高中数学教学需注重形象思维与抽象思维的结合

钱亚琴

[摘 要] 高中数学教学对学生的抽象思维已经有了高度重视，这是由高中数学学习的内容决定的. 但在教学的过程中容易忽视学生形象思维所起的促进数学知识建构的作用. 实践证明，不能因为高中数学知识的抽象，而遮蔽了形象思维应有的作用，以形象思维突破学生的学习难点，然后再以抽象思维帮助学生建构数学知识及其体系，是有效的教学途径. 基于形象思维与抽象思维的结合，可以为数学学科核心素养的培养寻找到坚实的基础.

[关键词] 高中数学；形象思维；抽象思维；数学核心素养

数学教学是最需要注重思维的，通常在人们的意识中，高中阶段之前的数学学习需要的是形象思维，而到了高中之后则需要抽象思维. 这样的判断主要是基于初高中数学教学内容的不同而做出的，高中数学教学内容抽象复杂，尤其是从数学教材来看，基本上可以认为高中数学几乎完全是数学符号与推理的集合体，再也没有此前学习过程中会遇到的具体例子或形象事物. 那么，是不是说在高中数学教学中就不需要再重视形象思维了呢？答案显然不是这样的. 在笔者看来，高中学生学习数学更需要重视形象思维的参与，尤其是注意让学生在学习过程中能够切实感受到形象思维与抽象思维的结合，这样才能让学生的数学学习不至于陷入一个完全的符号与逻辑的世界，才可以让学生的数学学习化解难度，寻找到阶梯；也才能真正面向全体学生，落实好有效教学的初衷，进而切实提升学生的核心素养.

[?] 面对学习难点，从形象思维处突破

高中数学学习的过程中，无疑是存在诸多学习难点的. 这些学习难点如何克服，关键在于对学生思维方式的巧妙利用，这也是笔者在实际教学中摸索出来的突破学习难点的一个有效的方式. 具体来说，就是在遇到学习难点的时候，教师一般想到的往往是从教学方式角度去寻找突破方法，这种思路本没有什么问题，但这种思路又常常不是那么有效，因为纯粹从教师的角度去努力，实际上是忽视了学生的学习主体地位；反之，如果从学生思维的角度入手，充分利用学生的思维特点来完成难点突破，其实是省时省力的做法. 因为这里存在着一个理论上的认识，即所谓的学习难点，就是学生思维难以加工，视角难以突破的地方，因此对于难点的突破，只有从学生的思维入手，为学生的思维搭建台阶，才能取得预期的效果.

比如说在运用“等比数列前n项和”的知识解决实际问题的教学中，笔者注意到这样的一个问题：当给学生呈现一些实际问题时，学生的思维往往难以一下子打开. 如笔者曾经给学生这样的一个实际问题：已知某公司第一年的产值为a，根据公司生产计划，其后每一年的增长率为10%，那五年后这个公司的总产值是多少？在实际教学中学生的表现出乎意料，他们并不是无法解决此问题，因为他们常常用非等比数列前n项和的知识可以求解. 而这样的思路显然不是当初的教学目标，而当笔者提出必须用所学过的等比数列前n项和的知识来求解时，学生就遇到了困难，相当一部分学生的共同表现，就是不知道从哪里下手. 由于笔者在此知识教学的过程中，带有强烈的分析学生思维的意识，于是自然就去猜想学生此时思维是什么样的情形. 根据课堂上即时与学生的简单对话以及对部分学生在草稿纸上的演算，笔者判断学生此时遇到的问题就是：无法将实际问题中给出的信息与等比数列前n项和的关系联系起来. 换句话说，他们不知道这个实际例子与等比数列前n项和有什么直接的联系. 正是这种联系建立不起来，导致了学生所用的数学工具与预设的目标背道而驰.

显然，这可以从形象思维的角度加以突破. 因为这种联系看起来是数学符号之间的对应，实际上却是将实际问题利用形象思维进行加工，以发现其中的等比关系的过程. 于是笔者引导学生去思考：在这个实际问题中，每年递增10%是什么意思？学生起初想到的是第二年比第一年多10%，而这正是学生思维转换的基础，教师需要进一步追问：其与等比数列是不是存在什么关系？这个时候学生就需要调用等比数列的定义，结果发现每一年的总值之比其实是一个固定值，即1.1.认识到这一点之后，本难点就迎刃而解，于是等比数列前n项和的公式自然就成为学生选择解决问题的工具了.

在这个过程中，正是因为笔者注意到学生思维的困难并寻找到了从形象思维处突破学生的思维难点，才较为成功地解决了问题. 这个过程中，也没有教师刻意的引导与机械的灌输，有的只是让学生的思维灵光一闪的机会.

[?] 注重知识构建，以抽象思维为载体

形象思维在高中数学教学中起的往往是一种促进知识理解、应用的作用，而抽象思维则更多地服务于学生数学知识的构建. 毕竟，我们说数学是研究数与形的学科，这里的“数”自然是抽象的结果，而“形”也是基于形象思维对实际事物的思考，然后再抽象出的最为简洁的图. 只是在教学中要注意的是，以学生的形象思维为基础去构建数学知识，往往更符合学生的认知规律.

如上面一点所举的例子中，笔者给学生一个反思的时间，让他们想自己为什么当初没有意识到用等比数列前n项和的知识来解决. 学生有了这样的一个反思机会，可以将自己思维前后的结果进行对比，然后就可以发现自己的问题的关键在于，没有发现实际问题背后的等比关系，而这也就提醒他们在以后的解题中，要善于发现实际问题中的数学关系. 这实际上是一个什么过程？课堂上一个学生瞬间反映出来的一个词语，叫“数学模型”. 笔者肯定了他的思考成果，告诉他对于实际问题的解决，最需要的就是一个数学模型，即要将实际问题中的旁枝去掉，只留下一个与数学知识相关的架子，这就是数学模型形成的基础. 这样的认识，在笔者看来，就是数学知识的一种构建过程.

除此之外，还有一个例子也具有研究的价值：在“平面的基本性质”这一内容的教学中，要让学生顺利地建构出运用数学语言（包括图形语言和符号语言）去描述平面的无限延展性，首先必须让学生认识几个基本的平面图形（具体实例这里不一一列举），而这就是一个形象思维的过程. 在这个过程中，教师的主要任务其实不是提供实例，而是让学生基于实例去展开想象，将有限的平面图形想象成可以无限延展的平面. 这是利用形象思维构建想象表象的过程，在此过程的基础上，如何帮学生构建无限延展的数学语言呢？要知道，学生仅有意会但是无法言传，可是数学学习的大忌，也是数学语言运用的缺失. 但是直接的灌输显然不是教学的好策略，并不利于学生数学核心素养的提升. 于是笔者引导学生思考：平面的这一特点与此前学习过的哪个例子有相似之处？这个问题驱动学生调用此前所学过的知识，而“直线”也就浮现在学生的脑海中. 学生想到直线可以向两端无限延伸，而平面则是向任意一个方向无限延伸；点和直线没有厚薄（用学生的话说叫“不占空间”），而一综合，平面也就是一个没有厚薄且可以无限延伸的面. 于是图形语言就表现为画在纸上的一个平面图形，而数学语言就是某一个希腊字母或者是三角形、四边形的顶点符号. 经过这样的一个从形象思维到抽象思维的过程，大脑中关于平面就是三个层次的认识：基本层次是具体的平面实例；其次就是平面的符号表示；最后就是平面的数学语言表示. 从而也就成功地构建出了关于平面及其基本性质的认识.

[?] 两种思维结合，提升学生数学素养

高中数学教学其实是最需要形象思维与抽象思维的结合的，对于形象思维是不能忽视的，对于抽象思维是不能任意拔高的. 虽然说高中学生的抽象思维能力较强，但这其实并不能完全支撑起学生的数学学习. 事实证明，只有基于形象思维基础上的抽象思维，才能构建起结实稳固的数学知识的大厦.

更重要的是，注重形象思维与抽象思维在高中数学学习中的结合，对于提升学生的数学学科素养也是极有帮助的. 学科核心素养是当前研究得比较热烈的一个话题，对于这一话题，笔者的观点是其不能脱离学科本质，不能脱离了数学学习的具体过程而奢谈学科素养的培养. 高中数学学科所要培养的核心素养内容较多，数形结合、数学建模、数学问题解决都是其中的重要内容，这些内容只有在具体的数学知识建构的过程中才能实现. 而数学知识的建构又是离不开思维的，对于不同学生，或者说即使是同一学生在学习同一数学知识的时候，形象思维与抽象思维也是同时并存的. 如果教师在教学的过程中忽视了其中的形象思维基础，那对于相当一部分学生来说，可能就是人为地制造了学习的困难. 而这对于学生的数学核心素養培养来说，显然是有缺憾的. 因此，培养高中学生的数学核心素养，需要从两种思维方式出发，要基于形象与抽象思维的结合，然后将数学学科核心素养奠基其中，如此方可实现教学初衷.