把握概念本质 落实核心素养——兼评陈瑾、张聪聪《分数的初步认识》一课

刘　松（特级教师）

近两年，关于学生核心素养的讨论可谓铺天盖地。笔者估计，这恰是官方智囊所希望出现的，因为真理会越辨越明，百花齐放、百家争鸣，学术才能真正地走向繁荣。但作为一线教师的我们，除了关心核心素养理论内涵的界定以外，其实更关心的是如何在操作层面使学生的核心素养落地。关于数学核心素养，笔者认为无论是官方公布的内涵，还是民间许多专家的质疑，其实均有一定的道理，也并不会影响我们的执行。换句话说，无论按照哪一派观点去操作，若真正操作好了，终究都会对学生有益的。

比如，现在许多教师都公认抽象是数学的第一特征，是三大基本思想之首，也是目前官方已公布的高中数学六大核心素养之首（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）。以数学抽象为例，官方文件给出的解释是：数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统等等。

在笔者看来，这样的解释已是相当深刻且完美。但前不久，看到了华南师大何小亚教授的一篇文章《数学核心素养指标反思》，让笔者不得不慨叹，学术没有禁区，真理也应没有终点。且看何教授如何反思：

反思1：只舍去“物理属性”，不舍去“社会属性”“形式属性”？应该是“具体属性”。

反思 2：“表征”应改为“表示”，如此更通俗易懂，也更准确。表征（representation）是教育心理学的术语，是认知者在脑中重新表示反映——再表示的意思。

反思3：数量与数量关系、图形与图形关系已经属于纯数学世界的内容，由两者抽象出数学概念及关系就是数学家、数学教育家Freudenthal所说的垂直数学化，即数学世界内部由低级向高级的发展。“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”指的是从真实世界得出数学原理结构，是由真实世界到数学世界的水平数学化之一，但却少了另一种更基础的水平数学化：由真实世界抽象出数量、图形、概念等数学模式。例如：实际问题→茎叶图；力→向量；力的分解合成→向量的分解合成。

反思4：抽象是数学的特点之一，但不是数学所特有的。逻辑学、哲学、文学、艺术中的“抽象”俯拾皆是。概括性才是数学更本质的特点，抽象是过程手段，是概括的基础，而概括才是最终的目的。理解数学概念、原理的本质不是理解抽象性，而是理解数学概念、原理的概括性或者说“通杀性”！

反思5：“数学抽象”是一种提炼抽取数学对象的手段，把它作为一种数学思想恰当吗？请问国际上有哪一本专著、哪一篇论文把数学抽象作为数学思想之一？从定义所阐述的内容看，“数学抽象”实际上是Freudenthal早已提出的“数学化”的部分内容。

数学化是整理现实性的过程，它包括数学家的全部组织活动，比如公理化、形式化、图式化、建模，以及数学内部由低级向高级的推动过程。这里的“现实性”是指真实世界和数学世界的总和，不能望文生义地理解为真实世界、现实世界。

数学化被分成两种：一是水平数学化，即从生活世界中抽象概括出数学概念、数学原理等数学模式的过程，是从生活世界到数学世界的转化过程。二是垂直数学化：即从现有的数学世界中抽象概括出更高级的数学模式的过程，是从低层数学到高层数学的过程。

国内外的同行早已认同了Freudenthal的观点：学数学就是学习数学化，教数学就是教数学化。数学化的学习就是学习数学化的过程，即学习如何进行公理化、形式化、图式化、模型化，以及学习在数学内部由低级向高级的发展过程。

结论：基于尊重知识产权以及与国际接轨的要求，“数学化”应作为数学核心素养之一，而不是“数学抽象”。

笔者无法达到这样的高度，更不具备他们的视野，甚至不能完全理解教授们所言。只能无限地感叹，我们赶上了好的时代，可以听到不同的声音、看到不同的观点，从而引发自己相对深层次且多角度地思考问题。

至于究竟什么是数学的核心素养，目前个人比较喜欢的是南京大学郑毓信教授的论述：数学核心素养的基本涵义，应当是通过数学教学帮助学生学会思维，并能逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。换句话说，如果大家认可数学是思维的体操，如果核心素养只能有一个，那就必须聚焦学生的思维。其实，回望目前国家已公布的高中数学六大素养，亦或是2011版《义务教育数学课程标准》提出的十大核心概念，哪一条离开了思维的基础与前提，都将成为无源之水、无本之木。特别地，关于“基本活动经验”的审思，最近有专家提出所谓的“三用”主张，即：我们要让学生学会用数学的眼光观察世界，发展数学抽象和直观想象的素养；让学生学会用数学的思维分析世界，发展逻辑推理和数学运算的素养；让学生学会用数学的语言表达世界，发展数学建模和数据分析的素养。这样的主张清晰好记，也易于理解。但若冷静地想一想，“数学的眼光”“数学的思维”“数学的语言”是否应该绝对地分隔开来？进一步思考：“我们看世界，究竟是用眼睛在看，还是用头脑在看？”还有，大家都知道语言与思维之间存在重要的联系，如“语言是思维的外化”“思维是内在的语言”等。如此，可以看出“数学的眼光”“数学的思维”“数学的语言”应是一个整体，且是一个以“数学思维”为中心的整体。所以，数学思维自然就成了核心的核心。

简言之，数学核心素养指向数学思维品质的提高。而数学思维品质区别于其他学科的思维，有着丰富的内涵，包括思维的清晰性与严密性（合理性），思维的深刻性与全面性，思维的综合性与灵活性，以及思维的创造性等。

在陈瑾、张聪聪两位教师的教学中，通过关注数学概念的本质，提升了学生的思维品质，同时也落实了数学的核心素养。

关于《分数的初步认识》一课，张老师的教学相对中规中矩，基本按照教材编排进行；陈老师则相对大胆，在基于学情的前提下，充分尊重了教材，又超越了教材。两位教师都比较关注学生的学，两种教法均取得了较好的教学效果。由于学生年龄较小，且分数的意义较多，本节课定位是初步认识，所以核心是让学生明白分数的第一个意义，表示部分与整体的关系即可。该课笔者听过不少于上百节，其中包括许多大师名家的精彩演绎。实事求是地分析，两位教师许多的教学设计之处与大家并无多大差异，但有一点却给笔者留下了深刻的印象。就是引导学生明白分数是在平均分的基础上，表示部分与整体的关系的处理。张老师以为抓手，让学生表示出一张正方形纸的，学生一一展示，黑板上张贴了学生不同的作品。

教师追问：既然这里的六个正方形形状不同、大小也不同，为什么都可以用来表示？引导学生明白，只要是平均分成四份，不管大小形状，每一份都是整体的。许多教师的教学到此就结束了，因为学生已经可以充分感悟分数表示部分与整体的关系的本质了。但张老师并没有就此打住，而是继续往前走了半步：

“师：说得太好了！只要把一张正方形纸平均分成四份，那么每份一定是它的。（课件动态演示）那这样呢？

师：你说得没错，如果这样分呢？

生：好像不是平均分的。

师：那我们来验证一下。（课件动态演示每一份是一样大的）

师：这样分呢？

生：一定也是，因为每一份是一样大的。

师：其实这样的分法还有很多！但不管怎么分，只要把它平均分成了四份，每一份都可以用来表示。”

也许有教师会质疑，后面的三种分法不出，丝毫也不影响学生对分数的理解呀！况且，本节课主要是让学生初步感知分数的产生与意义，并非研究如何等分正方形的啊！对此，笔者完全赞同，但反过来想一想，如此处理，影响学生对分数的理解吗？增加了学生的学习负担吗？完全没有。后三种分法张老师并没有让学生探究，而是课件播放让学生欣赏。其实，又并非仅仅是欣赏，还兼有判断练习的味道。而这种练习，又并非简单的判断，恰是强大的思维训练。后三种中的第一种，学生相对比较容易看出，第二种有些同学则并不能一眼看出，需教师通过课件旋转，才能发现四部分完全一样，而第三种分法更多学生想不到。如此处理，不仅加深巩固了学生对分数表示部分与整体关系的意义理解，还凸显了数学学习之与人的素养提升的一个重要功能——创造性。一张正方形纸均分四份，并非只有三种分法，其实有无数种可能（尤其是后三种分法中的第二种，垂直交叉线只要经过中心点即可）

张老师如此设计，只是往前走了半步，但就是这半步，不仅凸显了概念的本质，还突出展示了数学思考的美丽，同时充分体现了创造性的魅力。

引导学生理解：不管分得的形状是怎样的，只要是把一个整体平均分成两份，里面的每一份都是整体的。

至此，陈老师也并没有结束，同样追问：是不是只有这三种分法呢？

有同学举手说：我发现只要找到这个正方形的中点，过中点再画一条线，无论怎样画，都能将这个正方形平均分成两份，每份都是这个整体的，所以应该有无数种分法，但不管怎么分，每一份都可以表示为整体的。

事实上，学生们的思维水平一点也不比教师差，尤其是最后一个的表示，已经达到了五年级分数再认识的水准。而教师只需不停地追问：形状、大小都不一样，为什么都可以用来表示？学生自然感悟，分数表示的是部分与整体的关系，与大小形状等物理属性无关，这个过程就是数学抽象或者说数学化的过程。如此教学，同样做到了关注数学概念的本质，同时还注重了学生思维品质的提升。

两位教师的教学还有其他优点，当然也有不足，限于篇幅，不再赘述。笔者只想再次表达一个观点，俗话说，术业有专攻，让小学教师去研究大学教师的问题，不是不可能，但很难有建树，反之亦然。作为一线学科教师的我们，关注的更多应在操作与执行的层面，只要大的方向没错，心中始终装着学生，着眼于学生的未来及发展，关注学生思维品质（尤其是创造性）的提升，扎实地上好每一节课，终究受益的是学生。