解决“图形折叠问题”的策略研究

陈志华+余莉

[摘 要] 图形折叠问题的实质就是轴对称变换，其注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现“空间与图形”的教育价值. 本文根据新课标、新变化与中考命题趋势的关联性的要求，以“图形的折叠问题”一堂专题复习课为载体，引导学生在经历参与、反思、内化等数学活动的全过程中清晰地建构出这类问题的解决策略，从而达到积累必要的数学活动经验的目的.

[关键词] 折叠问题；作图操作；计算体验；活动经验

新课程标准中关于“空间与图形”部分的主要内容涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具. 图形的折叠问题的实质就是轴对称变换，其注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现“空间与图形”的教育价值. 由此，在近年全国各地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成为考查的热点问题. 其题型多样、变化灵活，从考查学生的空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日趋明显.

为解决此类问题，教学中要让学生达成以下几点目标：第一，能对图形折叠有准确定位，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的量和不变的量，发现图形中的数量关系；第二，能把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来；第三，能运用方程模型、分类讨论等基本数学思想解决问题，感悟数学方法，积累数学活动经验. 下面，笔者以中考专题复习课“图形的折叠问题”为例，谈谈解决图形折叠问题的几点策略.

加强作图操作，引导学生探究图形折叠的本质规律

作图是根据几何或自然语言想象并画出图形，通过视觉或操作图形构成的要素（线与角），感知图形的结构、位置和数量关系、几何特征，形成印象，进行分类，这样可以使头脑内的形象与外在可感觉到的物体建立有利的联系. 教学中要让学生感受、探究图形折叠中的轴对称变换，教师就理应为学生提供动手操作的平台——作图操作. 正如我国古代数学家赵爽采用构造弦图的方法“看出”勾股定理一样，作图操作是学生探究图形折叠的本质规律的一个有效策略.

环节一：“作图探究折叠中的规律”教学片段

师：几何图形中的折叠问题是我市中考的“常客”，其中蕴藏着怎样的规律和方法呢？今天我们就一起来探讨这一主题，首先请大家完成下列题组：

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，请画出折痕CD，将△ACD沿CD折叠，使点A落在BC边的点E处，并连接DE.

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，请画出折痕MN，其中MN∥BC，将△ABC沿直线MN折叠后，点A恰好落在BC边上的点P处，折痕分别交AB，AC于点M和点N，并连接MP，NP.

（3）如图3，在矩形ABCD中，请画出折痕EF，使点A与点C重合，折痕分别交AD，BC于点E和点F.

（学生独立思考完成，教师巡视学生作图）

师：好，请三位同学到黑板上板演.

（三位学生上台各完成一题）

师：请这三位同学分别说明各自作图的步骤.

生1：图1中要把点A翻折到BC上，只需要画∠C的角平分线即可.

生2：图2中，我是先画了BC邊上的高，再作这条高的中垂线就可以画出折痕MN.

生3：图3这题还是比较简单的，对角线AC的中垂线就是所求的折痕.

师：刚才三位同学都把他们各自的想法解释了一遍，讲解得非常好. 那么，其他同学三道题目都能独立完成的请举手.

（教师观察同学们的举手情况，大部分同学都能独立完成）

师：请问图形中的折叠关键要抓住哪条重要的线段？

生齐：折痕这条线段.

师：很好，其实折痕就是我们熟悉的角平分线或中垂线，那么，图形折叠前后有什么规律？

生4：折叠前后的图形应该是全等图形.

师：概括得不错，其实它们也是轴对称图形.

（之后教师引导学生题后反思，总结图形折叠问题中的规律，形成下面的知识框架图式，并板书在黑板上）

掌握画几何图形是正确认识图形变换本质、顺利进行推理的前提. 教学中，应首先使学生能够根据要求画出准确的图形，然后找出图形变换前后之间的联系，并进一步用几何语言说出几何图形的各种不同的特性，分析图形中的动态因素，在此基础上，由这些特性与因素做出推断，得出结论，从而进行合情推理和演绎推理. 上述教学片段中的三道关于折叠的作图题就是以题组形式出现，低起点、易操作，符合学生的最近发展区，让学生自主学习以巩固基础，是“动手操作的活动过程”；题后反思、概括归纳图形折叠问题中的规律，形成认知框架，是“对知识的主动建构过程”. 因为概括才能使学生对解决原题所必需的知识运用由粗浅理解转为深化理解，进而为迁移做准备，才能真正体现“以小见大”的功效.

重视计算体验，引导学生提炼图形折叠的思想方法

波利亚说过，学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现、理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系. 图形折叠问题的一个重要目标是让学生能运用方程模型、分类讨论等基本数学思想解决问题，感悟数学方法，积累数学活动经验. 而这一目标的达成，需要在教学中引导学生进行深入的挖掘、提炼、引申、加工改造，以克服消极的定式思维为方向，从中培养学生思考问题的灵活性、开拓性、多向性和创造性，从而收到以少胜多、事半功倍之效.

环节二：“计算、体验折叠中的方法”教学片段

师：刚才同学们通过作图环节已探究到图形折叠中的规律，下面请完成如下题目：如图4，在矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=4，现将该纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别交AD，BC于点E和点F，则EF=______.

生5：根据矩形的性质可以计算出

师：很好，利用相似三角形来解决. 同学们还有其他方法吗？（板书：相似三角形法）

生6：可以利用勾股定理. 连接CE，因为图形的折叠是轴对称变换，所以设AE=CE=x，则ED=4-x. 于是得（4-x）2+22=x2，从而求出x，再求EF.

师：利用勾股定理构建方程模型也是重要的解题思路. 当然，这需要通过轴对称（折叠）变换，把条件聚集到同一个直角三角形（△CDE）中. （板书：设元构建方程模型）

师：还有其他方法吗？

师：很好，三角函数法十分巧妙. 还有其他不同的方法吗？（板书：三角函数法）

生9：可以建立直角坐标系，利用两点之间的距离公式解决.

师：刚才同学们用了5种不同的方法解决了这道折叠问题，其中利用相似三角形、勾股定理是解决折叠问题的两种常用方法，同学们必须掌握. 请问图4中隐藏着一个关于相似三角形的什么基本图形？

生齐：斜截型相似图形.

师：这个基本图形十分重要，大家要善于发现它. 下面请同学们看第二题：

生10：连接AP，根据图形的折叠可知AP⊥BC，再利用相似三角形的知识可以解决.

师：很好，现在我们来比较一下这两道题，你能从方法上加以反思、总结吗？

生11：这两题都涉及图形的折叠，所用的方法有相似三角形法、勾股定理等，其中这两幅图中都可以挖掘出基本图形.

师：大家要经常比较、概括同类型或相似题目，从而发现其中的异同点，这样就可以达到以一敌十的效果.

数学知识的教学从来都不是数学教学的唯一，而数学能力的培养却是数学教学的核心价值. 我们的教学不能停留在知识的传授层面，应重视发展学生的各种数学观念，提高学生的数学素养. 学生在上述教学片段中，感悟数学解题策略，提炼基本数学方法，从而达到增长智慧的目的. 在“作图探究折叠中的规律”环节的铺垫下，学生提炼出的相似三角形法、设元构建方程法、三角函數法、等积法、解析法等五种方法，是解决此类问题的脚手架. 同时，在较复杂的问题中，有针对性地将其中某一个三角形、角或线段“拿”出来，单独画图进行分析，更有助于发现问题. 这种把复杂图形分解到基本图形的方法也为学生认识图形、把握问题本质创造了思维的载体.

加强综合运用，积累解决图形

折叠问题的活动经验

图形折叠问题的综合题的特点是集知识点于一体，且经常与动点问题相联系，所以，题型新颖且富于变化，学生往往感到难度大，不易下手. 然而，这种题型既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能较好地考查学生的观察、分析、概括能力，因此，教学中既要重视基础知识，又要强化数学思想方法的训练，让学生在综合运用过程中积累数学活动经验.

环节三：“中考呈现折叠的题型”教学片段

师：通过刚才两个环节的学习，下面我们一起尝试解决关于图形折叠的中考题：

师：大家对“动点P在线段BD上从点B向点D运动”有什么想法？

生12：是不是要分类讨论？

师：如果要分类讨论，那么点P运动到何处是分界点呢？也就是点P在某处的前后时，菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的图形会有所区别？

生13：点P在BO上和在OD上时所形成的图形是不同的，所以点O是点P的分界点.

师：题目的构图也十分复杂，怎么把复杂图形简单化呢？

生14：可以分解图形到一个基本图形中去解决，比如分解到Rt△AOB中.

师：好，下面我们把这两种情况分解到如下两幅图形中去（图7和图8）.

师：如图7，如何计算△BPF的面积呢？

本题考查了以菱形为背景的轴对称（折叠问题）的相关知识，考查了菱形的性质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了分类讨论思想. 日本著名数学家米山国藏认为把复杂问题简单化是数学最基本的精神，所以，其中利用折叠（轴对称）把复杂图形转化为简单基本图形是解决问题的关键. 同时，作图题中对折痕的意义的理解、计算题中关于折痕问题所涉及的多种方法的展示、中考题解决中的综合运用都为学生提供了一系列有层次、数学情境本质相同或相似、多样化活动的“情境串”，让学生在原有的直接经验基础上，在经历“作图操作、计算体验、综合运用”的数学活动中及时概括、抽象和运用，从而积累了必要的数学活动经验.

笔者认为，中考的一个重要作用是指引教师的教学方向，促进教师对新课改理念的领悟，提高教师的教学水平，同时引导和改善学生学习数学的方式. 通过分析图形折叠问题，我们发现，它很好地承载了对学生综合能力的考查. 所以，在教学中，我们要引导学生在经历参与、反思、内化等数学活动中，增进学生对所学知识的理解，重视数学思想方法的渗透，感知研究与解决数学问题的方式、方法，体现数学的功能，培养学生后续学习的能力，积累数学活动经验，提升学生的数学素养.