高中数学课堂融入数学思维教学的思考

姜竹岭

[摘 要] 培养学生数学思维是高中数学课堂的重要任务，本文结合数学思维的理论研究，从实践的角度出发，提出了高中数学课堂渗透数学思维的教学策略.

[关键词] 高中数学；数学思维；教学策略

培养学生的数学思维是高中数学课堂的重要任务. 在教学实践中，教师深刻体会数学思维的内涵，并将其有效地融入课堂教学，这不仅有助于学生数学学习效率的提升，也将促成他们思维品质的提高.

[?] 数学思维的概念及其分类

1. 数学思维的概念

人的思维活动是人脑通过分析、对比、抽象、归纳、推理等方法，探求事物的本质特点及其内在关联的心理活动.它是人脑所特有的一种高级认识活动.

当前数学教育理论界对数学思维尚未形成统一的概念，笔者在此列出具有代表性的三种观点. 叶立军老师认为，数学思维是人一般思维活动的一种，它是人脑理性认知数学问题的过程，能体现出数学的学科本质以及数学对象之间的关系.王仲春老师在此基础上对上述概念进行了明确和细化，他指出广义的数学思维是人脑理性认识数学对象，其中也包括运用数学知识和方法解决实际问题的思维过程. 他特别指出，在实际问题的解决过程中，数学思维与知识都是非常关键的.张乃达老师又在此基础上进一步作了细化说明，数学问题是数学思维的基础，经过问题的发现、分析以及解决等过程，最终实现对现实世界的数量关系以及空间结构的一般化认知的思维过程.

综合上述三种观点，我们可以认为数学思维属于一般化的思维，是一种数学化的主体认知客体的过程.

2. 数学思维的主要分类

一般来讲，数学思维包括以下几类：数学直觉思维、数学逻辑思维、数学形象思维.

①数学直觉思维. 所谓数学直觉思维，是个体在已有知识的前提下，在接触数学问题的初期，进行整体性观察，并很快在头脑中对问题形成非逻辑的判断，这种认识是直觉的，而不是经过逻辑思维得到的，它对问题解决有着良好的指向性.事实上，很多数学问题的解决就是先通过直觉思维发现思路，再由逻辑思维彻底解决. 正如数学家波利亚所言：“你要成为一个数学家，首先就应该是一个有着敏锐直觉的猜想家.”因此，在日常教学中，我们也提倡学生先通过直觉思维进行猜想，再通过逻辑思维形成证明，由此实现问题的解决.

②数学逻辑思维. 所谓数学逻辑思维，是个体结合已有的概念、公理、定理等进行一系列的推理和证明的思维过程，其中涉及大量的类比、分析、归纳、猜想、演绎等抽象思维方法，同时还要求以严谨的数学语言和规范的数学符号对相应的数学规律进行表征. 数学逻辑思维的特性包括逻辑性和抽象性，这同时也是高中數学的学科特点. 一般来讲，数学问题的解决最终是由逻辑思维来进行实现的.

③数学形象思维. 数学是一门抽象而严谨的艺术，但是形象思维在数学中同样有着不可替代的作用.数学形象思维是结合个体对客观事物表象所进行的一种思维活动，其主要思维活动包括联想、比较、观察以及实验等. 例如，数学中的各类统计图表、函数图像、几何图像等，这些都是进行数学形象思维的基础.

[?] 高中数学课堂渗透数学思维的教学策略

有效渗透数学思维实际上应该是高中数学课堂的基本组成，同时也是学生数学能力提升的重要途径，那么如何将数学思维的渗透教学与我们的高中课堂进行整合呢？笔者认为，可以从以下几个方面着手.

1. 让学生在实际操作中，促成他们对数学的思考

在引导学生进行高中数学学习时，我们必须让学生意识到数学并非是简单的理性思辨. 因此，在课堂教学的过程中，我们提倡学生勤于动手，让学生在实际操作中，发现数学问题，并深刻分析和处理数学问题，这样将不仅能强化学生的实践能力，同时也将提升学生的思维品质，促成数学思维的发展.

例如，在向学生介绍“椭圆”时，教师预先让学生准备一根绳子，在教学过程中，教师让学生将绳子两端固定，将笔尖套在绳子上描出对应的轨迹，由此让学生观察自己所画的图形，自我探索图形的特点，由此总结规律和结论.在椭圆这一课的前段，学生积极地动手实践能够有效地吸引其注意力，同时激活他们的思维：所画轨迹有何特点？它所对应的解析方程如何书写？这样将有利于学生掌握本课所授内容，同时他们的思维机制也将被充分激活.

教师在引导学生进行操作时，应注意以下问题：①给学生操作机会的同时，更要为学生提供广阔的思维空间，让学生在手脑结合的过程中积极进行思考；②在学生进行操作时，教师要充分给予学生耐心与鼓励，即使学生的操作发生错误，也不能打击学生的热情；③动手操作应该适度，即当学生的感性认知达到一定程度时要积极将学生的认识向抽象思维转化，锻炼学生抽象思维的能力.

2. 鼓励学生在独立思考的基础上进行合作学习

新课程强调学生以合作学习的方式来相互启发，进而实现问题的解决.但是，我们却不能因此而弱化了思维独立意识的培养，合作学习的进行不能助长学生的依赖心理，所以，在高中数学课堂引导学生进行合作学习必须是学生有效地进行独立思考的基础上的合作学习，由此不仅将深度训练学生的思维，而且独立思维也将促成学生合作学习的高效进行.

数学课上，教师可以通过设置一些具有探索意义的问题，引导学生进行独立思考与合作学习. 例如，提出问题，计算下列几个算式：“1+3=？，1+3+5=？，1+3+5+7=？”结合算式，你能从中得到什么规律吗？在教学过程中，教师要鼓励学生独立思考，先仔细运算，再发挥直觉思维勇于猜想.学生通过运算发现结果依次为4，9，16，并且积极探索相关规律. 当发现学生的思考陷入僵局时，教师再提议学生以合作学习的方式来相互启发，通过讨论，他们很快就会认识到算式结果还能通过以下形式进行表述：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42. 教师趁热打铁，进一步引导学生推导出：1+3+5+…+17=92，1+3+5+…+19=102. 在此基础上学生形成猜想：1+3+5+…+（2n-1）=n2. 教师再启发学生通过归纳证明形成结论.

3. 将开放性问题引入教学，发展数学思维的创造性

传统的数学课堂上，教师过多地为学生呈现封闭性的问题，虽然也能训练学生的思维，但是却限制了学生想象的空间，束缚了他们思维创造性的发展.新课程理念指引下的高中数学课堂应该将开放性问题引入教学，引导学生挣脱束缚，拓展想象的空间. 相比于封闭性问题，发散性问题有以下几点优势：①开放性问题答案不唯一，有助于学生打破定式思维，有效发挥想象，多角度思考问题，实现问题的解决；②开放性问题的条件或存在多余，或有所欠缺，要求学生积极地对信息进行筛选和处理，这将帮助学生在问题分析中训练信息处理能力；③开放性问题的解决往往是学生通过直觉思维来打开思路，再通过逻辑思维来形成结论，因此开发性问题引入课堂，可以多维度地发展学生的思维.

例如，在学生對“圆锥曲线”进行复习时，教师提出问题：现有一条二次曲线经过了点A（3，0）和点B（0，5），请写出该二次曲线的函数方程（至少写出六个）.本题并没有限定二次曲线的类型，也正是因为条件的缺失，导致了答案的不唯一. 学生在处理这一问题时，就要用敏锐的目光进行分类讨论：如果是圆，结果如何；如果是抛物线，结果如何；如果是椭圆，结果如何；如果是双曲线，结果如何.当学生有条理地实现问题解决之后，他们对圆锥曲线也将形成更加系统化的认识，当然这一过程也将促成学生思维的飞跃.

4. 鼓励学生进行“一题多解”，推进学生思维的深刻性

数学问题有着这样的特点，从不同的角度切入问题的思考，可能会形成不同的解决方法. 实际教学中教师要鼓励学生不要满足于单一的问题解决思路，而应该多方位地进行问题剖析，进而探寻问题的多元化解决，推进思维的深刻性.

例如，有如下习题：已知椭圆方程为+=1，现在构建椭圆的弦，使得弦被点M（2，1）平分，求解这条弦所处直线的方程.

解法一：设所求直线方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程并进行整理，可得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，

当Δ=64（2k2-k）2-4（4k2+1）[4（2k-1）2-16]>0时，再设定椭圆与直线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1和x2作为方程的根，因此有x1+x2=.

并且点M还是AB的中点，所以==2，故解得k=-，满足Δ>0.

则直线方程为x+2y-4=0.

解法二：假设椭圆与直线的一个交点为A（x，y）.

由于中点已经确定，即M（2，1），则另一交点可以表示为B（4-x，2-y）.

因为两个交点都在椭圆上，所以都满足椭圆方程，有x2+4y2=16，（4-x）2+4（2-y）2=16.

两方程相减，可以得出x+2y-4=0.

上述问题的解法并不限于以上两种，教师在实际教学中要鼓励学生积极拓展思路，多方位探求解法，从而训练学生数学思维的灵活性.