均值定理在函数最值问题中的应用

李学芳

【摘 要】在中职数学的教学过程中，函数是当中最重要也是最难的知识点，利用均值定理求解函数的最大值和最小值是中职数学的重要教学内容之一。如何将这一知识点具体、准确地讲解也成为很多数学老师的研究方向。笔者具有多年的数学教学经验，主要针对一些典型的例题来分析均值定理在函数最值问题中的教学技巧和今后改善的教学方向，更好地调控实际教学的方向。

【关键词】中职数学；均值定理；函数；最值问题

俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。

一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱

例1 求函数f（x）=+x（x<0）的最值。

对于均值问题， 最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x<0时，f（x）的值为负数，最小值不可能为正数，问题就出在学生忽视了对的正负情况进行讨论，直接主观的套用公式。求解这类题，只需在对公式掌握的基础上，稍微做点变形就可以顺利计算出来，对学生能力的要求并不高，关键是要对公式的使用前提和原则了如指掌。这就要求教师在教学的过程中，既要注重对本章节的知识精细讲解，也要注重前后知识的连贯性，这样可以建构学生前后知识的联系，扩散学生的思维方式，做到解题形式多样而又灵活，训练学生的思维能力。

例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。

这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系， 通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。

二、明确学习目标，结合各地单招试题分析

很多学生对单招高考比较迷茫，对数学知识点更是没有很好地把握。因此，我们教师要分析各地多年来的高考试卷，结合单招改革的形式，搜集有关的试题，结合例题讲解，让学生理解并学会应用均值定理解决函数最值问题。教学过程中，我们要考虑学生的接受能力，步步为营、稳扎稳打，在学生平时的学习过程中穿插一些高考题，让他们对高考有个简单的了解，并且在讲解的过程中要注意学生的解题思路，很多学生乍一看答案都是对的，但是很多都是误打误撞的，并没有准确地理解定理运用的前提，这是解题的大忌，要做到精细和准确两手抓，确保学生明确均值定理后再开始运用。

數学成绩好的学生并不是老师教出来的，学习最重要的过程是反思和将知识内化，彻底理解并形成自己的思维模式才是最难能可贵的，因此我们要指导学生掌握科学的学习方法，尤其是在均值定理这一个知识点中。首先，学生得明确数学的学科性质，死记硬背是行不通的，对于均值定理虽然只有几个简单的概念，但是真正的消化并不容易，我们在上课的过程中就要帮助学生准确地理解均值定理的由来，三个条件缺一不可。其次，在我执教的过程中，我都会要求学生准备错题集，均值定理在函数最值问题中的应用范围很广，很多题目初看觉得和定理无关，其实很多解题关键都是很隐秘的，学生必然会掉到陷阱里。那么如何将这些知识做一个很好的归类呢？这就要发挥错题集的作用了，将自己经常错的和题目条件隐晦的题目整理起来，帮助自己后期系统复习，也弥补了这类知识的学习漏洞，考前将错题重新做一下相较于做新题更有价值，学习本就是不断温故知新的过程。

综合而言，均值定理的教学过程中要充分帮助学生正确地理解使用原则，并且运用不同的典型例题进行讲解，帮助学生建立基本的知识架构，并且要做到一题多解，避免学生思维单一性。最关键的是要指导学生科学的学习方法，让学生成为学习的主体，完成对知识的内化。

【参考文献】

[1]邓小荣.高中数学的体验教学法[J].广西师范学院学报，2003（8）

[2]黄红.浅谈高中数学概念的教学方法[J].广西右江民族师专学报，2003（6）