优化建模过程培养数学思维能力

黄莲花

建立模型并运用模型解决实际问题的过程就是数学建模。数学建模的过程，就是学生不断思考、不断对各种信息进行加工转换的过程，就是不断激活原有的知识经验，对当前问题做出分析、推论、综合、概括，形成假设，并对假设进行验证的过程，这一过程为数学思维能力的训练提供了理想的途径。

一、数形结合，培养“翻译——转换”能力

学生学习中感到最难的是对题意的理解。学生理解了题意，学习就成功了一半。如何正确理解题意，“数形结合”思想的运用是有效策略之一。

如，教学《乘法分配律》时，教师创设了如下解决问题的情境：

希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。扩建后的操场面积有多大？

启发：要求扩建后的操场面积有多大？解决这个问题其实是求什么？你能不能画图清晰地呈现出来？

当学生画出直观图时，就可要求学生将已知信息在图中标出，并指出所求面积的部分。然后，要求学生：1.独立思考，尝试解决。2.组织交流，分析比较。

此时，根据图示，学生对“扩建后的操场面积”其实就是指“长是60米，宽为（30+10）米的长方形的面积”或者指“原来的长方形与长为60米，宽为10米的长方形的面积之和”，这样就一目了然了。将问题进行转化后，就能迎刃而解了。

这个过程，学生将抽象的文字信息转换为直观明了的图示，使所求问题与信息得到有效关联，不仅问题得以解决，更重要的是学生自主分析、取舍、判断、表达、数学语言的翻译能力也得到了锻炼和培养。

二、“假设”先行，培养“洞察——猜想”能力

洞察能力，通常指能深入、清楚地了解事物的本质，快速抓住要害，一举解决问题的能力。假设，就是根据问题特点和建模目的，对问题进行适当的简化（抓住主要矛盾，舍去一些次要因素），提出几条合理的假设。假设（猜想）的过程，是学生迅速检索已有知识经验（或知识基础）并做出判断、选择的思维过程。这种长期积累经验，由量变到质变的转化过程就是学生洞察能力得以提升的过程。

教学中，教师要适时创设模型假设的环节，引导学生大胆猜想，但不要过早评判，要先关注猜想背后的思想：是学生调动原有知识经验的猜想，或是盲目的猜测？同时，引导学生在操作、证明、交流、质疑中用事实验证自己的假设，或纠正自己的错误假设。

例如，一位教师在教学《异分母分数加减法》时，依据情境，学生抽象数学问题并列出算式如何计算？凭借已有的知识基础和经验，学生可能会得出以及两种答案。透过背后的依据分析，学生可能是基于下面的两种经验做出的假设：分子相同，只要把分母相加就行，所以；把分子和分母分别相加，即。教学时，教师不急于反驳，而是问：大家有什么看法？很多学生马上提出反驳意见，认为两种假设得出的答案都比加数小，所以答案不对，假设显然不合理。如何修正呢？此时，教师适时提出：“为什么计算同分母分数相加减时，分母不变，可以把分子直接相加减？”这样，学生在教师的提醒下，就很容易想到，把异分母变成同分母就可以进行计算，明白“分数单位相同，才可以直接相加减”这一计算的本质。由此，得出合理的模型假设。

由上可以看出：无论是学生的假设还是学生自己的反驳，其实是学生原有的认知基础对学习所起的负迁移或正迁移，这个过程，恰恰是学生透过现象逐步接近本质的过程。教学过程中教师有意识地放缓脚步，允许学生猜想、质疑，再适时地加以引导，使学生对模型的认识从模糊到清晰，由现象到本质，学生洞察思维能力得到有效的锻炼。

三、“验证”跟进，培养“分析——推理”能力

数学教学要培养学生应用所学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，利用严格的逻辑推理来得到我们所需要的结果。

任何一个数学模型的建立，都要经历一个验证推理的过程。

如，教学《长方形、正方形的认识》时，学生通过观察猜测，并用自己的语言描述出长方形和正方形的特点后，教学很快进入学生自我验证的环节，这是本课学习的重中之重。教师一个问题“怎么验证刚才的这些猜想呢？有什么方法吗？”引出了来自学生思考得出的“比、量、折”等多种验证方法。但是学生操作验证如何进行？如何反馈？不同的教师教学的效果是不一样的。有的教师让学生四人小组合作，然后汇报出以上几种方法后，教师就匆匆收尾了，直接得出猜测是正确的。但是，有经验的教师，有智慧的教师，却能抓住真正促进学生思维能力和空间观念提升的细节进行彰显。比如，当学生汇报用“折”的方法验证正方形四条边都相等时，教师不仅满足于学生说出“把正方形上下对折、前后对折”还要求说出这样对折后说明了哪些边的长度相等？要求说出“把正方形沿对角线对折之后，又证明了哪些边的长度相等？”“回顾三次对折的过程，怎样说明四条边都相等？”

操作验证的过程实际上是一个思维层面的操作活动，逻辑推理过程是否清晰，借助数学语言的组织和表达，才能够明了。因此，学生进行猜想后就必须跟进验证，验证过程不能仅仅停留于形式，而一定要有严格的逻辑推理，充分展现学生的分析过程。这样，学生的分析推理能力才能真正得到提升。

四、“符号”提炼，培养“抽象——概括”能力

学生建立模型的过程，不仅要经历操作表征、图像表征的过程，更重要的是必须进入符号表征的阶段，前两个过程还只是停留在较低层面的操作水平，后者才是我们所要培养的较高层次的思维水平。因为经历符号表征的过程就是去伪存真，提炼本质内涵，使之符号化、结构化、形式化的抽象过程，这个过程有助于培养学生的抽象概括能力。

无论是概念教学，还是法则、公式的推导，抑或是解决问题的过程，都需要学生经历符号提炼的过程。

如，教学人教版六年级上册《数学思考》一课时，可通过创设情境，引导学生进入规律的探究过程中。经过讨论，学生把“有几个队比赛，一共可以打几场”的生活问题转化为“有几个点，一共可以连成几条线段”这一数学问题。当探究后得到“2个点可以画1条线段，3个点可以画3条线段,4个点可以画6条线，5个点可以画10条线段”时，教师适时提问：6个点、7个点、10个点、20个点可以画几条线段呢？你有什么发现？这时，学生需要对刚才探究得到的答案进行过程的有序分析，发现每一次的结果都是：有几个点就从1一直加到比几少一的数，即有n个点就能连成1+2+3+4+……+（n-1）条线段。因为借助生活情境，借助图示帮助理解算理，学生还会有这种模型的发现，即有n点就能连成n×（n-1）÷2条线段。

学生借助实物操作，图像表征并从中发现并表达出规律的过程，其实就是模型建立的过程。提炼的效果如何受一定因素制约：一是学生探究过程的有效性，学生是否真正理解了算理？二是学生归纳推理的能力，他们能否有序思考、分析并发现其本质内涵？除此之外，学生是否具有较强的语言表达能力，以及凝练概括的能力如何也是重要因素之一。因此，这个过程教师要重视引导学生有序观察，要充分运用图示帮助理解规律所蕴含的道理，加强师生、生生之间的交流，并学会用规范的数学语言表达。这对学生语言概括能力的提升是有效的。

五、“桥梁”搭建，培养“联想——直觉”能力

要具备有良好的联想能力，首先要有对事物广泛的兴趣，平时多思考、多积累，这样遇到新问题的时候，就可以通过联想、类比对原来的经验进行加工、改组或重构，触类旁通。教学中诸如：你在生活中见到过这样的现象吗？这和我们之前学过的某某知识有什么不同？用这样的模型能解决生活中的哪些实际问题？等等。搭建的这些“桥梁”都是启发学生思考的有效问题。因此，教学中教师要重视模型解释与应用这一环节的设计。建立模型后，教师要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型得以扩充和提升。将建立的模型运用到实际生活中，能使原本复杂多样的问题类型得以归类、简化。这一过程，学生的联想直觉能力可以得到有效锻炼。

以《乘法分配律》教学为例，在模型的解释应用和拓展环节可做如下设计：

第一步：简便计算：37×7＋37×3；48×19＋52×19；102×17。

1.学生独立计算。

2.反馈交流。

在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。

第二步：联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？试着画出草图。

第三步：这些算式除了解决生活中的长方形面积外，还能解决哪些实际问题？

第四步：“希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。增加的部分比原来的面积少多少？”

上述环节，第二、第三步的设计，要求学生将所学知识和现实生活中的问题进行联系，这一“桥梁”搭建，促使他们调动头脑中的直觉反应，通过联想、类比对学生原来的生活经验即实际问题与模型相类似的数学结构进行加工、改组或重构。这样，学生在解决不同情境中的实际问题中逐渐形成了乘法分配律的“数学形式”，从而使复杂的问题得以简化，达到了化繁为简及触类旁通的效果。

第四步的设计，是结合实际将求得的数学结果放到实际情境中去检验，不仅使模型具有实际意义，更重要的是还拓展了数学模型：乘法分配律同样适用于两个数的差。这是一个不断探索与发现的过程，体现了数学学习是学生用数学知识解决问题和发现新的数学知识的过程，拓展数学模型，引领学生走向数学更深处的本源。

通过搭建桥梁，在数学建模过程中学生的联想思维、综合分析和运用的能力会得到有效提升。

数学思维能力的培养是贯穿于教学的全过程中，甚至于某一思维能力是穿插在几个建模过程之中的，之所以如上述那样界定，无非是想表达一种观点，任何一个建模过程如能好好挖掘其中蕴含的数学思维，采取适当的方法策略进行适合的培养，那么学生不仅思维能力得到提升，更重要的是在日积月累、潜移默化中领悟和运用数学建模思想解决问题的能力也会得到提升。