矩形的一个性质及应用

山东省单县第一中学(274300) 马天航

矩形的一个性质及应用

山东省单县第一中学(274300) 马天航

性质:若矩形中横线与纵线的长度和为定值,则当横线长度之和与纵线长度之和相等时,矩形的面积最大.(注:本文中的横线与纵线分别都平行且等于矩形的边长)

证明:如图 1所示,矩形ABCD中,n条横线的长度都是x,m条纵线的长度都是y,且nx+my=k(定长),则

图1

也就是说当横线长度之和nx与纵线长度之和my相等时,矩形ABCD的面积最大.此结论虽然简单,在现实生活中却有着广泛的应用.

例一、用6m长的铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框,窗框的长、宽各为多少时,它的透光面积最大?最大透光面积是多少?

图2

解:由本文性质知,窗框的长6m÷2÷2=1.5m,宽为6m÷2÷3=1m时,它的透光面积取最大值是1.5m×1m=1.5m2.

在实际问题中,往往涉及到“一面靠墙”等条件,我们不妨利用对称的性质,转化为我们所熟知的问题.

例二、(如图3)某中学课外活动小组在一面靠墙的空地上用长为30m的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的矩形生物苗圃园,求垂直于墙的一边的长为多少时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值.

图3

解:作矩形ABCD关于DC的对称图形FECD,矩形ABEF中篱笆的总长度是60m,由本文性质知,当2AB=4AF=30m,即AB=4AD=15m亦即AB=15m AD=3.75m时,矩形ABEF取最大值,同时苗圃园ABCD的面积取最大值15m×3.75m=56.25m2.

例三、某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图4的长方体水池,培育不同品种的鱼苗,他已备足可以修高为1.5m,长为18m的墙的材料准备施工,若想使水池的总容积最大,与现有一面墙垂直的墙的长度应为多少?最大容积是多少?(不考虑墙的厚度)

图4

解:由本文性质知,当2AC=2×3AD=18m,即当AC=9m,AD=3m时,长方体水池有最大容积,最大容积是9m×3m×1.5m=40.5m3.