洛必达法则的合理应用

隋姜昊

【摘要】本文全面阐述了如何使用洛必达法则，以及在使用的过程中存在的问题，并通过实例进行说明和分析.

【关键词】极限；洛必达法则；数学

一、常规洛必达求解极限问题

L′Hospital法则（洛必达法则）：

设函数f（x）和g（x）在点a的某个去心邻域U0（a，δ）内有定义，且满足：

（1）limx→af（x）=0（∞）及limx→ag（x）=0（∞）；

（2）f（x）和g（x）在U0（a，δ）内可导，且g′（x）≠0；

（3）limx→af′（x）g′（x）=A（A为常数，或为∞），则有limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.

其中第三个条件极为重要.在求极限时，经常会遇到两个无穷小量之比的极限或者两个无穷大量之比的极限，这类极限有的存在，有的不存在，通常称这种类型的极限式为未定式.以下是常见的情形.

二、分析并解决问题

（一）变形求解

洛必达法则作为如此重要的法则，是不是可以解决所有的问题，答案是否定的，例如limx→+∞e-1x2x100，使用洛必达法则，得到limx→+∞e-1x2200x102，看到这个式子，我们完全不能继续进行计算，但通过观察，运用换元法，易得令t=1x2，可以得到limx→0e-1x2x100=limt→∞t50et=0，上式是经过了简单的变形，顺利使用了洛必达法则求解问题.

以上的问题很显然需要经过变形辅助求解极限，可以作为洛必达法则的变形分析，同样可以运用这种方式求解limx→-∞x1+x2，分子分母同时除以x，可以求得如limx→-∞11+1x2=1.

（二）使用洛必达法则需谨慎

洛必达在求解极限问题时存在着较大的优势.但洛必达法则是否是万能的呢？

xx=limx→+∞1+cosx1，其极限不存在，那么可以得到不可使用洛必達法则.出现这种问题主要是由于求导后的式子无法求极限或者不能继续使用洛必达法则.

三、总结

通过上述分析，洛必达法则使用时需要注意以下几点：（1）满足定理条件下的某些计算无法解决计算问题；（2）洛必达法则需要和其他数学方法进行结合使用，比如换元法，结合使用才能发挥作用；（3）被求极限的式子必须为未定式才可以使用洛必达法则；（4）若limf′（x）F′（x）不存在，不能使用洛必达法则.