因子分析法在数学建模比赛中的应用

李长伟+陈芸+阳彩霞

【摘要】根据数学建模培训课程的成绩，采用因子分析法得到了数学建模比赛所需的几项重要能力因子，从而为选拔队员组建参赛队伍提供了一种客观的、定量的选拔方式，与传统方法结合效果较好.

【关键词】数学建模；因子分析；选拔

【中图分类号】G642

【基金项目】武汉市市属高校产学研及教学研究项目“基于数学建模的应用型人才培养模式研究”（项目编号2014216）

一、引言

全国大学生数学建模竞赛已在各个高校中展开，并成为影响最大、参赛人数最多的大学生课外科技活动.[1]在以往的数学建模队员选拔中，多采用根据数学基础课程和数学建模培训课程分数由高到低，兼顾院系差别，以及男女生比例等条件进行选拔组队参赛.平时的数学成绩对数学建模竞赛成绩的影响不是最重要的.[2]虽然加入了其他遴选条件，但在后续组队参加建模比赛过程中，依然暴露出许多问题，突出表现是模型建立、求解、编程、论文写作、查阅文献等能力不均衡；造成部分参赛队伍完成比赛十分艰难，竞赛成绩自然也不理想.如何选拔优秀的学生参加比赛，更加科学合理地组建比赛团队在数学建模竞赛组织工作中显得尤为重要.

二、研究方法

因子分析（Factor Analysis）是由英国心理学家Spearman在1904年提出来的[3]，其数学模型为：设有p个变量xi（i=1，2，…，p）可表示为：

其矩阵形式为：X=AF+ε，式中F称为因子，A为因子载荷矩阵，ε称为特殊因子，表示原有变量不能被因子解释的部分.因子分析是通过研究原始变量之间的内部依赖关系，用少数几个因子来反映原来众多变量的主要信息，希望能够发现更加通俗易懂的解释.如难以得出合理解释时，需要进一步做因子旋转.所以因子分析非常适合研究影响数学建模队员选拔的因素.

在数学建模能力培养过程中，通过课堂讲授与课下练习促进学生能力的提高是必不可少的手段.但每个学校培训方式、课程选取或能力培养侧重点不尽相同.某高校开展数模基础、统计模型、预测与综合评价模型、数学软件Matlab、运筹学与Lingo软件、小论文共6门课程培训，将20名数学建模预选队员姓名按序号1，2，3，…进行编号，在培训期间的各门课程成绩整理成数据表（略）.

通过SPSS220软件导入上述数据进行因子分析，可以得出：KMO检验为0.642，Bartlett检验统计量的观测值为38921，相应的概率P值为0001.说明各门课程成绩变量之间独立性假设不成立，可以用因子分析做降维处理寻找潜在因子.

当提取四个因子时方差累计贡献率达到了91.393%，因子分析效果较为理想.为使因子含义更加清晰，采用极大方差法进行因子旋转，旋转后的因子载荷矩阵如表1所示.可以发现统计模型、预测与综合评价模型在第一因子F1上有着较高的载荷，可表示为建立模型能力；数模基础课程在第二因子F2上有着较高的载荷，可命名为数学建模潜力；数学软件Matlab、运筹学与Lingo软件在第三因子F3上有较高载荷，说明是编程能力；小论文训练课程在第四个因子F4上有较高载荷，可命名为论文写作能力.

可分为能力均衡队员、特色鲜明队员、一般队员、能力较差队员四类.其中编号1，2，3，4，5，8六位队员各项因子得分至少是三项以上是正分数，说明四种能力至少具备三种，能力较为均衡，可作为领队队员培养，例如编号为2的队员在第一、二、三因子上得分很高，说明有很强的建立模型能力、数学建模潜力以及编程能力.而编号为6，7，9，10，13，14六位队员四项因子得分中有两项为正，两项为负数，说明某两个能力高于平均水平，而又存在两个短板.类似于偏科现象，这类队员要合理搭配，发挥其最大作用.例如编号為7的队员有较强的建立模型能力和建模潜力，但是编程能力和写作能力却非常糟糕.编号为11，16，17，18，19号五位队员为能力一般队员可作为每个比赛队伍中的第三位队员.虽然仅有一项因子得分高于平均水平，有三项短板，但组队得当依然可以发挥最大能效.例如16号队员有着很强的写作能力，可以和其他领队队员以及特色鲜明队员的能力形成互补.编号为12，15，20三位队员的四项因子得分均为负数，各项能力都低于平均水平，但这些队员要慎重对待，需要进行专门的谈话以及摸底工作.

四、总结

1.本模型通过对队员培训成绩分析得出建立模型能力、数学建模潜力、编程能力以及写作能力四种因子，这也是在数学建模比赛中非常重要的能力，与以往的实践经验十分吻合.

2.在组队过程中，每支队伍3人一组，仍需要分析法和定性的挑选方式共同确定最终组队情况.

3.因为样本容量较小以及仅以一次培训成绩作分析，在后续的工作中可结合比赛最终成绩和多次培训成绩，模型会更加完善.

【参考文献】

[1]王浩华，罗婷.数学建模素质评估的定量分析[J].海南大学学报（自然科学版），2012，30（1）：9.

[2]朱宁，陈克西，李竹梅.主成分分析在数学建模中的应用[J].工科数学，1999，15（4）：109.

[3]司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用[M].第2版.北京：国防工业出版，2015：240.

[4]薛薇.基于SPSS的数据分析[M].第2版.北京：中国人民大学出版，2011：339.