数学思想：必备品格的精髓

○江苏省南京市长江路小学　　周卫东

一、解读：厘定数学思想的内涵

从哲学角度来看，“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的反映。而所谓数学思想，人们对数学研究统一的本质性认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义和相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。由此看来，数学的灵魂是思想，它决定了数学的经验基础、思考核心和发展目标。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”其中最基本的数学思想有抽象、推理、模型，数学学科独有的其他的一些数学思想，都可以看成是由这三种基本思想派生出来的。它们之间的关系可以形象地用下图表示。

抽象派生的思想有：分类的思想、对应的思想、集合的思想、有限与无限的思想、数形结合的思想、对应的思想、符号的思想、对称的思想、变与不变的思想等。

推理派生的思想有：归纳的思想、演绎的思想、公理化思想、化归的思想、联想类比的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想等。

建模派生的思想有：简约化思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样的思想等。

二、感悟：洞悉数学思想的魅力

教学是一种洞见。数学的精髓是什么？学习数学的价值是什么？一切都指向数学思想，我们要全面认识到数学思想在数学教育、专业发展中的重要作用。

1.教材的灵魂是数学思想。

纵观整个小学阶段数学教材的编排体系可以找到一明一暗两条主线：数学教材中知识的编排是有形的，是一条明线，而其中隐含在知识体系中的却是一条暗线；前者是教学内容，后者是为什么这么写；在“有形”的数学知识中，必定蕴含着“无形”的数学思想方法。这就需要我们具备整体意识，从数学思想的角度去把握教材，去探寻教材的灵魂。

从教材的构成体系来看，数学教材由两条“河流”组成：具体的知识构成这一易于被发现的“明河流”和数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它们是骨架与血脉的关系。有了数学思想作灵魂，各种具体的数学知识才不成为孤立的、零散的东西。正因为有了数学思想，“游离”状态的知识才会凝结成优化的知识结构，形成一个有机的整体。

2.设计的核心是数学思想。

从教学层次设计分析，数学课堂教学设计应分宏观设计、微观设计和情境设计，我们的教学设计应充分从这三个层面进行分析思考。无论哪个层次上的设计，其目的都是为了让学生参与到获得和发展认知的数学活动过程中去。因此，教学设计不能只停留在数学认识过程中的“还原”，更应该有数学思想的飞跃和创造。

以空间与图形领域中“图形与位置”内容的安排为例。这部分内容主要包括二年级用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，五年级用“数对”表示方格图上点的位置，以及六年级用“方向和距离”表示平面图上点的位置。上述内容中所蕴含的数学思想主线是“依据小学生的年龄特点和认知水平，让他们逐步感知数与平面图形上点的关系，培养符号感，体会数形结合的基本方法和价值”。其中，用“第几排第几个”等方式描述物体的位置，主要着眼于学生已有的生活经验；用“有序数对”表示方格图上点的位置，则是对生活经验的提炼，也是对感性认识的提升；用“方向和距离”确定平面图上点的位置，其基本思想与用“数对”表示点的位置是类似的，但它引导学生从不同角度丰富对相关数学思想方法的认识。

3.素养的提升是数学思想。

数学课堂教学是教师“主体表演”的过程，是教学思路、语言、动作、板书、情感交流等融于一体的过程，面对几十个充满灵动生命的个体，教师的数学积累只有达到一定的思想深度，才能与学生进行有价值的对话交流，准确辨别课堂教学中所发生的问题，给出中肯的分析，敏锐地把抽象的问题形象化、感性的问题规律化、复杂的问题简单化，才能机智地发现学生的思想火花，并及时加以提炼升华。

有人把数学课堂教学质量理解为学生思维活动的质和量，也就是学生知识结构、思维方法形成的清晰程度和参与思维活动的深度和广度。对学生的思维活动我们应该追求“新”“高”“深”：即：学生的思维活动要有新意，能形成一定高度的数学思想，参与的教学活动达到一定的深度。有思想深度的课，能给学生留下深刻的知识理解和长久的思想激动，我们进行数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，让学生获得一种思想的熏陶，形成一种“数学头脑”，使他们在问题解决的每一个过程中，都能带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学才能实现真正的实效和长效，真正提高学生的数学素养。

三、实践：致力数学思想的教学

我们的数学课堂应该致力追求数学思想的价值引领，充分挖掘教材中的数学思想，在教学中有意识、有效地加以渗透和运用，启迪、发展学生的数学思维，激发学生的学习兴趣和学习主动性，促使学生形成牢固、完善的认知结构，让学生在潜移默化中去领悟、运用，并逐步内化为数学思维品质。

1.深度挖掘教材。

坚持教材分析的整体性。我们应该深刻理解小学数学的知识体系，通晓小学数学全部的教学内容，并逐步了解各部分渗透的数学思想方法，以便渗透时逐步推进，避免顾此失彼。这就要求我们从整体上把握教材，认清教材特点，梳清教材脉络，理清教材思路，从整体上构建教材中数学思想的立体框架。

坚持教材分析的独特性。教师应根据学生的认知规律和现有水平，领会教材的编写意图，同时也不应受教材的约束和限制，要学会灵活地处理教材，创造性地使用教材，实现数学思想有机融合在数学知识的形成过程中。在研读教材时，我们要多问自己几个问题，如：怎样才能唤起学生进行深层次的数学思考、如何引导学生主动探究新知识、怎样根据教材的编排意图适时地渗透数学思想方法等，努力让数学课本上看得见的思维结果折射出看不出的思维活动过程，弄清新知识的形成过程，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，找准新知识教学的生长点。

如在一年级教材中，经常会出现这样的习题：

虽然这些题目只是要求学生在空格中填上一个合适的数，但我们应该明白，若把□换成x，则上面的题目就变成了不等式，这时x就是一个变元符号，就会有一定的取值范围，这一个“位置占有者”的作用就会凸显出来。我们可以引导学生思考、讨论一些这样的问题：□内最大能填几？最小呢？最多能填几个数？同样，在此基础上还可以进一步深化：□+○＜7，可以填些什么数？这样处理更好地渗透了符号变元这一数学思想，教材的思维价值才能显露出来。

2.注重过程教学。

数学的思想往往呈隐蔽形式，积沉、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，体验到知识背后所负载的方法及蕴涵的思想。

比如，教学“乘法分配律”一课，在已经累积了大量两式相等的例子的基础上，我让学生观察两式相等的特征，而后用自己喜欢的方式表示自己的发现。学生的思维成果非常丰富：（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙；（△+□）×○=△×○+□×○；（a+b）×c=a×c+b×c……而后，我出示下图，引导学生感悟：“你们的表示方法有异曲同工之妙，都可以用如下的图形表示出来。既可以用（a+b）×c表示，也可以用a×c+b×c表示，就得到（a+b）×c=a×c+b×c，这是乘法分配律的直观模型。”最后再让学生想象：如果这样的图形由3个、4个或多个长方形组成，那么关系式该怎么改？图形又该怎么画呢？

这样的设计，活化了数学思想的教学，充分彰显了“乘法分配律是一个数学模型”的特质，让学生感悟到，任何数学模型都是概括抽象的产物，任何一种数学模型也都体现着数学的抽象美和简洁美。

3.追求数学应用。

数学思想的形成是一个循序渐进的过程。只有经过理解、应用、促疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。

如在学习圆柱体积时，学生运用化归思想推导出圆柱体积公式后，教师并没有变换情境让学生停留在反复利用公式计算的层面，而是出示这样一个问题：你能知道这个土豆的体积是多少吗？沉思后，一些学生举起了手。有一位学生先往圆柱体容器里倒了些水，量了量，再把土豆放进圆柱体容器里又量了量，然后拿出土豆又量了量，兴奋地说：“老师，我有办法了，土豆是个形状不规则的物体，但我可以把它转化成圆柱体，你们看！圆柱体容器里上升的水的体积就是土豆的体积。”在他的启发下，又有学生说：“也可以把它放在长方体或正方体的容器里，只要是放在我们学过的规则形体里就能求出土豆的体积。”在知识的应用理解过程中，数学思想在学生的头脑里已初步形成。

我们只有巧妙设计应用问题，学生才能掌握比数学知识更为重要的东西，这些美妙的体验将使他们永远记住今天发现的这个结论。这样进行教学，学生所学的和所用的知识是鲜活的、富有生机的，学生的数学思想和数学素养才能得到质的飞跃！

4.强化反思体悟。

数学思想的获得，一方面需要我们进行有意识地渗透和训练，但更多的是要靠学生自身在反思过程中领悟，这一过程没有人能够代替。数学思想是对数学知识的高度抽象，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中。在问题解决的过程后，我们应该因势利导地让学生回顾反思，体会自己的研究过程，从而感悟其中的数学思想和技巧，使得学生的创造性活动得到再次升华。

在《平面图形的面积复习》一课中：

师：我们学过哪些平面图形？各种图形的面积怎样计算？每种面积公式是怎么得来的？

（学生口述各种图形的计算公式、公式的形成过程，教师通过课件显示各种公式的动态产生过程）

师：我们最先学习哪一种图形的面积公式？长方形面积公式可推导出哪些图形的面积公式？平行四边形面积公式又可以推导出哪些图形的面积公式？

教师根据学生回答依次出现各种图形，形成网络图。（图略）

师：看了这幅网络图，你有什么发现？

生1：正方形、平行四边形、圆都是通过长方形面积公式推导出来的。

生2：平行四边形和圆都是用转化的方法推导出面积计算公式。

生3：三角形和梯形面积公式是根据平行四边形面积公式推导出来的。

生4：各种平面图形之间存在一定的联系。新图形的面积公式都是通过转化变为已学过的图形，再根据已学过图形推导出新图形的面积公式。

师：板书：

师：这六种图形还有着怎样的联系呢？以小组为单位重新整理，构建不同的网络图。

（各小组介绍，有的按图形公式推导过程构建网络，有的按学习循序形成联系，有的按边的特征归类划分……）

教师在交流中突出“转化”思想在几何知识中的应用，同时又通过不同组合发现各种图形之间的联系，渗透循环往复螺旋式上升的数学思想。

因此，我们在教学中要适时引导学生对数学学习过程进行自我反思，给予提炼和概括的空间，让学生形成明确的数学反思习惯。由于数学思想分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想来解决。因此我们应该有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想的能力，这样才能真正把数学思想的教学落在实处。