分类讨论法在初中数学教学中的渗透

范莉

[摘 要] 分类讨论法是初中数学中一种重要且实用的问题分析方法，其中蕴含着重要的数学思想价值. 本文从分类讨论法的概念和实质出发，结合初中数学的教学实践，从数学概念教学、数学法则（公式、公理）应用、数学解题练习三个方面对分类讨论法的渗透式教学进行了深入地探讨.

[关键词] 分类讨论法；初中数学；渗透式教学

分类讨论法在初中数学中有着非常重要的地位，实际教学中，我们应该如何向学生进行渗透呢？对此，笔者有以下思考.

分类讨论法的概念及其实质

分类讨论法是一种非常重要的数学问题分析方法，是一种常用的解题策略，也是一种数学思想，其概念可以这样阐述：根据研究对象的情境差异，将其分成不同类型的情况，进而给予针对性分析及解决的策略和方法.

分类讨论法是当前中考数学重点考核的内容，其实质是一种将复杂问题先化整为零，再逐个分析处理之后形成结论的数学思维方法，它从数学问题之间的本质联系出发，有助于学生逻辑思维和归纳总结等能力的培养.

此分析方法的运用先要对问题形成一个宏观性的认识，然后确定分类标准，进而搭建分类框架，由此分门别类地进行不遗漏、不重复的研究分析，直至问题全方位地解决. 分类讨论法运用的关键是严谨而科学地进行分类，并确保不出现重复和遗漏的分类情形.

分类讨论法在初中数学教学实

践中的渗透

作为初中数学体系中最为基础、最为重要的一项研究方法，我们要将它广泛地渗透在数学教学的每一个领域.

1. 在数学概念教学中渗透分类讨论法

虽然分类讨论法非常重要，但是初中生的分类讨论意识却不强，最明显的表现就是他们不知道哪些问题的处理需要分类处理，也不知道如何进行正确而合理的分类. 这就需要教师在教学过程中有效挖掘教材，积极创设情境，积极进行强化，并对学生进行启发和诱导，以此揭示分类讨论法的本质，帮助学生自觉形成采用分类讨论法的意识.

在初中数学的知识体系中，很多数学概念的定义都渗透着分类讨论的思想，例如实数与有理数的分类、绝对值化简处理、一元二次方程根的判别式、直线与圆的位置关系等. 上述涉及分类讨论法的问题，教师在进行教学时，要引导学生准确而科学地进行分析，从而让学生在概念学习中深刻领会分类讨论法的数学思想实质以及具体操作，由此促成学生方法的养成.

例如，一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的有关规定，对于这一点，教师在教学时不能硬性灌输，而应该引导学生理解a=0和a≠0两种情形下，方程有什么差别. 在此基础上，再由学生说明关于x的一元二次方程kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0中系数k有何限制条件，然后对概念进行变式讨论，即将“一元二次”这一条件删掉，提问这是一个什么方程，如何进行求解. 学生深刻理解概念中的关键词以及条件的变化情形之后，会有意识地把a=0和a≠0作为两种不同情形进行分类讨论.

在初中数学的日常教学过程中，这种目的性明确而且又循序渐进的渗透式教学，有助于学生对具体方法进行逐步体会，进而深刻领会其中所蕴含的分类讨论思想，同时学生通过问题的变式对比还将深刻领悟分类讨论的适用情境. 在教师的进一步引导和总结下，学生还将对分类的同一性、互斥性、层次性和相称性等原则进行深层次地理解. 上述内容都是分类讨论法的方法要点，凝聚着严谨而理性的数学思想，学生对其进行感悟，有助于训练思维的条理性和目的性.

2. 在数学法则、定理、公式的应用中渗透分类讨论法

初中数学的知识体系中不仅有大量的概念，还有很多法则、定理和公式等，相关知识的体系搭建就是循着分类讨论、分类概括的思路进行构建的. 教师教学过程中要有意识地引导学生在深度理解中体会分类讨论法的方法内涵.

例如，学生学习过七年级数学有关负数的知识之后，要对有理数进行类别划分：将有理数分成负数、零、正数或将有理数分成分数和整数，教师要让学生区分不同的类别划分方式，从中体会分类讨论法的关键性要求：不重复和不遗漏. 此外，分类还将出现这样的情形：分类标准不一样，则分类情形不同；采用分类讨论法必须有明确的分类标准，而且必须采用正确的分类标准. 在学生对有理数的分类以及分类讨论法有所认识之后，教师可继续提问：-a一定是一个负数吗？由于之前的方法引导，学生很快会意识到分类讨论的必要性，即把a分成三类数字进行讨论（正数、零和负数）. 又比如，学习绝对值的定义时，教师要有意识地对学生进行启发，由此引导学生将有理数的分类方法进行认知迁移，帮助学生分类概括出a>0，a=0和a<0三种情形下绝对值的不同情形，并引导学生通过一些简单的化简题进行巩固和强化. 比如，如何去掉x+4和x-4的绝对值符号. 通过问题的逐步分析以及解题思路的整理，学生会对分类讨论法有一个深刻而系统化的认识.

在上述教学过程中，我们可以发现，只要教师注意发掘教材中的教学资源，就可以因势利导地渗透分类讨论法的教学. 当然，方法的教学应该具有延展性，例如学生对上述有理数分类的问题能够形成深刻认识之后，教师应再引导他们对有理数加法法则进行探讨，再一次将分类讨论法渗透其中，這样，学生的能力将获得进一步提升. 由此可见，学生在学习数学知识的过程中，也能认识到相关问题为何要分类，以及如何进行分类，可谓一举多得，极大地提高了课堂的效率.

3. 在数学解题练习中强化分类讨论法教学

分类讨论法也普遍存在于数学习题的处理过程中. 教师引导学生进行解题训练时，务必提醒学生选用恰当的数学知识来解决问题，更要选用合适的数学方法. 正确的分析方法能让问题的处理事半功倍. 同时，解题之余，学生还应有意识地对解题过程进行总结，对其中所采用的数学方法和思想进行进一步提炼，由此更深层次地领会方法的必要性以及具体的操作流程，相信通过这样的操作，学生分类讨论的意识和方法将获得大幅提升.

（1）分类讨论法在函数问题中的应用

函数是初中数学的主要难点之一，难在何處？笔者认为解题方法较为隐蔽就是原因之一，灵活地选用方法，可以让问题更为简便地被解决，而分类讨论法就是使用较为频繁的一种.

例1？摇 已知函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的数值以及函数与x轴的交点坐标.

分析？摇 本题所对应的函数到底是怎样一种类型的函数，题中并没有给出一个确定的条件，因此，处理过程中必须根据a取值的不同情形进行分类讨论.

解答 ？摇当a=0时，该函数为一次函数y=3x+1，此时函数与x轴只有一个交点，且交点坐标为-，0；

当a≠0时，该函数为二次函数，因为它与x轴只有一个交点，所以Δ=0，即Δ=（3-a）2-4a=a2-10a+9=0，解得a=1或a=9. 对应的函数与x轴的交点坐标分别为（-1，0）或，0.

（2）分类讨论法在不等式问题中的应用

不等式两边同时乘或除以某个数时，不等号的方向可能会发生改变，具体情况如何，必须进行分类讨论.

例2？摇 解不等式：（k-1）x>k2-1.

分析？摇 如果不对上述不等式进行区分，盲目地在两边同时约掉（k-1），将不等式写成x>k+1，肯定是错误的. 该问题必须根据不等式的性质分成三种情形进行讨论，从而针对不同的情况进行求解.

解答？摇 当k-1<0，即k<1时，原不等式可化为x

当k-1=0，即k=1时，原不等式为0·x>0，不等式无解；

当k-1>0，即k>1时，原不等式可化为x>k+1.

综上所述，当k<1时，原不等式的解为x1时，原不等式的解为x>k+1.

（3）分类讨论法在方程求解中的应用

将绝对值符号引入方程，会给方程带来很多不确定的因素，而这些也正是分类讨论法的用武之地.

例3？摇 解方程：4x-4-2x+2=14.

分析？摇 此题的难点是绝对值符号能否直接擦掉. 这一问题涉及绝对值符号内是正数还是负数，这里需用到分类讨论法.

解答？摇 当x≥1时，原方程可以化简为（4x-4）-（2x+2）=14，可以直接解出x=10；

当-1

当x≤-1时，原方程可以化简为4-4x+2x+2=14，可以直接解出x=-4.

综上所述，原方程的解为x=10或x=-4.

“过程与方法”是三维教学目标体系的重要组成部分，初中数学课堂上，我们不仅要让学生通过对过程的体验熟悉分类讨论法的应用，还要引导学生对方法进行总结和思考，由此促成该维度目标的实现.