培养初中生的数学运算能力需过“四关”

陈传东

[摘 要] 数学运算能力是学生学习数学的基础，数学运算准确率不高是困扰部分学生和教师的难题. 通过对初中生数学作业、试卷、易错题展示小报的分析，笔者发现提高初中生数学运算能力必过“四关”：第一，负号关；第二，括号关；第三，公式关；第四，检验关.

[关键词] 初中数学；运算能力；运算符号；去（添）括号；数学公式

“在良好的数学基础上谋求学生的全面发展”是我国数学教育特色的核心，这里的“数学基础”主要指数学基础知识、基本技能以及“三大数学能力”（数学运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力）. 数学运算能力的重要性可见一斑. 初中阶段的数学运算包括对数值的计算、求近似值；数学式子的恒等变形（如代数式化简）与同解变形（如解方程、方程组或不等式）；初等函数运算和求值；各种几何量的测量与计算；概率、统计的初步计算等. 恰逢笔者所在年级备课组在做“初中数学易错题归因分析与矫正策略研究”小课题，教师访谈和学生的易错题展示小报表明，运算准确率不高是困扰教师和学生的共同难题.

现摘录几个易错题展示小报上涉及数学运算的典型例题（本文展示的是正确解题过程）：

第2题易出错的地方有四个：第一，打开完全平方公式时，凭直觉认为（x-1）2=x2-1；第二，认为（x-2）（2-x）可以用平方差公式进行计算；第三，式中的减法运算是减去（x-2）（2-x）的乘积，应把乘积当作一个整体加上括号，再去括号并变号，很多学生算成了2（x-1）2-（x-2）（2-x）=2（x2-2x+1）-2x-x2-4+2x；第四，有同学在给2（x2-2x+1）去括号时只把2与括号中的某一项或某两项相乘.

经过分析，笔者发现学生计算时出错的原因主要有四大类：一是符号问题，其中“负号”是学生最恐惧的符号，题目中出现的负号（减号）越多，学生犯错的频率越高. 二是括号问题，当括号前有负号时，去括号需变号，不变号或只部分变号是出错主因. 部分学生该添括号时不添（如多项式相减时，应该给多项式加上括号），不该添括号时乱添，如计算-12时算成（-1）2. 三是公式问题，完全平方公式打开时应该有3项，部分学生在初三复习时还把（a-b）2算为a2-b2，把（a+b）2算为a2+b2，对平方差、负指数幂等公式理解也不彻底. 四是粗心，抄题时，把符号抄错或者项数抄漏. 因此，培养初中生的数学运算能力需过四关，即负号关、括号关、公式关、检验关.

负号关

（一）加号与正号、减号与负号的区别、统一

在初一（上册）学习有理数之后，“负号”就伴随着学生初中阶段的数学学习. 加号与正号的符号表示都为“+”，减号与负号的符号表示都为“-”，一线教师常常区分为运算符号和性质符号. 在表示具有相反意义的量时，这种区分是必要的. 但在运算过程中，加号与正号，减号与负号是可以相互转化、统一的. 以实际情境为例：小明在第一次數学小检测中考了90分，第二次在第一次基础上提高了5分，第三次在第二次基础上下降了4分，小明第三次检测得了多少分？学习有理数之后，列式有2种：①90+5-4；②90+（+5）+（-4）. 比较这两个式子，①式中，5前面的加号“+”表示提高，4前面的减号“-”表示下降；②式中，5前面的正号“+”表示提高，4前面的负号“-”表示下降. 此时，加号与正号的意义相同，减号与负号的意义相同. ①②式都表示小明第三次的检测成绩，所以90+5-4=90+（+5）+（-4）. 实际上，在进行有理数和整式的加减运算时，所有的符号都可看成项或数的性质符号，式子中的加减运算可以统一为只有加法运算的“和式”. ②是“和式”，①是省略加号的和式.

把运算符号看成性质符号的一个好处是：在用交换律、结合律时，需对项的位置进行调换，性质符号作为项的一部分应该跟着项走，“符号跟着走”才能保证运算正确. 如式子1-2+3-4含有+1，-2，+3，-4四项，1-2+3-4=1+3-4-2=-2.

整式加减合并同类项时，“符号跟着走”也有利于提高运算准确率. 如4a2-4a+12a-9a2=（4a2-9a2）+（12a-4a）= -5a2+8a.

（二）负号的妙用

学生对含有负号的运算往往没有含正号的运算得心应手. 但掌握好负号，特别是相反数（相反项）的概念，会为数学运算带来很多便利. 在教学中，让学生理解：互为相反数的两个数（因式）的偶次幂相等、奇数幂互为相反数，相反项可以通过提取负号变成相同项，能为学生灵活运用负号带来很大便利.

如：299×（-2）100=299×2100=2199；24×

（-2）5=24×（-25）=-29；（a-b）2·（b-a）3=（b-a）2·（b-a）3=（b-a）5或（a-b）2·（b-a）3=（a-b）2·[-（a-b）3]= -（a-b）5.

以上变形将不同底数幂的乘法运算转化成了同底数幂的乘法运算. 在分式化简中，分式的分子、分母也可通过提负号把相反因式转化为相同因式，从而进行约分.

（一）掌握去括号与添括号的法则

要过括号关，去括号、添括号的法则是教师必须讲透、学生必须彻底掌握的两个法则. 在整式与分式的混合运算、解方程与不等式、因式分解、二次函数解析式变形中都会用到去（添）括号法则. 当括号前面是正号“+”时，不管是添括号还是去括号，括号内的各项都不改变符号，学生遇到这类题出错的概率也比较小，本文不再赘述. 括号前有负号或有因数是学生最容易出错的两种情况.

1. 括号前有负号. 去括号：当括号前是负号“-”时，把括号和它前面的负号去掉，括号里各项都要改变符号. 如a-（b-c）=a-b+c，在去括号的过程中，去掉的是括号和前面的负号，括号里的+b变成了-b，-c变成了+c. 添括号：所添括号前面是“-”时，括到括号里的各项都要改变符号. 如a-b-c=a-（b+c），-b变成了括号里的+b，-c变成了括号里的+c. 不管是去括号还是添括号，都应该把括号和括号前面的负号当作一个整体.

2. 括号前有因数. 如2（2a2-b2）-3·（a2-2b2）=4a2-b2-3a2-6b2=a2-7b2，只把括号前的系数与括号内的某一项相乘也是学生容易犯的错误.

实际上，学生要过括号关就需要教师在教学中渗透整体思想，一个括号代表一个整体，所以要变号时，括号内的每一项都要变；要乘某一因数时，括号内的每一项都应该乘该因数. 对待括号内的项应该“一视同仁”.

（二）妙添括号，巧计算

与添括号相比，去括号具有被动性，只有题目中出现了括号，才需要学生去括号. 添括号具有很大的主动性，它体现了学生娴熟、灵活的运算能力. 一些试题，不添括号同样可以完成计算，但添括号之后往往运算过程更为简便.

1. 通过添括号变形，从而运用公式. 如计算（a-b+3c）（a+b-3c），直接利用多项式与多项式相乘法则可以得出结果，但通过添括号之后可以使用平方差公式，变形为（a-b+3c）（a+b-3c）=[a-（b-3c）][a+（b-3c）]=a2-（b-3c）2，从而快速得到结果.

公式关

幂运算、整式的乘法、分式运算、根式运算、解直角三角形、圆等章节中，包含着初中阶段需要掌握的众多数学公式. 数学公式理解不透、掌握不牢是导致学生运算效率低下的重要原因. 因此，学生对公式的记忆必须从机械记忆走向理性建构. 教学公式时，教师既要重视公式推导，也要重视公式运用.

（一）重视公式推导

为了追求教学进度，“不重视公式推导，只重视公式运用”是常见的教学现象，这导致很多学生对公式的理解处于空白或“夹生饭”状态，对公式的记忆模糊、混乱. 细致的公式推导过程，可以让学生知道公式的来源以及公式的适用范围. 以平方差公式为例，学生通过计算，观察（a+b）（a-b），（x+3）（x-3），（5+a）（-5+a）这三个式子发现：两个二项式相乘，当两个因式中有一项完全相同，另一项只有符号不同时，计算结果是平方差形式，且是相同项的平方减去相反项的平方. 在计算、观察的基础上，学生可以归纳出平方差公式的一般形式（a+b）（a-b）=a2-b2. 公式推导的过程让学生明白只有形如（a+b）（a-b）的式子才能运用平方差公式，平方差公式的计算结果是相同项的平方减去相反项的平方，在理解这一本质的基础之上，任意调换相同项和相反项的位置，学生都能快速得到正确答案. 如（a+5）（a-5），（5+a）·（-5+a），（a+5）（-5+a）的计算结果都是a2-25. 在此基础上，教师根据班级学情，还可以适当拓展，把相同项和相反项变为系数不为1的单项式或多项式，从而在平方差公式教学中渗透整体思想. 如（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2，[（a+b）+c][（a+b）-c]=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2.

（二）通晓公式运用

任何数学公式都有其限定的使用范围，学生要学会根据题目的特点选择适用的数学公式，千万不能想当然地套用公式. 通晓公式运用包括正用、逆用、活用3个层次.

1. 正用数学公式. 正用数学公式即从左往右运用数学公式，以平方差公式为例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若习题是形如等号左边（a+b）（a-b）的形式，则可以从左往右运用此公式，快速得到答案. 这里的a，b可以是单项式也可以是多项式.

2. 逆用数学公式. 逆用数学公式即从右往左运用数学公式，是初中数学逆向思维的重要体现. 以平方差公式为例，（a+b）（a-b）=a2-b2，若习题是形如等号右边a2-b2的形式，则可以从右往左运用此公式，快速得到因式分解的结果，如4a2-b2=（2a+b）（2a-b）. 这里的a，b可以是单项式也可以是多项式.

3. 活用数学公式. 一些习题考查的不仅仅是正用或逆用数学公式，还涉及公式变形. 完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的变形是学生经常会遇见的题型，如已知a+b=3，ab=-8，求a2+b2，（a-b）2，a2-ab+b2的值等. 清楚基本公式的常見变形以及不同公式之间的数量关系是活用数学公式的前提.

检验关

“没有检查答案的习惯，不知道如何有效检查”是影响初中生运算能力的重要因素. 为提高运算的准确性，教师应该教会学生从哪些角度去检查. 笔者认为，易错点就是检查点. 因此，检验时要查运算符号、查括号、查运算顺序、查公式运用、查项数，以免运算过程中漏项、丢系数. 此外，教师必须交给学生常用的检验方法.

（一）复算检验法

复算法即把题目从头到尾再算一遍，检查运算顺序、书写是否正确，步骤是否完整，这种方法几乎适用于任何类型的运算题目. 学生中运用此法的占很大比例，但由于受思维定式和第一遍演算记忆的影响，学生容易在两次计算中犯同样的错误，不易找出运算中存在的问题.

（二）逆运算检验法

逆运算（互逆变形）是检查运算结果的法宝，如用加法运算检查减法运算是否正确；用乘法运算检查除法运算是否正确；用去括号检查添括号是否正确；用整式乘法检查因式分解是否正确；用乘方运算检查开方运算是否正确等.

（三）代入检验法

代入检验法即将运算结果代入原式进行计算. 如检查方程或方程组的解是否正确，可把解代入原方程，能否使原方程成立是判断答案正确与否的标准. 一些选择题也可以通过代入选项的方法检验答案是否正确.

（四）数形结合法

在数轴、不等式（组）的解集、函数的系数与图像等问题中，可以通过数形结合的方法判断答案正误. 如一次函数y=kx+b（k≠0）的图像从左到右呈上升状态，但求出的k值小于0，显然这个答案是错误的. 同样，若二次函数y=ax2+bx+ca≠0的对称轴在y轴左边，但求出的a，b异号，说明计算过程一定出现了问题.

检验运算结果的方法有多种，学生在学习过程中应该有意识地反思、总结检验方法，并能根据题型选择最佳的检验方法，提高运算的准确率.

若学生在教师的帮助下能够顺利度过负号关、括号关、公式关、检验关，学生的运算能力会得到大幅提升，这将为进一步的数学学习提供坚实的运算能力基础.