串联整合方法分析比较拓展——《鸡兔同笼》教学实践与思考

王相春

【教学内容】

浙教版三年级《鸡兔同笼》。

【教学过程】

一、谈话引入

1.引出数学特征。

师：同学们，这是生活中的鸡和兔（图片）；在画家的笔下，是这样画的（美术作品）；而研究数学问题的人用“”来表示鸡，这表示什么意思呢？

生：鸡有一个头，两只脚。

师：那么兔该怎么表示呢？

生：再添上两只脚，因为兔有一个头，四只脚。

2.看图编题。

生：有两只鸡，两只兔；4个头，12只脚。

师：现在每人画一幅图，请同桌猜猜是什么意思。

师：今天我们就来学习《鸡兔同笼》问题。

【思考：从画家笔下的鸡兔到数学中的鸡兔，感悟数学更关注的是事物的数量特征，体会数学思维的抽象性和概括性。在图像和语言之间进行沟通转换，为接下来课程的展开做好必要的铺垫。】

二、解决问题方法的多样化

1.分步呈现例题。

师：一个放鸡、兔的笼子，从上面数，有8个头，鸡和兔可能各有几只？

（教师引导，学生讨论交流）

生：鸡兔分别是 0、8；1、7；2、6；3、5；4、4；5、3；6、2；7、1；8、0。

师：刚才大家列举了鸡和兔的各种情况。那么笼子里到底是几只鸡几只兔能确定吗？

生：不能，还缺少条件。

师：（补充条件：从下面数，共有26只脚）现在题目中有哪些数学信息？

生：有8个头，26只脚。鸡有2只脚，兔有4只脚。

师：我们一起把条件用式子表示出来。

师：现在你能确定有几只鸡和几只兔吗？

（学生尝试解决问题，教师巡回，收集典型解法）

2.学生反馈。

（1）画图法。

师:请这位同学把你的想法说一说。

生：我先画了8只兔，发现有32只脚，多了6只脚，所以去掉3只兔，变成3只鸡。

师：检查一下，脚的只数是否正确？

生：5×4=20（只），3×2=6（只），20+6=26（只）。正确！

师：下面请另一位同学重新画一下，看仔细了！

生：先画：

再画：

最后修改成：

【思考：三年级学生尚不能完全脱离实物，抽象地进行逻辑演绎，经过一定概括的“图像”形象直观，便于操作，可以有效地帮助学生理解和分析数学事实或现实情境中的数量关系。基于自身认知水平对问题本质进行再表征以利于进一步开展推理、解决问题的过程，是解决问题的关键环节，学生应当经常有机会经历这样的过程，形成分析问题、解决问题的经验。展示学生的画图作品，都蕴含了“假设-调整”的因素。】

（2）尝试猜测。

师：这位同学你又是怎么想的呢？

生：有8个头，我先尝试4只鸡4只兔的情况，算出脚有24只，不够。再试3只鸡、5只兔，脚有26只，成功了。

师：他是抓住“共有8个头”这条信息，试着猜测有几只鸡几只兔，算出脚的只数来检验，如果不对，再调整。

（3）列表法。

①呈现学生作品。

生：他是把每一种情况的脚的只数都求出来，然后选中“26只脚”的情况。

②观察，发现规律。

师：他列得很完整。仔细观察，你发现其中有什么规律吗？

生：脚的只数都是2只2只增加的。

生：每次减少一只鸡，增加一只兔，就会增加2只脚。

生：因为鸡有2只脚，兔有4只脚，一只鸡变成一只兔，所以要加2。

师：从左往右看，把1只鸡换成1只兔，都会增加2只脚；从右往左看，把1只兔换成1只鸡，就要减少2只脚。

③根据规律，跳跃列表，感知假设。

师：看这种假设，谁有好办法找到答案？

生：从16到26，要想增加10只脚，就要把5只鸡换成5只兔，所认鸡是3只，兔是5只。

生：我可以给他补充算式：最开始8×2＝16（只），还缺：26-16＝10（只），1只鸡换成1只兔只能增加2只脚，所以10÷2＝5（只），就要把5只鸡换成5只兔，鸡变成：8-5＝3（只），兔变成：0+5=5（只）。

师：下面再看这张表格，你会填吗？

生：鸡0只、兔 8只，总共有脚8×4=32（只），多了6只脚，这样就要把兔换成鸡，换一次就减少 2只脚，6÷2=3（只），所以鸡有0+3=3（只）、兔有8-3=5（只）。

师：同学们，学习中常常要回头看。我们回头看一看，刚才的列表与最开始的列表，有什么区别？

生：开始的麻烦，每个都要列，当知道规律之后，我们可以跳着列，这样比较快。

生：区别是我们找到了规律，利用规律就可以预算出答案。

【思考：有意识地选取典型性的学生作品，引导学生开展聚焦与分析。观察表格中的数据，先发现“+2”或“-2”的现象，再究其原因，突出1只鸡（兔）换成1只兔（鸡）所带来的脚数变化。进一步启发学生利用这种变化规律，把开始的“一一列举”法优化成“跳跃调整”法，并在解释“跳跃调整”策略的过程中，启迪出“算术假设”的思路。】

（4）感悟方法之间的联系。

师：今天我们学了“画图”和“列表”两种解决问题的方法。仔细看一看，它们之间有什么类似的地方吗？

生：我发现画图的同学是先都画成鸡或者先都画成兔。列表的第二个同学也是从全都是鸡的情况开始的，表格里写的数就对应这图上的头和脚。

生：我发现表格调整的时候，都是以“2只脚”为一份来进行调整，1只鸡换成1只兔，脚数就加2，反之就减2。图里也是这样的，每次都是添上2只脚，或者划去2只脚。

生：我觉得画图和列表都可以归到同一个算式里去。都先假设8×2=16（只），然后都去验算：26-16=10（只），要想办法增加10只脚。根据规律1只鸡变成1只兔只能增加2只脚，预算出：10÷2=5（只），要变5只，于是得到答案。

【思考：解决一个问题，可能有很多种方法，每一种方法各有特点，从而各有适用性。但因为都针对同一个问题，因此也必有共同之处。引导学生对方法进行比较，在比较的过程中感悟特点，沟通联系，使学生对问题的理解、对数学学科特点的理解变得更加深刻。】

三、巩固练习，感受模型

1.练习，感受数学文化。

师：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这道古代名题你读懂了吗？你能解决吗？请同学们用自己喜欢的方法试试看。

2.再次练习，感知模型。

题目一：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？

题目二：5角的硬币和1元的硬币共有20枚，价值16元。其中5角硬币有几枚？1元的呢？

师：这些问题与“鸡兔同笼”问题有关联吗？

生：题目一龟就是兔，鹤就是鸡。题目二1元硬币就是兔，5角硬币就是鸡。

师：看来“鸡兔同笼”问题不只是说鸡和兔的事，也可以变化出很多不同的情境，像刚才两道题都能够找到“鸡和兔”的影子。“鸡兔同笼”实际上只是一类问题的模型！

3.布置作业。

编一个有趣的“鸡兔同笼”问题。（注意不用“鸡”和“兔”！）

【编辑点评】

王相春老师这节课值得借鉴的有以下三点。

首先，面对全班学生上课，宜适当减缓学习的坡度。具体包括：1.放低起点。问题讨论中需要用到的一些符号、语言都先做铺垫。这样能保证大部分学生都能够顺利进入问题情境，参与问题解决的过程。2.在学生独立解题时，积极巡查，准确判断学生的认知情况，结合本课的重点有选择、有顺序地讲评学生作品，层层落实和推广关键知识和重要方法。3.差异化作业。解题和编题练习都允许学生作个性化的选择和表现，思维能力弱一点的，模仿程度高一些；思维水平高的，可以作较大的变式。大家都感受到自己的收获，都有成功的体验。

其次，做好“多元展示”与“必要沟通”，有意识地提高学生的认知概括水平。从不同的角度切入问题，用不同的表征再现问题，循不同的路径推理问题，等等，都可能带来解题方案的不同。展示不同的方案，能拓宽学生的思路，且在听取方案的过程中，学生也在进一步熟悉问题，增进对问题的理解。但是课堂不应就此打住，“用自己喜欢的方法想”只是个性化学习的一部分，教师在系统学习的过程中还要引导学生去思考和发现不同方法之间千丝万缕的联系，对方法做进一步的概括和分类。这是学生不能自觉达到的认知高度，也正是需要教师去主动引导的地方。

这节课，王老师不仅引导学生解决具体的“鸡兔同笼”问题，更提出高一层次的反思性问题：“画图和列表之间有什么相似的地方？”“这些问题与‘鸡兔同笼’有关联吗？”通过这些问题的讨论，学生就能跳出亦步亦趋、就题解题的窠臼，透过问题情境关注问题结构，掌握“鸡兔同笼”的数学模型以及“假设”的思想方法，获得更强的学习主动性和能动性。