如何通过解题帮助学生形成数学思维能力

曾志坚

【摘 要】思维能力的形成有利于学生在数学学习过程中积极地观察、思考、练习和动脑。教师要善于通过解题来引导和点拨学生，使学生可以得到智力的发展和思维能力的提升。本文主要探究了教师如何通过数学解题来帮助学生形成思维能力，促进学生数学核心素养的提高。

【关键词】高中数学；解题；思维能力

《高中数学课程标准》指出教师要注重提高学生的数学思维能力。这就要求学生在思考和解决数学问题过程中需要观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括，不断地经历直观感知、反思来构建思维过程。学生思维能力的提高需要学生参与到问题解决过程中，活跃思维，主动判断，在思考中从感性认识逐步地上升为理性认识，理解数学试题中所蕴含的数学模式和思想，逐步地提高思维能力。

一、透析试题要求，形成全面思维能力

教师在带领学生解题过程中要引导学生全面地分析问题，使学生可以把和题目相关的各个问题和知识点都考虑在内，形成全面地理解和系统的认识。学生解决问题不能单一地考虑一道题，而是要把和题目相关的一类试题的解法都要考虑在内，了解解决问题的通性通法，提高自己的全面思维能力。学生阅读得越仔细、认真就越能够全面地了解试题的要求，进而分析出试题考查的内容和要点信息，在思考中拓展自己的思维，形成全面的思维模式，养成良好的全面思维习惯。例如试题：已知tanα=7，求的值。学生在思考中要想到可以将分子和分母同时除以cosα，则分子和分母中都只含有tanα，再代入tanα=7就可以解决问题了。思考中，学生要全面地考虑问题，能够做到由此及彼、举一反三。同时，学生要进一步思考，已知tanα=m，求关于sinα，cosα的齐次式的值的问题时，首先需要注意一定是关于sinα，cosα的齐次式的三角函数式；其次，解决此类问题的策略是先简化再求值；因为cosα≠0，所以可用cosnα（n∈N）去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tanα的表达式，再将tanα的值代入，从而求值。学生全面地考虑问题后，思维活跃，思路清晰，再次面对这类试题后就可以轻松应对，展现出超凡的思维能力。教师要鼓励学生多思考，多角度全方位地探究问题，使学生的思维可以发散，进而养成全面思维的好习惯。

二、想出不同方法，形成创新思维能力

“创新是一个民族不断进步和前进的动力”，在高中数学解题过程中，学生也要不断地创新，采用新的方法和新的策略来分析问题，达到创新性地解决问题。学生创新的过程就是思维异常活跃的过程，探究过程中，学生处于一种积极主动状态，每一个思维细胞和神经都会处于高度紧张状态，有利于学生想出新的方法和策略来解决问题，培养创新思维能力。学生的创新是能力的体现，学生对于数学知识都掌握了，对于数学理论可以灵活地应用了才能够摆脱原有的思维模式的束缚和限制，大胆地进行创新思维，按照自己的想法和思路进行探究和分析，实现解题方法的创新和能力的提高。例如学生在解决试题：直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段中点的坐标是多少？这时，教师就可以鼓励学生采用创新性思维去思考和探究。解决问题时，学生可以设直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2），其中点P（x0，y0），通过联立方程组y=x-1

y2=4x得（x-1）2=4x，即x2-6x+1=0，x0==3，y0=x0-1=2，所以中点坐标为P（3，2）。这是一种解决问题的方法，教师可以鼓励学生进行创新思维，采用多种方式来解决问题，形成新的思路和新的方法。通過一题多解或者是一题多问的方式，学生的思维会变得多样，具有一定的创新性，可以从多角度和多视角来分析和解决问题。在本题的思考过程中，学生还可以采用其他方法来解决，如：y22=4x2，y12=4x1，所以y22-y12=4x2-4x1，所以=4，得到y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3，故所求中点为P（3，2）。不同的解题方式使学生有了创新的意识和思维，有利于学生思维的创新。不同的解题方法，达到了相同的目的，都顺利地实现了解题，但是学生的思维却变得更加开阔，在解题过程中表现出了积极活跃和主动参与，丰富了学生的知识储备，提高了学生的能力，有利于学生创新思维的形成。

三、根据线索推理，形成逻辑思维能力

在解题过程中，教师要引导学生进行逻辑思维和推理判断。学生学会了逻辑思考就可以按照解题步骤一步步地进行思考和分析，达到顺利地解决问题。学生的逻辑思考会使学生认真、细致地分析问题，逐步地培养他们思维的严密性和缜密性，面对任何问题都可以按照一定的顺序和思路来探究，进而达到解决问题，实现逻辑思维能力的提高。为了提高学生的逻辑思维能力，教师要注重引导，使学生可以学会推理，进行辩证性思维，找到解决问题的方法和途径。例如教师给出试题：已知两个等差数列{an}，{bn}，它们的前n项和分别记为Sn，Tn，若=，求。在思考中学生很容易写成===，这种思路错误的原因就是学生错误地理解为=，而实际上并不是这样的。学生需要积极地进行逻辑思考，在思考中做出推理判断和合理分析。逻辑推理中学生会认识到两个等差数列第n项的比等于它们前2n-1项和的比，不等于它们前n项和的比。所以，在本题中=。学生通过认真地思考和分析后会形成正确的思路，进而找到解决问题的线索和方向，在思路的引导下积极推理和判断，提高逻辑思维能力。

四、结合类似试题，形成发散思维能力

学生的思维有时会受到某一种思路或者是某一种方法的限制，面对其他问题的时候就不知所措。教师要引导学生进行发散思维，当面对数学问题时可以向着知识的深度和广度来进行拓展，把思维向着纵深的方向来拓展，打开思路，扩大自己的思维空间和想象空间，从而从多角度来解决问题。例如教师提供试题试题：函数y=sinx的图象经过怎样的变化得函数y=sin（2x-）的图象？在解决问题时，学生首先要运用自己的思维，去想一想由函数y=sinx的图象变换成y=Asin（ωx+φ）（ω>0）的图象的通用方法。在思考中学生的思维不要局限在某一种方法上，而是要进行发散思维，向着更广阔的空间进行蔓延和拓展，做到开阔视野，全面化自己的认识。学生在发散思维中会想到可以通过先平移后伸缩的方式来变化。先将y=sinx的图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，得y=Asin（ωx+φ）的图象。除了这种方法外，学生还可以向伸缩，后平移。也就是先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再将得到的图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度，便得到y=Asin（ωx+φ）的图象。通过这样的发散思维过程，学生就找到了解决问题的方法，促进了学生思维能力的提高。教师在教学中要善于把具有相似性特点的试题拿过来指导学生去分析比较，引导学生通过比较分析的方式来完善自己的认识，清楚这些试题的相同处和不同处，进而形成清楚地认识和深刻的理解。在对比中学生的思维是发散的，他们不会局限在某一道试题或者是某一个知识点上，有利于学生进行想象和联想，进而提高自己的发散思维能力。

五、总结解题规律，形成归纳思维能力

学生在解题过程中，教师更要注重方法的讲解和技巧的引导，对学生进行“授之以渔”的教学，使学生可以由此及彼，通过一道题掌握一类题的解法和分析思路，从而促进学生积极地进行逻辑思考和推理判断，做到举一反三。任何数学试题的解答都是有一定规律的，例如求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：中心是否在原点；对称轴是否为坐标轴。还要注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一个坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单调区间、最值时有重要意义。当学生掌握了这些规律，在解题过程中就可以积极地进行逻辑分析和推理判断，从而在解题的时候就会得心应手、游刃有余了。学生在解题过程中通过不断地总结解题规律会养成良好的总结归纳习惯，进而培养学生的归纳思维能力，促进学生良好思维习惯的形成。

总之，学生在解决数学问题时要有一定的思维能力去猜测、想象和假设，通过已知的条件解决数学问题，学会推理判断和演绎迁移。学生要运用自己多方面的思维在思考中总结归纳，形成自己的解决问题的方法。当学生的思维可以全面地思考，创新性地解决问题，进行逻辑思考和发散，学生的思维能力会大大提高。

【参考文献】

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2011.205-212

[2]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2009.87-92