处理含双参平面向量问题的五大策略

江西省信丰中学(341600) 何春良

处理含双参平面向量问题的五大策略

江西省信丰中学(341600) 何春良

平面向量是高中数学的重要内容,它与代数、几何以及三角等知识联系紧密,它作为高考的重要考点,经常出现在选择与填空的压轴题中,尤其是含双参的平面向量问题,在近几年高考命题中考查的频率比较高,考生在处理这类问题时,经常感到无助,不知从何处入手.作为教学一线的高中数学教师,笔者对近几年各省有关含双参平面向量问题的高考题与模考题进行了系统的整理,归纳出了处理这类问题的五大策略,以供大家参考,以飨读者.

策略一、直角坐标法

直角坐标法是处理平面向量问题的主要方法,只要能够建立直角坐标系,把点的坐标确定下来,进而向量的坐标就可以表示出来,那么含双参平面向量问题就可以通过向量关系式得以解决.

例1(2015年抚州模考题)已知四边形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若,则λ+µ=___.

解可将本题四边形ABCD特殊化为直角梯形,建立直角坐标系求解,如右图所示.设AB=2a,AD= b,则CD=a(a＞ 0,b＞ 0),所以.又因为,所以,则有解得所以λ+µ=.

图1

策略二、向量基底法

若问题不适宜建立坐标系解决,则不妨尝试运用向量基底法,它也是处理含双参平面向量问题的主要方法,所谓向量基底法就是根据平面向量基本定理,选择好向量基底,再把题中所给向量全部用基底表示出来,最后把题目翻译所给的向量关系式.

例2(2014年天津卷 •理)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC, DF=µDC.若=1,,则λ+µ=( )

图2

策略三、三角代换法

当平面向量语言所表述的几何元素为点时,且这样的点具有明显的圆(圆弧)的几何特征,那么我们就可以根据三解函数定义,把圆(圆弧)上的各个点用坐标表示出来,即相应向量的坐标就出来了,最后代入题设中的向量关系式,问题就得以解决.

例3(2009年安徽卷•理)给定两个单位向量和,它们的夹角为120°,如图3所示,点C在以O为圆心的弧AB上运动,若,其中x,y∈R,则 x+y的最大值为____.

解如图3所示,以OA所在直线为x轴,以垂直于OA的直线为y轴,点O为原点,建立平面直角坐标系xOy.设∠AOC=α,则由三角函数定义,得A(1,0),

图3

策略四、构造线性规划模型

有些含双参平面向量问题经常与解析几何知识交汇在一起,其最值问题的求解是通过建立直角坐标系,假设动点的坐标,利用已知向量的等价关系,把两个参数用未知量表示出来,从而构建出目标函数,进而转化成线性规划问题来求解.

例4(2013年黄冈模考题)如图4,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,设(α,β∈R),求α+β的最大值.

解如图4所示,以 OD 为 x轴, OC为y轴,O为原点,建立平面直角坐标系. 设 P(x,y),而 C(0,1),D(3,0),则,由已知条件,进而可得,所以.这就转化成了线性约束条件为△BCD区域(含边界),目标函数为的线性规划问题,由线性规划知识,易得B(1,1)为最优解,则.

图4

策略五、补形法

利用补形法来解决平面向量问题的实质是根据平面向量的基本定理及平行四边形法则,构造出平面几何模型,结合共线向量定理与解三角形的相关知识对问题加以解决.

例5(2009年湖南卷•理)如图5所示,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若,则x=___, y=____.

图5

图6

解在图5中,过D点作AB延长线的垂线DG,垂足为G,再过D点作DF⊥AC,垂足为F,如图6所示.易知,四边形AGDF为矩形.由向量加法运算的平行四边形法可得：.在图6中不妨设BC=DE=2a,则

在Rt△CAB中,AB=AC=BCsin45°=;

在Rt△DBE中,BD=DEsin60°=;

在Rt△DGB中,易知∠DBG=45°;

由上可见,对含双参平面向量的问题,由于与其交汇的数学知识较多,解题的方法也比较灵活多变.上述介绍的几种解题策略是比较常用的,但由于问题的形式千变万化,考题也常考常新,所以这个问题的求解策略还需要我们不断地去挖掘、探究与总结.

[1]何春良.处理平面向量模长问题的五大策略[J].中学数学研究(上半月),2016(3)：12-14.

[2]徐惠.平面向量问题的六大处理方法[J].数学通讯(上半月), 2015(7-8)：99-101.