力学[M]. 北京: 科学出版社, 2001: 210-222.

Dynamic analysis of thick/thin piezoelectric FGM plates with spline meshless method

LI Shuangbei1,2,WU Hai1,MO Chunmei1

(1.College of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University,Nanning 530004,China;2.Guangxi Provincial Key Laboratory of Disaster Prevention and Engineering Safety,Guangxi University,Nanning 530004,China)

The in-place displacement of a plate was taken as field variable besides the plate’s deflection and shear strain. By using the spline meshless method, a new dynamic analysis model for thick/thin piezoelectric functionally graded material(FGM) plates under thermal environment was established. Considering FGM physical parameters variation with temperature and in-plane force caused by different temperatures, the effects of in-plate displacement and in-plane force on the dynamic property and dynamic response of the FGM plate were investigated under different boundaries and gradients. Analysis results showed that the new model has the universality and effectiveness for dynamic analysis of thick/thin piezoelectric FGM plates, and has advantages of high efficiency, high precision and no shear locking problems.

spline meshless method; thick/thin plate; functionally graded material (FGM) plate; in-place displacement; dynamic property; dynamic response

国家自然科学基金(11262002)；广西自然科学基金(2014GXNSFAA118020)

2015-11-03 修改稿收到日期：2016-02-19

李双蓓 女， 博士， 教授， 1963年生

TB332

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.018