an=man—1+k型递推数列的通项公式求解

谈文越

【摘 要】对于an=man-1+k型递推数列，利用加权累加法、累乘法、差分法和换元法等方法求其通项公式，并探讨了此类数列和差等比数列的交叉关系。

【關键词】递推数列；通项公式；差等比数列

数列是高中数学的一个重要模块，内容丰富、综合性强，尤其是求递推数列的通项公式，需要观察、归纳、转化，是近年来高考和竞赛的热点之一。对于形如an=man-1+k（m，k为常数）的递推数列，我进行了思考分析、归类整理和拓展比较，形成了一套行之有效的解题策略，下面通过实例具体说明。

例 已知数列{an}满足a1=3，an=2an-1+1，求数列{an}的通项公式。

1.加权累加法

由an=2an-1+1，可得2an-1=22an-2+2，22an-2=23an-3+22，…，2n-2a2

=2n-1a1+2n-2。以上各式相加，即得an=2n-1a1+1+2+22+…+2n-2。把a1=3代入，整理可得an=2n+1-1。

点评：构造加权累加，旨在消去数列的中间各项，从而可得通项an与首项a1、项数n之间的关系。

2.累乘法

an=2an-1+1变形可得an+1=2（an-1+1），亦有an-1+1=2（an-2+1），…，a2+1=2（a1+1）。把上述n-1个式子相乘，可得an+1=2n-1（a1+1），故an=2n-1-1。

点评：累乘法思路清晰、计算量小，关键在于挖掘递推数列的变形关系式，该问题可利用待定系数法解决。比如，设递推数列an=man-1+k变形为an-λ=m（an-1-λ），由此可解出λ=。这一思想和有些教材中介绍的特征根法、不动点法类似，可推广应用到形如an=man-1+k×bn的数列，设其可变形为an-λ·bn=m（an-1-λ·bn-1），由此可得λ=，此时，{an-λ·bn}是公比为m的等比数列，故an=λbn+（a1-λb）mn-1=a1mn-1+。

3.差分法

对于an=2an-1+1和an-1=2an-2+1，两式相减可得an-an-1=2（an-1-an-2），由于{an-an-1}是首项为a2-a1=4、公比为2的等比数列，故an-an-1=4×2n-1，迭代可得an=2n+1-1。

点评：递推数列an=man-1+k也是一阶差等比数列，即数列{an}的一阶差分数列{an-an-1}是首项为a2-a1=d、公比为m的等比数列，利用差分法可推证该数列的通项公式为an=a1+d。

4.换元法

对于an=2an-1+1，左右两边同时除以2n，可得=+，则新构造的数列{}正是一阶差等比数列，根据方法三的结论，可直接得出=2-，故an=2n+1-1。

点评：虽然上述求解略显繁琐，但对于an=man-1+k×bn型数列，利用换元法却非常简洁。由=+k×（）n可知，数列{}是一阶差等比数列，其一阶差分数列的首项为-、公比为，可推出=+（-），故通项公式为an=a1mn-1+，与方法二的结论完全相同。

an=man-1+k型递推数列和等比数列、差等比数列密切相连，解题方法灵活多变，不同方法之间又互为运用，并为更复杂的an=man-1+k×bn型递推数列提供求解思路。

【参考文献】

[1]朱立明.另辟蹊径，求数列通项的三种思路[J].数学教学研究，2015.34（3）：41-44

[2]高巧玲.常见数列及其关系[J].山西教育，2009.11：18-20