线性代数作为抽象数学引论

Nachtergaele+Bruno等

线性代数是大学的一门基础课程，并且在数学的各个分支和其他自然科学、工程技术及社会科学中都起着工具性作用。对于某些具有一定的概念理解和数学计算能力而抽象推理训练不足的大学生，学习线性代数是弥补这种缺陷的适宜的机会。本书的目的是为这类大学生在计算与推理之间架设桥梁，通过线性代数的学习进一步掌握逻辑论证技巧，以有利于学习其他抽象数学。本书以学生比较熟悉的线性方程组、复数计算和多项式因子分解等知识为起点，逐步深入地引进有限维向量空间线性映射的抽象概念，涵盖对角化，特征空间，行列式和谱理论等重要结果，是一本简明的线性代数的引论性教材。

全书由11章和4个附录组成：1.什么是线性代数？通过中学课程中的线性方程组和二次方程的求解直观地显示线性代数的某些特征；2.复数引论，是对中学代数有关知识的复习，也是课程展开的预備；3.代数学基本定理和多项式因式分解。也是复习性材料，其中涉及连续函数的极值性质；4.向量空间。在前面的背景材料的基础上并应用图解引进向量空间的概念和基本性质，指出引进向量空间本质上是为了叙述和解决线性代数问题；5.跨度和基地，建立空间维数概念和基本结果；6.线性映射。以第1章线性方程组为背景引进线性映射概念和有关性质，以及线性映射的矩阵，指出刻画线性方程组的解是线性代数的目的之一；7.特征值和特征向量。这是线性代数的最重要的概念之一，着重讨论了2维情形；8.置换和方阵的行列式。给出行列式概念、基本性质以及通过余因子展开的计算公式；9.内积空间。引进向量空间的抽象定义，给出内积空间的重要性质，包括Gram Schmidt正交化；10.基变换。给出有限维内积空间的基变换公式；11.正规线性映射的谱理论。研究有限维内积空间的上线性算子的谱分解以及对于对角化问题的应用，还讨论了正算子、极分解和奇异值分解。每章后配备习题，分为计算题和证明题两类。4个附录主要是关于矩阵的补充材料，以及关于集合论和抽象代数结构的概要。

本书可作为我国理工科大学数学教学参考书，特别适宜初学者阅读。

朱尧辰，研究员

（中国科学院应用数学研究所）