一道高考试题的探究、推广及探源*

安徽省歙县中学(245200) 郑观宝

一道高考试题的探究、推广及探源*

安徽省歙县中学(245200) 郑观宝

问题(16高考四川卷理科第 20题)已知椭圆 E:直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

一、一般化探究

解完本题后,我们自然会问,上述结论是否具有一般性?即：

问题1如图1,已知椭圆E:直线l与椭圆E相切于点T(x0,y0),直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P,问是否存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立?

至此,我们自然要问,上述平行割线PAB一定要与OT平行吗?于是得到下列问题：

问题2 如图2,椭圆 E:=1(a＞ b＞ 0),直线l与椭圆E相切于T(x0,y0).倾斜角为定角α的直线l′与椭圆E交于不同的两点A、B,且与切线l交于点P.问是否存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|成立?

图2

上述结论的形式与圆的切割线定理十分相似,这里暂且称之为“椭圆的切割线定理”.

于是,我们得到

椭圆的切割线定理如图2,直线l与椭圆E:1(a＞b＞0)相切于T(x0,y0),倾斜角为定角α的动直线l′与椭圆E交于不同的两点A、B,且与切线l交于点P,则存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|成立.

问题3上述定理中的常数能为1吗?何时取到呢?

二、椭圆的割线定理

探究至此,并不完美.平面几何中的圆还有割线定理,那么椭圆的也有割线定理吗?

问题4 如图3,设椭圆E:(a＞b＞0),倾斜角为定角α的动直线l1与椭圆E交于不同的两点A、B,倾斜角为定角β的动直线l2与椭圆E交于不同的两点C、D,与直线l1交于点P,问是否存在常数λ,使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立?

图3

至此,我们证明了问题4的正确性,我们称此结论为椭圆的割线定理.

(2)当椭圆退化为圆时即a2=b2时,始终有

(3)当割线与椭圆的两个交点C、D重合时,割线定理就变化为椭圆的切割线定理;

(4)当两割线的交点P在椭圆内部时,就变化为“椭圆的相交弦定理”.

三、抛物线的切割线定理、割线定理和相交弦定理

定理设抛物线E:y2=2px(p/=0),倾斜角为定角α的动直线l1与抛物线E交于不同的两点A、B,

(1)如图4,设倾斜角为定角β的动直线l2与抛物线E相切于点T,与直线l1交于点P,则存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立—抛物线的切割线定理.

图4

图5

(2)如图5,倾斜角为定角β的动直线l2与抛物线E交于不同的两点C、D,与直线l1交于点P,则存在常数λ,使得|PA|·|PB|=|PC|·|PD|成立—抛物线的割线定理.

这样,我们就证明了抛物线的切割线定理、割线定理、相交弦定理.

四、双曲线的切割线定理、割线定理和相交弦定理

定理：设双曲线E:,倾斜角为定角α的动直线l1与双曲线E交于不同的两点A、B,则

(1)设倾斜角为定角β的动直线l2与双曲线E相切于点 T,与直线 l1交于点 P,则存在常数 λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立.

(2)倾斜角为定角β的动直线l2与双曲线E交于不同的两点C、D,与直线l1交于点P(点P在),则存在常数λ,使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立.

此定理的证明过程与椭圆和抛物线的证明完全类似,限于篇幅,这里略去.结果如下：

五、圆锥曲线的一条统一性质—圆幂定理

在圆中,相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理,那么,对上述的圆锥曲线三个定理能否统一表示呢?

于是得到：

圆锥曲线的统一性质(圆锥曲线的“圆幂定理”)设圆锥曲线E(标准方程),倾斜角为定角α的动直线l1与圆锥曲线E交于不同的两点A、B,

(1)设倾斜角为定角β的动直线l2与圆锥曲线E相切于点T,与直线l1交于点P,则存在常数使得|PT|2=λ|PA|·|PB|成立;

(2)倾斜角为定角 β的动直线 l2与圆锥曲线 E交于不同的两点C、D,与直线l1交于点P,则存在常数使得|PA|·|PB|=λ|PC|·|PD|成立.

综上所述,文首所给的高考试题的真正“本源”就是上述圆锥曲线的“圆幂定理”,也可以说源自课本人教A版选修4—4第38页例4及其推广(参见文[1]).

[1]郑观宝.一道课本习题的探究、推广与应用,数学教学,2011,1.

*本文系安徽省教育科学规划重点课题(课题编号：JG12316)研究成果.