基于数学本质处理教学细节——以《圆的认识》教学为例

程　思

人们对于“圆”很熟悉，它是平面几何图形。而日常生活中，篮球常常也被人们描述为“圆圆的”。在这两种表述中，“圆”的内涵是不相同的。但在课堂上，学生容易将之混为一谈。在教学中，像这样数学语言与日常生活用语相冲突的情况时有发生，教师该如何处理呢？作为一线教师，我认为应基于数学本质来处理教学细节。

张奠宙教授在《更多地关注数学本质与细节处理——以圆的定义为例》一文中，发表了三个观点：生活中表述的圆，不是圆的数学本质；改进课本对圆的定义；关注圆与圆形之细节处理。文中也提到一个不成文的规定：“小学阶段只涉及圆的直观表象，不出现圆的定义。”但张教授建议教学时，在画圆的活动后顺势提出一个圆的定义。这个改进建议是否可行呢？效果又如何呢？

根据张教授的设想，我从定义、教材、教学活动这三个方面对圆的定义的教学进行了如下分析。

一、辨析定义，明确圆的数学本质

圆的定义是什么呢？通过查阅现行的小学、初中、高中数学教材，查阅《解析几何》《几何原本》等著作，发现有关“圆的定义”有多种不同的表述方式，在教材中通常引用以下三种：

集合论（定义1）：平面内与一个定点距离等于定长的点的集合叫作圆。

轨迹论（定义2）：在平面内，线段OA绕着它的端点O旋转一周，它的另一端点A所经过的封闭曲线叫作圆。

极限演变论（定义3）：圆可以看作是正n边形，是无穷正多边形。（你想画多圆，就可以用多少边的正n边形来代替）

在解析几何的平面直角坐标系中，根据圆的定义，设定点C（a，b）表示圆心；定长 r表示半径；那么圆的标准方程为（xa）2+（y-b）2=r2。

假设M为平面内任意一点，d为M到圆心的距离。点与圆有三种位置关系：当d=r，M在圆上；当 d＞r，M在圆外；当d＜r，M 在圆内。

由此可见，圆是d=r的点的集合，是一条封闭曲线，即是一维的几何图形。

圆盘是包括了d=r及d＜r的点的集合，是由这条封闭曲线所围成的平面区域，可以看作是二维图形。圆盘与圆具有不一样的数学本质。

而球体一般方程为（x-a）2+（y-b）2+（z-c）2=r2，可见球体是三维立体图形。

在生活中人们把具有光滑、饱满、匀称性质的形状统称为：圆的。但在数学领域，他们切不可混为一谈。

二、对比教材，理解圆的数学本质

由圆的定义可知圆与圆盘是有本质区别的，那么在选择教学素材时应考虑到圆的数学本质。什么素材有利于区分圆与圆盘？为此我对比了人教版1990年、2006年、2014年不同时期的教材：

年份　引入方式　素材1990先复习平面上的直线图形，再引出平面上的曲线图形——圆硬币、钟面、圆桌面的实物图2006　单元主题图　公园情境，学生找圆形物体2014　从自然景象到建筑物　水滴形成的水纹，天坛、摩天轮等

三种不同时期的教材都注重与学生生活实际相联系。与1990 年教材相比较，2006、2014版教材更注重让学生去发现圆。在2014新版教材中先直接指出生活中到处可以看到大大小小的圆，再以水纹、摩天轮等引入，素材更加丰富。新教材虽没有将圆的定义形成文字，但在素材处理上更注重圆的数学本质，事实上呼应了张奠宙教授的观点。

通过查阅大量教学案例，发现在教学中仍然常见以硬币、钟面等实物引入。在探究“圆的特征”活动环节，会让学生以圆纸片为学具。这样与刚刚谈论的“圆的数学本质是一维曲线”相违背。

为使学生对圆形成清晰的表象，笔者建议：1.先出示如自行车轮、手镯等更接近圆的本质属性的实物。2.再出示硬币、光盘等实物图让学生找一找圆。3.最后再以圆纸片为学具探究圆的特征。这样更有利于学生形成概念。

三、参与活动，接受圆的数学本质

张教授文章中提出“六年级的学生已经接近少年时期，完全有能力弄清圆的几何学定义”，学生是否可以接受呢？效果如何？

通过整理相关教学案例，发现许多小学数学名师都上过这节课，后起新秀们也频频用这节课来“小试牛刀”。在此从中选择三节具有代表性的课进行观察分析。

1.【集合论】公平的游戏。

教师出示三个套红旗游戏的实景图，学生思考游戏的公平性。

接着，进一步将实景图抽象出三个相应的教学示意图：

得到结论：直线和正方形上的点到一个定点的距离并不是都相等；圆上的所有点，到一个定点（圆心）的距离都相等，得出图3最公平。

此案例中，学生通过游戏找出了“圆”。教师自然、形象地引出“圆”，同时也让学生初步感知“圆”的陈述性定义：圆上的点到定点（圆心）的距离都相等。

2.【轨迹论】美妙的图案。

在平面图形的世界里圆与其他图形有着错综复杂的关系。正三角形，以中心旋转，旋转后成了一个近似圆的图形。

正方形，绕着它的一个顶点旋转，还是近似一个圆。

不仅是直线图形旋转后能找到圆，曲线图形甚至是线段通过旋转也能找到近似的圆。

通过拓展，学生更深刻地理解了圆的本质，也了解了圆的另一个定义：当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。使掌握知识与发展数学思维自然地融合在一起。

3.【极限演变论】。

《周髀算经》中有记载：圆出于方，方出于矩。

在同一个圆里，半径处处相等，具有这样等长线段的却不只是圆。正四边形、正五边形、正六边形、正八边形从中心出发，连接顶点，这些线段的长度也一样。

想象一下，正一千边形、正一万边形，直到无穷无尽，这时就越来越接近一个圆。在欣赏直线逐渐逼近曲线的过程中，学生感受到正多边形无限逼近于圆，“圆”可以看作是无穷正多边形。

以上三位教师围绕着圆的本质，来处理教学细节，以贴近生活的游戏或者活动，将圆的动态形成过程展示出来，让学生在充分参与、充分体验中理解并接受了圆的定义。由此可见，张奠宙教授提出的“在《圆的认识》教学中出示简单的‘圆的定义’”，这个设想是能被学生所接纳的。

在张教授这篇文章的引领下，我查阅了相关资料，分析了不同版本的教材，研究了从不同角度来设计的教学案例。在研究过程中无时无刻不感受到数学思辨的魅力。我想，作为一名数学教师，我们不能简单地局限于教材，更应该敢于质疑，通过不断的探究，理解数学的本质，形成自己的见解，并有意识地培养学生质疑、探究、论证的精神与能力。

作为一线教师，只有从教学细节入手，在阅读中反思，在思考中思辨，在实践中验证，在历练中提高，才能带领学生领悟数学的本质。