无痕教育的课堂实践策略——以《解决问题的策略》教学为例

徐　斌（特级教师）

理想的教育境界是教育无痕，然而“有”和“无”并不是完全对立矛盾，而是具有内在联系的统一体。如何处理有痕与无痕之间的辩证统一关系呢？有痕，体现的是基础知识和基本能力的显性变化；无痕，体现的是必备品格和关键能力的隐性提升。有痕，更多地表现为课堂组织设计的精致与细腻；无痕，更多地表现为课堂教学过程的灵动与开放。有痕与无痕，是互相依存的和谐统一。要达到无痕的境界，需要经历有痕的阶段。在我看来，教育的最终目的是要让学生获得带得走、看不见而又用得着的东西，即当下都在研究与提倡的核心素养。核心素养是学生发展的“隐形的翅膀”，具有“无形的力量”，如同武侠小说里面的“手中无剑，剑在心中”。无痕教育理念下的数学课堂实践策略有哪些呢？下面以六年级《解决问题的策略：替换》一课的教学为例，阐述其教学实施策略。

一、不知不觉中开始

良好的开端是成功的一半，数学学习活动的开启，应该在自然而然中出发，而不是赤裸裸地灌输和强制性接受。只有引发了对新知的内在需要，才能激发起学生学习的内驱力。而要做到“不知不觉中开始”，前提是教师对所教内容的整体把握。优秀的教师总是能够瞻前顾后、迁移渗透，把握所教内容与以前学习内容以及将来学习内容之间的实质性联系，帮助学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知学习。

片断1：引入“替换”的策略

（依次出示两幅天平图，引导学生观察思考）

图1

师：这是一架平衡的天平，从图中你能看出一个苹果的重量和一个梨的重量之间有什么关系吗？（图1）

生：一个苹果的重量是一个梨的两倍。

师：据两幅天平图，你能求出一个苹果和一个梨的重量吗？

生：把图2中左边的一个苹果换成两个梨，就成了4个梨重400克，这样可以求出一个梨重100克，再求出一个苹果重200克。

生：把图2中左边两个梨换成一个苹果，就是两个苹果重400克，一个苹果就重200克，再求出一个梨重100克。

（课件动态演示把一个苹果换成两个梨或者把两个梨换成一个苹果）

师：在解决刚才这个问题时，大家用到了“换”的方法，这是数学中一种非常重要的策略——替换。（板书）

师：其实早在一千七百多年前有一个叫曹冲的小朋友，就用替换的策略演绎了一个生动的故事，你们听说过吗？

师：（出示“曹冲称象”的图片）曹冲是如何用替换的办法称出了大象的重量？

生：曹冲是用石头替换大象的。

【解读：如何让学生在不知不觉中产生运用替换策略的需要？上述教学片断中，通过形象直观的方式引发了学生的初始学习进程。学生虽然是第一次正式学习用替换的策略解决问题，但在他们的生活经验中已模糊地经历过类似的方法，只是还没有建立起一种完整的数学模型。所以在课的引入部分，从直观的天平图，到感性的数形结合，再到抽象的推理计算，并结合“曹冲称象”的典故，一下就扣住学生心理，唤醒了他们头脑里的已有生活经验，为之后的探究过程奠定了良好的心理准备和认知基础。】

二、潜移默化中理解

“为理解而教”是数学教学的重要目标，而理解知识的关键是顺应学生的思维特点和认知规律。小学阶段学生的认知水平属于“具体运算思维”阶段，其最大的特点是思维离不开具体事物的支持，他们的感知觉、观察力和记忆均处于初步发展水平，学习数学的动机和兴趣也很不稳定。在这样的前提之下，小学生学习数学的过程，需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应学生的学习心理，让他们在不露痕迹中获得新知意义。

片断2：理解“替换”的本质

例题：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的小杯和大杯的容量各是多少毫升？

生：大杯容量是小杯的3倍。

生：1个大杯可替换成3个小杯。

生：3个小杯可替换成1个大杯。

师：怎样用替换的策略来解决这个问题呢？谁能把你的方法介绍给大家？

生：我把1个大杯换成3个小杯，这样就有9个小杯，一共是 720 毫升，720÷9＝80，可以算出一个小杯的容量是80毫升，一个大杯的容量就是240毫升。

生：我是把6个小杯换成2个大杯，这样就有3个大杯，720÷3＝240，先求出一个大杯的容量是240毫升80，再求出一个小杯的容量是80毫升。

师：如果把题中条件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”，现在还可以替换吗？

生：我认为不好替换。因为不是正好装720毫升果汁。

生：我认为似乎可以替换，就是替换之后有可能720毫升果汁装不下。

生：我也认为可以替换，不过替换之后也有可能不止装720毫升果汁。

师：请同学们在练习纸上画图试一试，看看能否解决问题。不过要特别注意——在替换时，果汁的总量会有什么样的变化？

（教师完成板书）

【解读：如何让学生在潜移默化中理解替换策略的本质？上述片断中，先让学生自主分析数量关系，然后组织小组讨论寻求策略，接着独立画图感悟思考，最后师生交流，教师用简洁明了的板书加以体现。尤其是板书的设计具有启发性，采用箭头符号，让学生直观地感知大、小杯替换的过程。在学生初步学习了倍数关系的替换策略之后，教师抓住替换的依据进行变式，由“小杯的容量是大杯的”改变为“大杯的容量比小杯多20毫升”。当学生对两个数量呈相差关系能否进行替换产生不同意见时，适时组织学生讨论、辩论，从而获得问题的解决。这样的设计与教学，抓住两个量之间的关系，灵活变化，充分调动了学生的探究欲望，利用知识间的迁移，突破了难点，并让学生在比较中内化已有知识结构，明确了倍比、差比两种不同类型的替换特征，在变化与不变中让学生探寻联系，感受到数学的规律美。】

三、循序渐进中掌握

学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。数学教学是一种层次艺术，更是一种“进”与“退”的智慧。通过适当的“退”和必要的“进”，能使得学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。表面上看，“进”和“退”是一对反义词，然而，这两者并不矛盾。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。

片断3：掌握“替换”的策略

1.学生独立审题，填写替换的方法，不必列式计算：

（1）六（1）班 50名同学和杨老师、杜老师一起去参观机器人科普展，买门票一共用去270元。已知每张成人票是每张学生票的两倍，每张学生票多少元？每张成人票多少元?

想：把它们都看成（ ）票，可以把（）张（）票换成（）张（）票。那么270元相当于买了（）张（）票。

（2）在两个同样的大盒和五个同样的小盒里装满球，正好是100个。每个大盒比每个小盒多装8个，每个大盒和每个小盒各装多少个？

想：如果把（ ）个（ ）盒换成（）个（ ）盒，总个数比原来（ ）（填“多”或“少”）（）个。

2.你能运用替换的策略解决这个问题吗？

（部分学生看到题目就开始列式，部分学生没有马上列式，少数学生举手发问）

生：这道题似乎缺少什么条件？

生：这道题目没有告诉我们铅笔和钢笔单价之间的关系，因此不能做。

师：不错，聪明的同学善于发现问题！如果运用替换的策略，就需要明白替换的依据。那么，要想用替换的策略解决这个问题，可以补充什么样的条件？

生：可以补充倍数关系的条件，也可以补充相差关系的条件。

【解读：有效的数学课堂不能止步于理解。为促进学生从理解走向掌握，上述片断中设计了两个层次的巩固练习：前两题是独立审题并填写替换方法，进行基础性练习，其实是一种“退”；最后一题是缺少条件的替换问题，让学生尝试与讨论，并补充相关条件，其实是一种“进”。这样的设计与教学，学生在循序渐进中逐步走向替换策略的本质，形成相关技能，进而应用技能解决简单的实际问题。】

四、春风化雨中提升

课堂学习的过程就是学生不断发展和提升的过程。如何提升学生的数学素养？有道是：比知识更重要的是方法，比方法更重要的是思想，比思想更重要的是精神。课堂是师生人生中一段重要的生命经历，课堂是充满无限魅力的地方，课堂是学生充分发展的天空。无痕教育理念下的数学课堂，学生的学习经历应是充实快乐的，学习结果应是充分有效的，学习的过程应是充满智慧的。

片断4：拓展“替换”的策略

师：刚上课时，我们观察了天平图，采用了替换的策略分别求出了两种水果的重量。现在我们继续观察天平图。

师：第一幅天平图，显示了两种水果之间的重量关系；第二幅天平图，出现了第三种水果——菠萝；第三幅天平图，右边托盘里，如果放同一种水果，可以怎样放？

生：可以放6个梨。

生：可以放3个苹果。

生：可以放一个半菠萝。

师：如果右边托盘里放了一个600克的砝码，天平保持平衡。你能分别求出一个梨、一个苹果和一个菠萝的重量吗？

【解读：学生学习数学的重要价值在于发现生活中的数学问题，并能利用所学的知识去解决问题。数学又是思维的体操，思维的灵活性、开放性、应变性直接关系到学生学习能力的高低。本课主要学习的是两个量之间的替换，而此题已经拓展为三个量之间的替换，学生的思维能力得到极大的提高与开发。在课的结尾再次结合课始的直观天平图，并进行拓展和延伸，让学生感受到替换策略的作用，去寻找生活中的替换现象，并从数学的角度去研究这些现象，进而从数学策略上升为数学思想，乃至于数学的理性精神。】