2016年高考全国卷(乙)理科数学第19题赏析

广东省汕头市澄海中学(515800) 陈东生 蔡玲玲

2016年高考全国卷(乙)理科数学第19题赏析

广东省汕头市澄海中学(515800) 陈东生 蔡玲玲

一、真题

某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图1所示柱状图.易损零件数.

图1

(I)求X的分布列;

(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?

二、真题评析

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的

1.考点分析本题考察了概率与统计的几个重要主干知识,具体分析如下表(表1)：

设问考查知识点(I) ①柱状图;②用样本估计总体(用频率估计概率);③离散型随机变量及其分布列;④互为独立事件的积事件的概率模型;⑤互斥事件的和事件的概率模型. (II) ①分布列的应用;②互斥事件的和事件的概率模型. (III) ①数学期望;②期望值决策法.

2.特点分析

2.1 试题紧扣考试说明,凸显新课标理念.从上表的考点分析不难发现本题的考点紧扣考试说明,重点考查“三基”,突出考查基本概念与问题的本质属性,同时注重几种能力的考查,即阅读能力、数据处理能力、读表能力、运算能力、综合运用数学知识分析问题和解决实际问题的能力.另外,试题来源于生活,贴近实际,具有人文经济气息,趣味性强,人文特点鲜明,凸显了新课标提出的将数学应用到实际生活中的理念.

2.2 试题阅读量与计算量大.概率与统计的考题与其它考题有着明显的区别,主要体现在文字、数学符号、数据与图表的信息量大,阅读量大,但不失阅读性,因为题目的的表述都是建立在概率与统计的基本概念上,大多数试题源于教材,变于教材,并且试题的背景也贴近生活,通俗易懂,不过对考生如何甄别有效的解题信息的能力提出更高要求.注意到本题单单文字量就高达300字,相当一部分考生将本题阅读了好几遍之后才弄清楚了题意,当然还是有不少考生被繁杂的概念、数据、图表所困扰,无法将文字、符号以及图的信息有效地对应起来,一起考虑问题,所以真的不能小看本题的难度.

计算量大是本题的另一特点.其实,统计与概率题的计算量大是无法避免的,虽然更多只是纯数字运算,但在考试这么紧张的环境下,如果再加上对本题的解法不清晰、没把握,更容易陷入繁重的运算中不能自拔,导致频繁算错.所以计算量大也是本题易失分的一个重要因素.

2.3 脱俗殊常调(相对于历年的广东卷).习惯了广东考法的备考老师和应考学生对本题的第一感觉就是常规,还是统计和概率的综合性题型,还是离不开考查统计的基本思想—-用样本估计总体,但经过仔细分析、求解了本题之后,发现其实跟以往的广东卷的考法还是有很大区别,具体体现在以下几点：

2.3.1 题序后移,难度增大.注意到历年的广东卷,概率与统计是稳定在解答题的第二题,名副其实的千年老二,如今,终于摘帽了,排到了立体几何的后面,排在解答题的第三题,所以难度相应提高不少,从以往的很容易拿分,变成很容易失分,全省考生的均分相对往年也大打折扣,可见难度增大不少.

2.3.2 “热门”不热,“冷门”不冷.大家还记得以往广东卷考查概率与统计最热门的考点吗?毫无疑问,特别是对于长期备战高考的教师来说,真是如数家珍,用样本估计总体(频率分布表、频率分布直方图、茎叶图),样本数学特征(平均数、标准差、方差),还有超几何分布和二项分布,就是这两种分布,广东卷可以连续六年无间断地考查其中的某一种,甚至在2010年一并考查,可见这些考点有多热门,今年却都消声灭迹,真是“热门”不热,当然,用频率估计概率还在延续.代替这些考点且让我们感到些许措手不及的是柱状图与期望值决策法,虽然都源于教材,平时也偶有遇到,但出现在考场上,对于近十年的广东高考来说还是尚属首次,真是“冷门”不冷.

2.3.3 跳出“伪应用”,贴近真生活.肯定有不少人和我一样,“第一眼”看到这一题便莫名地“爱上”它,仔细研读后更是拍案叫好,难道是爱得无缘无故吗?不可能的.像这样把真实且最贴近生活的购物经济问题搬上考场,对“人人读有用的书,人人学有用的数学”做出了最好的诠释,难道没把你给打动吗?如果你还没深刻体会到,我们可以对比一下往年的广东卷,考察了近十年的广东卷,发现至少有7个年份的问题情境离不开这三个关键词：工厂、工人、产品,其实,其本质与袋子里面装了黑球和白球没啥区别,所以形式上好像是应用题,实际上对考生来说没有什么现实意义,与考生的过往、现在、将来的生活没有多大联系,题目给人一种为了应用而应用的感觉,如此的“伪应用”不要也罢.所以相对来说今年的这一题的确是创新了不少,脱了俗,殊了常调,给人一种耳目一新的感觉,是考查学生的数学核心素养的另一典型好题.

3.难点剖析本题被扣上“广东高考史上最难的概率与统计的应用题”的帽子,仔细对比往年,的确一点都不冤.所以分析本题的难点所在意义重大,总结起来主要体现在以下几点：

3.1 试题阅读量与计算量大.试题阅读量与计算量大是本题的显著特点,更是本题的一大难点,鉴于上述已做分析,这里不再重复.

3.2 抓本质,选模型.求解概率的应用题,实际上就是建立、求解数学模型的过程,因此解题的关键是寻找它对应的模型,只要模型一找到,问题便迎刃而解.毫不夸张地说,一切概率问题均是有“型”可依.我们知道,概率模型主要包括古典概型(超几何分布模型)、几何概型、互斥事件的和事件的概率模型、相互独立事件的积事件的概率模型(二项分布).连年来的考题都没超出以上几个模型.当然,今年也不例外,但考生更为得心应手的是二项分布与超几何分布这两种较为特殊的模型,所以当面对着本题所涉及的随机试验是较为陌生的试验的时候,很多考生便措手不及了,对该试验模型的认识只停留在模糊的状态,甚至还没弄清楚做什么试验,这样谈何选取正确的概率模型.以求解第一问为例,下面分析一下如何突破该难点呢?

首先考生必须结合随机变量X的意义,明确试验模型,即为考察2台机器三年内共需更换的易损零件数,然后再根据生活经验,两台机器各需更换的零件数是互不影响,即相互独立,便能正确判断出试验的所有可能结果,即X的可能取值为：16、17、18、19、20、21、22.其实,如果能将这个试验和“投两枚质地均匀的骰子”这个最为熟悉的试验类比起来,那么本问所考查的互斥事件的和事件的概率模型、相互独立事件的积事件的概率模型便能清晰地建构起来,成功求解本问也就近在咫尺,因此,当遇到情景较为陌生的概率应用题的时候,一定要先明确在做什么试验,如果能联系平时常见的一些经典试验模型去帮助理解,快速抓住本质,那么概率模型的选取会变得轻而易举.

3.3 符号语言的理解与运用.作为具有选拔功能的高考应用题,除了要求学生能充分理解生活中的通俗语言外,更注重数学语言的理解、转换及运用.考生在考场上能否快速地在文字语言、图形语言与符号语言之间的转换决定了能否尽快地理解题意、明确问题,从而更快地进入解题氛围.事实上,这恰恰是考生的软肋,特别是在概率的应用题中,每个符号均具有特殊的概率意义,所以更考验考生的理解转化能力,但很多考生还是被考倒.可见符号语言的理解与运用是本题的另一个大难点.

其实,本题的符号并不多,但很考验考生,例如题意中的：“记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数”,其中“X”是离散型随机变量,但“n”并不是随机变量,也就是说购买2台机器的同时购买易损零件并不是另一个随机试验,这样才能更好地理解第二个问题中的“P(X≤n)≥0.5”,用文字语言来转化就是：共需更换的易损零件数不大于购买的易损零件数的概率大于或等于0.5,其中“n”只是一个普通的参变量,如果能突破这一点,便能把问题转化为对第一问已求解出的分布列进行简单的应用,所以只要正确理解符号意义,拿下前两问并不难．对于第三问,更是考验考生的符号语言运用能力,如何把实际问题抽象成符号语言,构建数学模型便是本问的难点所在,只有引入离散型随机变量“Y”来表示2台机器在购买易损零件上所需的费用才能突破难点,可惜的是大部分考生无法做到,导致不能开展解题.

当然,本题的难点还远远不止上述的三个方面,又如规范表述、灵活应用思想方法进行简便解答等,无不考验学生的核心素养,所以剖析本题的难点所在以及突破难点的有效策略,对我们的复习备考乃至基础年级的教学均具有极高的参考价值.

三、几点复习建议

1.回归基本概念概念是正确分析、解决问题的基础.统计与概率涉及到大量的概念和专业术语,作为新教材的新增内容,有些概念学生不易理解,导致在解题时无法读懂题意,无法开展解题.所以复习时不能只将目光集中在具体的题目上,而应注意把握有关概念的内涵和本质,特别是每个概念的概率意义,从而做到概念清、方法熟,才能清晰理解问题,快速准确解答问题.

2.落实作答的规范性,力争零扣分概率与统计的解答题解题过程要求给出适当的文字说明,这就要求考生准确使用教材中所学的专业术语,使用规范的符号语言,通顺的文字语言以及清晰的图形对问题进行表述,切忌只列式求值或表达不规范、字迹不工整,这些非智力因素都会影响阅卷老师的“感情分”.因此平时要严格规范解题过程,注意防止关键词的缺失,还要注意积累一些能润色解题过程的语言,如“依题意可得……”,“由图可知……”,或将题干的一些关键语句“复制”到解题过程中.特别要积累典型概率题的解题步骤和表述方法(一般步骤如下).

第一步：设事件A、B,…或设随机变量X、Y、...;

第二步：将需要计算概率的事件表示为所设事件的积或和运算,或与随机变量的某个取值相对应.或分析随机变量是否服从某种分布,将问题化归为某种概率模型;

第三步：选择适当公式,计算概率或其它特征量;

第四步：下结论,给问题一个明确的答复.

虽然答题没有标准的格式,万能的模板,但上面表述方法颇具普遍性.

3.加强易错剖析,易混辨析解概率题出错最为根本的原因是概念模糊不清,概率模型互相混淆.我们注意到,广东卷在2009年至2014年连续六年考查了超几何分布或二项分布,但遗憾的是每年均有不少考生因张冠李戴而导致丢分.除了这两个高考常考的易混模型、概念之外,我们知道,还有很多.例如“互斥”与“对立”、“互斥”与“相互独立”、“发生了k次”与“恰好前k次发生”、“发生了k次”与“第k次才发生”、“有放回”和“不放回”、“有顺序”与“无顺序”,“一次性抽取”与“依次抽取”等等.所以在复习中,一定要利用好典型例题加强对易混淆概念和易混淆模型的辨析,及时纠正学生常见错误.通过辨析、反思揭示问题的本质,发展学生的识别能力,提高解题的正确率.

4.关注数学思想方法概率是新教材中新增的内容,其中蕴涵了许多重要的数学思想,例如或然与必然的思想方法、正难则反(互补)思想、不等式与方程思想、分类讨论思想、整体思想等等,在概率解题中注重这些思想方法的渗透,对正确、简便解题具有十分重要的意义.