缜密思维 严谨答题

江苏省兴化市陈堡初级中学(225714) 韦海关 ●

缜密思维 严谨答题

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中考压轴题的综合性较强，不仅考查考生掌握的基础知识、基本技能、基本数学思想，还需要考生在规定时间内缜密地思维、严谨地答题、认真地书写．考生由于思维的不严密，造成失分的情况比比皆是．以下以一道中考压轴题谈谈如何缜密思维、严谨答题:

抛物线;两点间距离;一元二次方程根与系数关系;最大值;分类

一、原题呈现

(江苏省泰州市2016中考数学试题第26题)已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．

(1)求b的值;

(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离;

(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1，－2)，过点(0，a－3)(a为实数)作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4－x3+x2－x1的最大值．

二、解法探究

(2)①如图1，如果函数y1的图象经过原点，则c=0，此时其解析式为y1=x2－4x，由抛物线的轴对称性可知它与x轴的另一公共点为(4，0)，∴函数y1的图象与坐标轴的两个公共点间的距离为4．

②如图2，如果函数y1的图象不经过原点，∵函数y1的图象与y轴定有一个交点，∴函数y1的图象与x轴必只有1个公共点，∴Δ=(－4)2－4c=0，解得c=4．∴函数y1解析式为y1=x2－4x+4，设其图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．当y1=x2－4x+4=0时，解得x1=x2= 2，∴A(2，0)，OA=2;当x=0时，y1=x2－4x+4=4，∴ B函数y1的图象与坐标轴的两个公共点间的距离为．综上，函数y1的图象与坐标轴的两个公共点间的距离为4或

评注 该小题考生在答题时考虑函数y1的图象与坐标轴交点个数时，往往会因为思维的不缜密，存在漏解的情况．为了避免该情况的出现，考生在答题时要认真审题，分类讨论，严谨答题，做到会的做对、对的做全．

(3)由题意得y1中，1－4+c=－2，∴c=1，∴y1=x2－4x+1．又y2中，1+m=－2，∴m=－3，∴y2=x2－3．易求得y1、y2的顶点分别是(2，－3)、(0，－3)，∴函数y1的图象可以看成是由函数y2的图象向右平移2个单位得到的．且易求得函数 y1、y2的图象的交点 E坐标为(1，－2)．

方法1:设点(0，a－3)为点P，设过点P与x轴的平行线为直线MN，设MN与函数y1、y2的图象的4个不同的交点从左到右分别是A、B、C、D．则AC=BD=2．由图3知，当MN在点E(1，－2)下方时，x4－x3+x2－x1=AB+ CD＜AC+BD=4，∴此时0＜x4－x3+x2－x1＜4．

由图4知，当MN在点(1，－2)上方时，x4－x3+x2－x1=AB+CD=4．综上，x4－x3+x2－x1的最大值为4．

评注 将代数问题转化几为何问题，发现抛物线在同一坐标系的相互平移关系，是该法应用的精髓．但是有些考生临场答卷时，会因忽略图3情形的说明而失分．这就需要考生在答题时有较强的作图能力，并且考虑到直线MN位于点E上方、下方两种情形．

方法2:①当－3＜a－3＜－2，即0＜a＜1时，如图3，令y1=a－3，则x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，则令y2=a－3，则

②a－3＞－2，即a＞1时，如图4，令y1=a－3，则x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，则x4+x2=4，令y2=a－3，则x2－3=a－3，∴x2=a，则x3+x1=0，∴x4－x3+x2－x1=(x4+x2)－(x3+1)=4－0=4．

③a－3=－2，即a=1时，x2=x3，不符合题意．

综上，x4－x3+x2－x1的最大值为4．

评注 将一元二次方程根与系数关系巧妙运用到求值式中，结合合理的分类、缜密的思维，解题严谨．

G632

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1008－0333(2017)02－0012－01