理解三角形“四心”要“一意”,巧解习题勿“三心”又“二意”

广州大学附属中学(510050) 韩智明

理解三角形“四心”要“一意”,巧解习题勿“三心”又“二意”

广州大学附属中学(510050) 韩智明

从初中学习数学开始,学生就对三角形的“四心”(即:重心、垂心、外心、内心)有了初步的认识和理解.进入高中后,特别是学习向量知识以后,以向量为载体对三角形“四心”有关问题进行了深入的研究,大量的且不同形式的习题出现,冲击着广大师生的大脑.笔者从事高中数学教学多年,发现这块知识学生很难把握,很多老师在平时的教学中虽然也有重点强调和讲解,但感觉还是不够系统,没有从本质上揭示它们之间所蕴含的内在联系,其实通过探究不难发现三角形的“四心”的向量表示有着统一的形式,本文就从三角形的“四心”向量统一表示形式及其相关结论入手,巧解一类与其有关的习题.

先看看一个引理的证明:

略解:由结论1、结论3和结论4可知,点G,N,P分别是△ABC的重心、外心和内心.故A正确.

点评:通过以上例题几种解析方法发现,当知道和理解三角形“四心”向量统一形式后,利用结论来判断,可以简化解题步骤,达到事半功倍的效果.

下面以题组的形式举例说明:

题1 已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题2 已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题3已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

题4 已知A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足

则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

以上题组1 3的解析方法,相信在学习中,很多师生都是这种解法,牢牢把握出题者的意图,分析向量的几何意义,结合选择题的特殊性,不失为一种解题好策略,但纵观这类题组,结合三角形“四心”向量的统一表示形式及其相关结论,我们可以尝试更为深入地探究这一类题组的解法.

点评:通过题组1～4的另解发现,熟知三角形“四心”向量统一形式及其相关结论,我们可以更加深入地理解向量与三角形的内在联系,充分挖掘习题中隐含的熟悉的结构模式,使得问题迎刃而解.

变式题组:

变式1已知A,B,C是平面上不共线三个点,若动点P满足

则直线AP一定过△ABC的( )

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

变式2已知A,B,C是平面内不共线三点,若动点P满足

λ∈[0,+∞),则P点的轨迹一定通过△ABC的( )

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

由结论1’知直线AP一定过△ABC的重心,故C正确.

点评:以上变式1～4对三角形“四心”的向量表示加以重组和改装,终究还是改变不了向量的本质,仔细剖析还是可以转化为三角形“四心”向量表示的统一形式,通过其统一形式及其相关结论进行巧解.

通过以上对三角形“四心”向量表示的统一形式及其相关变式结论的探究,结合题组和变式题组的解题方法的对比,我们对三角形“四心”向量表示的统一形式的认识就会更进一步加深,发现三角形“四心”问题在本质上其实就只有一种统一的向量形式,故在解决这一类习题时即对待三角形“四心”相关习题时,要观察形式,探究本质,对比模式,形式上虽然是“四心”,究其本质就是“一意”.真可谓解决三角形“四心”要“一意”,巧解习题切勿“三心”又“二意”.

[1]吴时月.三角形“四心”的向量形式及其统一形式的再审视[J].中学数学研究,2015(12).

[2]汪华.三角形“四心”的向量统一形式[J].数学教育研究,2011(4).