改进Lyapunov泛函下变时滞系统稳定性分析

王新伟，张 颖，戎玉密

1)深圳信息职业技术学院机电工程学院，广东深圳518172；2)哈尔滨工业大学深圳研究生院，广东深圳518055

【电子与信息科学 / Electronics and Information Science】

改进Lyapunov泛函下变时滞系统稳定性分析

王新伟1，张 颖2，戎玉密2

1)深圳信息职业技术学院机电工程学院，广东深圳518172；2)哈尔滨工业大学深圳研究生院，广东深圳518055

针对具有区间变时滞的线性系统，提出一种新的稳定性判据.基于改进Lyapunov泛函，采用Jensen积分不等式和倒数凸组合技术，对Lyapunov泛函导数中的积分项进行界定，获得更紧的时滞上界，从而得到保守性更低的稳定性判据．通过数值实例验证所提出的稳定性判据有效.

区间变时滞；倒数凸组合；线性矩阵不等式；稳定性判据；改进Lyapunov泛函；Jensen积分

时滞现象广泛存在于各种实际工业控制系统中，如化工系统、过程控制系统和网络控制系统等.系统中存在的时滞往往是未知或时变的，时滞会导致系统性能变差甚至不稳定．与此同时也使系统分析及控制难度进一步加大，因此，对该类系统进行学习研究具有重要理论意义和应用价值.

近年来，针对时滞系统的研究越来越多，且取得了一些成果.对于区间时变时滞系统，可通过保留在Lyapunov泛函的导数中被忽略的信息，充分利用时滞上下界的信息，得到相应的时滞相关稳定性判据[1].或者将时滞区间重新划分为两个区间[2]，在两个区间分别估计Lyapunov泛函的导数，得到系统稳定性判据.文献[3]通过引入新的Lyapunov泛函，且采用积分不等式和自由权矩阵结合的方法来估计Lyapunov泛函的导数，进一步降低了稳定性判据的保守性.另外，Jensen不等式引理[4]为有效估计积分交叉项提供了很好的工具.文献[5-6]关注的是区间变时滞连续系统的时滞相关稳定性问题，在文献[5]中直接使用Jensen不等式引理去估计积分交叉项，从理论上证明了该方法可有效降低系统判据的保守性；文献[6]则借鉴时滞分解方法的思想，先将积分交叉项进行拆分，然后运用凸组合和Jensen积分不等式的方法估计Lyapunov泛函的导数，得到了保守性较小的区间变时滞系统稳定性判据.同时，改进的Jensen积分不等式[7]可以有效估计积分交叉项.文献[8]首次引入了含有三重积分项的增广Lyapunov泛函，并将Jensen不等式引理扩展到三重积分的情况，得到了保守性较小的稳定性判据.针对区间时变时滞系统，文献[9]提出了倒数凸组合方法，在估计Lyapunov泛函的导数时，能够得到Lyapunov泛函的导数更紧的上界，从而降低了判据的保守性. 通过选取合适的Lyapunov泛函，采用积分不等式与自由权矩阵相结合的方法估计Lyapunov泛函导数，得到了更紧的上界[10]，从而得到了有效的稳定性判据.文献[11-12]基于新的时滞分割方法，针对不同的分割区间构造包含三重积分项和增广项的Lyapunov泛函，得到了相应的稳定性判据[11-12].

本研究基于改进Lyapunov泛函，利用倒数凸组合技术，充分考虑时滞上下界信息，获得了保守性更小的稳定性判据．

1 问题描述

考虑如下线性时滞系统

(1)

0≤h1≤d(t)≤h2

(2)

(3)

其中，μ是常量；初始条件Ø(t)是连续可微的向量函数.

针对系统(1)，本研究在时滞d(t)满足条件(2)和(3)时，对该系统的稳定性进行研究.

2 稳定性判据

选取更为合适的Lyapunov泛函，充分利用时滞的上下界信息，以线性矩阵不等式(linearmatrixinequality,LMI)的形式给出系统(1)的时滞相关稳定性判据．

定理1 对于给定的标量0≤h1≤h2和μ， 如果存在适维矩阵P>0，Q=[Qij]2×2>0，R=[Rij]2×2>0，M=[Mij]2×2>0，N=[Nij]2×2>0，S>0，Z1>0，Z2>0，T, 且满足线性矩阵不等式(4)和(5)，那么时滞系统(1)是渐进稳定的.

(4)

(5)

其中，*表示非零元素；

Φ11=PA+ATP+Q11+R11 +M11+N11-Z1

Φ22=-(1-μ)S-2Z2+T+TT

Φ33=-R22+S-Z2

Φ44=-N22-Z2

Φ55=Q22 +R22-Q11-Z1

Φ66=-Q22-R11

Φ77=M22+N22-M11

Φ88=-M22 -N11

Φ15=Q12+R12+Z1

Φ17=M12+N12

Θ=[AAd 0 0 0 0 0 0]

h12=h2-h1

【证】对于时滞系统(1)，假设

ei(i=1,2,…,6)为分块坐标矩阵，例如，e2=[0I0 0 0 0 0 0]， 构造如下Lyapunov泛函

(6)

V1(t)=xT(t)Px(t)

(7)

(8)

(9)

V4(t)=∫t-d(t)t-h1xT(s)Sx(s)ds

(10)

(11)

其中，P>0，Q=[Qij]2×2>0和R=[Rij]2×2>0；M=[Mij]2×2>0，N=[Nij]2×2>0，S>0，Z1>0，Z2>0， 且T和Z2 满足式(5).

下面分别对V1(t)、V2(t)、V3(t)、V4(t)和V5(t)求导

2xT(t)PAdx(t-d(t))

(12)

(13)

(14)

xT(t-d(t))(1-μ)Sx(t-d(t) )

(15)

(16)

利用Jensen积分不等式，可得

ηT(t)(e3-e2 )T(e2-e4)Tη(t)≤0

(17)

由式(17)可知，

-ηT(t)(e3-e2)Z2 (e3-e2)Tη(t) -ηT(t)(e2-e4 )Z2 (e2-e4)Tη(t)-

-ηT(t)(e3-e2)Z2(e3-e2)Tη(t) -ηT(t)(e2-e4)Z2(e2-e4)Tη(t)-

ηT(t)(e2-e4)TT (e3-e2)Tη(t) -ηT (t)(e3-e2)T(e2-e4)Tη(t)=

(18)

因此，下面的不等式成立

(19)

综上所述，可得

(20)

在许多情况下，时滞的导数信息并不知道，这时有必要应用时滞不相关稳定性判据.令定理1中的S=0， 即可得到时滞不相关稳定性判据.

推论1 对于给定的标量0≤h1≤h2和μ， 若存在适维矩阵P>0，Q=[Qij]2×2>0，R=[Rij]2×2>0，M=[Mij]2×2>0，N=[Nij]2×2>0，Z1>0，Z2>0和T， 使线性矩阵不等式(21)和(22)成立，则时滞系统(1)渐近稳定.

(21)

(22)

其中，U、Θ、Φii(i=1，4，5，6，7，8)和h12与定理1中的定义相同.

Φ22=-2Z2+T+TT

Φ33=-R22-Z2.

3 数值实例

在此通过两个数值实例说明本文定理的正确性和有效性.

例1 考虑如下区间变时滞线性系统

当h1已知时，给定不同μ以及未知的μ能保证系统(1)渐近稳定的最大时滞上界h2的值分别列于表1和表2.

在表1和表2中，通过对比文献可见，本文提出的稳定性结果具有更小的保守性.

表1 h1已知，给定不同μ时最大允许上界h2

表2 μ未知，给定不同h1时最大允许上界h2

例2 考虑如下区间变时滞线性系统

利用定理1，对于μ=0.3给定不同h1时，能保证系统(1)渐近稳定的时滞最大上界h2的值列于表3.

表3 不同h1时最大允许上界h2(μ=0.3)

采用推论1，当μ未知时给定不同h1时，能保证系统(1)渐近稳定的时滞最大上限h2的值列于表4.

表4 μ未知，给定不同h1时最大允许上界h2

表3和表4的数据显示，本研究提出的稳定性判据对于提高系统允许的最大时滞上界有明显的作用.对比之前的文献结果，本研究提出的变时滞连续系统稳定性判据具有保守性.

结 语

针对变时滞连续系统的稳定性问题，通过选取合适的增广Lyapunov泛函，采取倒数凸组合技术和Jensen积分不等式方法估计Lyapunov泛函导数，得到了系统稳定性新判据.理论分析和数值算例表明，新判据是有效的，具有更低的保守性.

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【中文责编：晨 兮；英文责编：子 兰】

Stability analysis of time-varying delaysystem based on an improved Lyapunov function

Wang Xinwei1, Zhang Ying2†, and Rong Yumi2

1) Department of Mechanical and Electrical Engineering, Shenzhen Institute of Information Technology, Shenzhen 518172,Guangdong Province, P.R.China 2) Shenzhen Graduate School, Harbin Institute of Technology, Shenzhen 518055, Guangdong Province, P.R.China

We provide a new delay-range-dependent criterion for interval time-varying delay linear systems. By using Jensen inequality method and reciprocally convex combination technique，the upper bound of the derivative of our improved Lyapunov function can be estimated more tightly. And then newless conservative stability criteria are derived. Numerical examples are given to illustrate the effectiveness and the improvementof the proposed criterion.

interval time-varying delay; reciprocally convex combination; linear matrix inequality; stability criteria; Lyapunov improved functional; Jensen integration

：Wang Xinwei, Zhang Ying, Rong Yumi. Stability analysis of time-varying delaysystem based on an improved Lyapunov function[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2017, 34(2): 181-187.(in Chinese)

TP 13

A

10.3724/SP.J.1249.2017.02181

国家自然科学基金资助项目(61603111)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20122302120069)；深圳市科技基础研究计划资助项目(JCYJ2012061313212389)

王新伟(1977—)，男，深圳信息职业技术学院讲师、博士.研究方向：控制理论与控制工程，工业自动化.E-mail：wangxw@sziit.com.cn

Received：2016-09-26；Accepted：2016-11-07

Foundation：National Natural Science Foundation of China (61603111); Special Research Fund of Doctoral Course of Higher Education (20122302120069); Shenzhen Science and Technology Basic Research Foundation (JCYJ2012061313212389)

† Corresponding author：Associate professor Zhang Ying. E-mail:13631538215@139.com

引 文：王新伟，张 颖，戎玉密. 改进Lyapunov泛函下变时滞系统稳定性分析[J]. 深圳大学学报理工版，2017，34(2)：181-187.