关注方程本质 在体验感悟中建模——《用方程解决问题（例2）》教学实践与思考

张丽萍

【缘起】

嘉兴市小学数学六年级毕业检测卷上有这样一道题：足球上白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块，共有黑色皮多少块？

此题照搬了人教版五年级上册教材第74页例2的内容。

笔者对本校7个班共293名学生的解题情况做了调查，发现共有113人次出现或多或少的错误。

【分析与思考】

从调查情况来看，大部分学生在面对此类问题时，基本都采用了方程法来解答，说明他们还是可以在问题中识别方程的模型并运用相应策略正确解答。同时，调查也反映出仍有30%左右的学生对运用方程解题不敏感、不适应，方程式的表达与计算能力不符等问题。最突出的表现是由于原来的认知习惯，运用算术方法解决问题的影响较深刻，学生应用方程意识不强，甚至会出现一定的排斥，没有形成自觉运用方程的意识。

基于这样的现状，笔者认为，学习新知时的建模至关重要，只有关注数学本质，让学生自觉探究、构建模型，运用方程思想解决问题，在体验中感悟，在感悟中创新，把原本客观的问题解决内化为自己独到的解题思想方法进而形成技能才是数学学习的最佳方式。现以《用方程解决问题（例2）》谈谈个人的尝试与思考。

一、感悟体验前聚焦问题——凸显本质

（一）解读问题背景，找准学习起点

修订教材将解稍复杂方程与列方程解决问题分开教学，这样的改变是为了适当分散原来一节课兼顾列方程和解方程两个教学难点，便于突出等量关系的分析，有利于让学生充分体验列方程解决问题的过程，突出列方程解决实际问题的特点与优势，让学生在解决问题的时候摆脱算术思维方法中的某些局限性，尤其是逆向思维的解决问题，这样可以降低学生学习的难度，体会蕴含在方程中的建模思想、化归思想，强化数学应用意识的培养，也为学生进一步学习如六年级分数百分数的解决问题及今后的代数知识做好认知的铺垫。

（二）基于学情，定位学习目标

学生在学习时会有两个障碍：一是找准等量关系，并根据等量关系列方程解答；二是体验列方程解决实际问题的优越性，即从逆向到顺向思维转变的问题。克服这两点，将是学生数学思想方法认识上的又一次飞跃。

基于这样的学情，我将教学目标定位在：通过画图，找到等量关系，正确列方程解决问题；借助数形结合，沟通线段图—等量关系—方程三者之间的联系，初步体会列方程解决问题的特点与优越性；提高学生数学建模、分析问题、解决问题的能力等。

二、感悟体验中渗透思想——建立模型

为达成目标，每一个教学环节的把握都得深思熟虑，这样才能发挥教学的最大价值。我们可以从问题情境——建立模型——应用模型三方面入手，让学生经历数学建模的过程，积累构建模型的活动经验，初步形成模型思想。

（一）主动学习，以学定教

1.锁定典型资源，为学而导。

在充足的时间里，学生自主审题、分析数量关系、独立解决。由于个体思维能力的差异，原认知逐渐显现，作为教师需用一双敏锐的眼睛去捕捉具有代表性的典型资源，通过收集，大致有这么几种方法：

让学生板演解题方法并自由说说是怎么想的，表述思考过程，教师不评价对错。在这样的交流过程中推进学习，引发学生自觉对于不同方法的思辨，为以学定教奠定基础。同时，通过交流学习能够帮助学生在有限的时间里，获取更多的方法，找到合适、有效的解决问题的方法，进一步拓宽学生的思维空间，提升学生的学习能力。

2.引发再思考，为学而调。

《数学课程标准》关于解决问题的目标之一是学生“初步形成评价与反思意识”，面对各种方法与思考过程的表述，教师提出疑问：这么多方法，答案各不相同，我们该怎么办？引发学生主动验证自己的推理过程是否正确，此举既培养了学生检验的习惯，用检验结果及时反思自己的解题策略，寻找错误根源，重审关键信息进行自我调整，把错误扼杀在摇篮里；又为最精彩的课堂生成埋下伏笔。

（二）基于等量关系，突破难点

1.任务驱动找等量关系。

列方程解决问题的关键是找等量关系。学生在之前各年级的解决问题学习中，已经初步积累了一些分析数量关系的经验。但因为等量关系需要学生具备对数量间关系的理解与抽象概括的综合能力，所以当学习列方程解决问题时，一部分学生因不能顺利、正确地找到等量关系，而不能完成任务。

在以上的环节里，我以数形结合等任务驱动学生深入到问题的本质中去，同桌交流利用优生资源锁定正确的方法，并简要说明理由，以此为突破口带动全班聚焦关键信息，从而找准等量关系。

2.万象归一表等量关系。

（1）各显神通展多元。

算术解和列方程解决问题有一个共同的特点——基于等量关系，但在具体的表述上却有一定的差异。让学生二次探索的目的：一是利用已有的知识找出题目中数量间的相等关系；二是想办法把这种关系表示出来。在表示问题中数量关系的过程里，让学生自主寻找和表达等量关系的方法，文字描述、图形、写式子等都是等量关系很好的表征，旨在训练学生的抽象思维能力。

如，有学生用一句简单的话来表述——黑色皮块数×2－4=白色皮的块数；大部分学生用到了线段图，也有学生想到了用式子和文字相结合的形式来表征。

（2）数形结合突重点。

面对多种等量关系的表征，优化就显得很有必要。让学生从结果到方法，重新思索表征的需要、表征的使用和价值，很快发现画图的优势——直观形象。然后以画图作为反馈重点，展示学生的作品（如图1），让学生自己说图的意思。

（图1）

解读线段图意义的过程就是找准等量关系的过程，适当追问学生先画什么，强化黑皮作为单位“1”的印象，在此基础上找准等量关系，如，黑色皮块数×2－4=白色皮的块数、黑色皮块数×2－白色皮的块数=4、黑色皮块数×2=白色皮的块数+4。这些相等关系就是方程的雏形，虽形式不一样，但本质是一样的，无论怎样变化，黑色皮作为单位“1”始终不会变，找对了这个方向，学生就能顺向思维，把黑色皮的2倍作为整体来思考，无痕中建立了方程模型。

3.更进一步固关系。

到这里，学生已基本明确了等量关系，给发生错误的学生一次纠正的机会，厘清错误原因，二次画线段图，同桌互查，能达到进一步深化与巩固的效果。接着，乘胜追击，让学生自主评价黑板上的方法就一目了然了，甚至可能还会产生新的方法。学生认同方程方法时，适时指点一下方程解法的要求，并自主检验，总结出列方程解决问题的步骤，强化必要的规范，一步到位，又一次提高了学生的建模能力。

（三）由表及里,感悟思想

1.三维沟通,凸显数学本质。

重视等量关系的辨析与建立，让学生自主尝试、画图支撑、图式沟通等一系列教学手段都是为等量关系的建立与巩固而服务。突破了这一点，那么六年级分数百分数问题就迎刃而解了。

画好线段图，找准等量关系，正确列出算式或方程后，我并没有止步，而是再带学生往里走一走，进一步探究“线段图——等量关系——方程”三者之间的内在联系，让学生根据自己的理解在图上指一指方程中 2X、-4、2X-4 以及算术中（20+4）、（20+4）÷2 在图上是哪部分，分别表示什么意思。真正做到数形结合，无缝衔接。

2.方法对比,体验顺逆思维。

切身经历了算术与方程两种不同思维方式的解题过程，引导学生将两种方法进行对比，说说感受进一步提炼不同方法背后的意义。将两者进行对比的目的，是让学生体会到算术解是逆向思维；方程解是顺向思维，体现方程解法的特点。但是两者又有共源，即等量关系，这是逆向与顺向思维互相转化的关键点。

3.理解本质，感悟方程思想。

着力放大探究过程，说一说、画一画、作对比、检验等，目的就是带领学生体验多种方法、经历多元思辨。列方程的过程实际上是一个用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程，也就是数学建模过程。让学生尝试将经历的学习与思考过程进行归纳总结，掌握列方程解决实际问题的一般方法和步骤，强化必要的书写规范，相对来讲学生收获的不仅仅是知识，还有更多的学习经验，提高建模和解决问题的能力。

三、感悟体验中拓展延伸——巩固模型

（一）针对练习，循序渐进

1.找一找（等量关系）。

（1）一条1000米的公路，平均每天修x米，修了8天，还剩下440米。

（2）饲养场有母鸡480只，比公鸡的2倍少20只，这个饲养场公鸡有几只？

【思考：让学生在两个不同形式的问题中寻找等量关系，既有针对性地弥补了学生在等量关系确立时的陌生感，又巩固了学生刚刚建立的数学模型。】

2.做一做。

（1）猎豹是世界上跑得最快的动物，速度能达到每小时110千米，比大象的2倍还多30千米。大象每小时跑多少千米？

（2）看图，只列方程不解答。

【思考：以一文一图形式呈现，既巩固了学生刚刚建立的数学模型，又稍作变化丰富了ax±b=c类型的应用。】

3.连一连。

【思考：第三层次则是变式延伸，通过两题的对比让学生对所学知识进行重构，打破了不是本节课学了方程解就所有题目都要用方程的思维定势，使例题的作用更加突出。这样一个从立到破，再破再立的建模过程有利于学生对知识的串联和加工，从而达到举一反三的效果。】

（二）融合策略，内化创新

1.感悟中自由选择。

画图、找等量关系都可以帮助我们整理条件和问题，思考数量关系，确立正确的解题思路。学生在独立尝试时，出现了许多不同的算法，只要结果正确，都是学生个性化的思考，应予以尊重，不轻易判别方法的优劣。至于算术解和方程解的各自特点与选择，教师也不作硬性规定，而是让学生在分析的过程中自主感悟，既尊重学生个性，又让学生体会解决问题策略的多样性。

2.融合中不断创新。

知识的融合让策略的使用更加灵活有趣，通过两种方法的对比，学生客观地指出二者的特点：方程在思维上确实容易，尤其是一些难以用算术方法解答但用方程思考能化繁为简，便捷优越，但也有其麻烦之处，即每次都要写解和设，解的过程也繁琐；算术解在思维上逆向，思考起来麻烦，但算起来简单。如果将二者有效融合就完美了。基于这样的思考，有学生提出“用方程思想，算术方法”的策略，即利用方程的思维顺向写出问题中的相等关系，然后根据相等关系逆推出算术式，这样就克服了两者的弊端，在融合中创新。