基于复变函数法的准静电场电容分析与有限元仿真

占银玉，邓甲昊,叶 勇,刘士川

(1.北京理工大学机电动态控制重点实验室，北京 100081；2.北京理工大学机电学院，北京 100081)

基于复变函数法的准静电场电容分析与有限元仿真

占银玉1，2，邓甲昊1，2,叶 勇1，2,刘士川1，2

(1.北京理工大学机电动态控制重点实验室，北京 100081；2.北京理工大学机电学院，北京 100081)

针对高速运动目标的精确定距问题，提出应用复变函数法对基于准静电场的耦合式电容探测器进行电容分析。该方法适用于分析对称模型，简单有效，计算结果更为精确，直接反映电容与电极结构参数间的关系。有限元仿真结果分析表明,增大电极直径对提高传感器探测灵敏度效果更为显著，而极间距大小对灵敏度的影响具有一定的限度，选择时需综合考虑探测距离及范围要求。复变函数法电容计算公式和有限元仿真结果均与静态实验结果吻合，为后续优化实验方案指明了方向。

电容探测器；复变函数法；有限元仿真；准静电场

0 引言

坦克作为地面装甲的主要武器，在地面作战中发挥着重要作用，如何为坦克装甲提供有效而不失机动性的保护，始终是技术人员需要解决的难题[1-2]。主动防护系统(Active Protection System，APS)作为一种新型的防护系统，可有效地主动保护坦克，这对保证坦克和乘员的安全至关重要。主动防护系统的优势已经在近年来的军事活动中突显[3]，美国、俄罗斯、德国等国家的研究人员都在积极研发主动防护系统，目前我国也在加紧开展主动防护系统的研究工作[4]。电容探测作为一种探测手段，已在引信领域得到广泛的应用[5]。工作于准静电场的电容探测器具有近程探距精度高、抗干扰能力强、反隐身效果好等优点[6]。因此，将电容探测器应用于主动防护系统来探测高速来袭目标具有明显的优势，为主动防护系统开辟了新的思路。

目前主动防护系统需迫切解决对高速运动目标的精确定距问题[7]，进一步提高电容探测器的探测灵敏度，其电极结构参数的优化设计是实现优化性能的第一步[8]。本文采用复变函数法对工作于准静电场的电容探测器电容进行分析，讨论不同的结构参数对传感器灵敏度的影响规律，通过Maxwell仿真实验获取电容与弹目距离之间的关系。

1 平面电容探测器原理

如图1所示，电容探测器主要包含平面电容、振荡电路、绝缘块和接地板四个部分。平面电容由激励电极和接收电极组成。振荡电路为克拉波振荡器，产生正弦信号来驱动激励电极，在空间建立准静电场。电极片放置在绝缘块上，避免与接地板的直接接触。接地板为导体且接地，可屏蔽电极另一侧的环境干扰。

圆片电极受边缘效应和尖端效应影响较小，且制作简单，是一种比较理想的电极片。Φ1和Φ2为激励电极和接收电极直径，Φ1=Φ2，D为两电极相邻边缘之间的距离。

根据镜像电荷法原理，不考虑激励电极和接收电极直径，将其视为两个质点A和B。可得出如下假设：1)所有的自由电荷都集中到电极的几何中心；2)根据电场极化理论，可用点电荷Qt(即极化电荷)代替运动的目标。假设T在A和B上方的任意一个位置，A到TO的距离为l1，B到TO的距离为l2，L为电极A和B之间的距离，L=l1+l2，h1为绝缘块的厚度，h为弹目距离，Φa、Φb为电极A、B的电势，Qa、Qb分别为电极A、B所带的电荷，Qt为极化电荷，具体参数如图2所示。

当无运动目标时，电极A和B之间的电压可以表示为：

Uab=Φa-Φb

(1)

如图2(b)所示，当有运动目标时，由叠加原理可得电极A的等效电势表示为：

(2)

电极B的等效电势可表示为：

(3)

因此，式(1)可变为：

(4)

等式(4)减去等式(1)可得：

ΔUab=uab-Uab=

(5)

式(5)直接给出电极、来袭目标的位置信息与检波电压之间的关系。显然，参数L主要与电极的设计参数有关，电极直径和极间距可确定L的值。l1与目标着靶轨迹有关，h为弹目距离。由式(5)可以得出如下结论：当目标接近坦克，弹目距离逐渐减小。通过数值分析可得ΔUab与h之间的关系，如图3所示。当弹目距离较大时，检波电压几乎不变，随着弹目距离减小，电压急剧上升。

2 复变函数法的电容分析

电磁学中，对电场的分析通常是在一个三维空间讨论，而对称模型可利用复变函数从剖切面讨论平面电场问题[9]。本文利用复变函数分析平面电容板间的电容，该函数满足解的唯一性定理。复变函数

w(z)=w(x+jy)=u(x,y)+jv(x,y)

(6)

作为独立自变量z=x+jy=rejφ的分析函数，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)在定义域D中满足柯西-黎曼条件。工作于准静电场的电容探测器须满足拉普拉斯方程。忽略边缘效应，若边界条件满足，可看作是势函数的解，综合柯西-黎曼条件和拉普拉斯方程可得出：

▽u·▽v=0

(7)

准静电场中，若虚部为待求电场势函数，则实部为待求电场强度通量函数[10]。

选对数为解析函数有：

w(z)=Alnz=Aln(rejφ)=Alnr+jAφ

(8)

模型剖切面如图4所示，电极A与X轴之间的夹角φ1=0，电极B与X轴之间的夹角φ2=π，边界条件如下：

(9)

两极板间的电压为

V0=v2-v1=Aπ

(10)

因此，由式(9)、式(10)可得：

V=v-v1=V0φ/π

(11)

Z方向单位长度的电场强度通量

(12)

如图5所示，dL为宽度方向线元。故总电场强度通量为：

(13)

式(13)由Maple软件求得精确解，电荷Q为：

(14)

因此两电极产生的电容可计算为：

(15)

与有限元法、表面电荷法、模拟电荷法等算法相比，复变函数法更为简单有效，且获得的平面电容传感器电容值关系式更加精确，直接反映电容与极间距、电极直径间的关系。但该理论是对无运动目标的探测模型进行分析，故不能得出目标来袭时电容变化量与电极直径、极间距之间的关系。故本文通过Maxwell有限元仿真对复变函数法求得的电容公式进行验证，结合验证结果研究提高耦合式电容传感器探测灵敏度的方法。

3 有限元建模与仿真

3.1 有限元建模

Maxwell仿真软件在相对介电系数为常数的静电场，通过电场储能的形式计算出平面电容探测器的电容值[11]。利用Maxwell进行静电场仿真并计算电极间电容值，需简化模型。如图6(a)所示以目标和传感器为主体，包括铁磁目标、电极、绝缘块和接地板。绝缘块的材料为有机玻璃，极片A、B的材料为铜，目标和接地板材料为铁。该模型为多导体模型，结构电容Cab、Cad、Cbd远远大于互电容Cat、Cbt、Cdt，如图6(b)所示，Cad、Cbd在弹目交会过程中变化小，故本文中仿真所得电容矩阵取Cab为最后结果[12]。

接下来，根据仿真需要设定边界条件。通过Maxwell参数优化和扫描功能，动态分析不同电极结构参数条件下弹目距离与电容变化量之间的关系。

3.2 理论与仿真结果对比

式(15)确定了在无运动目标时圆形极片电容值与电极直径、极间距之间的关系。由于接地板和绝缘块对空间电场的影响，系统实际相对电容率增大且未知。故本文通过选取初值计算比值的方法，验证理论数据与仿真结果的一致性。

如图7(a、b)所示，基于复变函数法的静电场电容分析是在无限空间中求解，而Maxwell有限元仿真数据受求解域大小影响，故理论与仿真结果存在一定的误差。由理论与仿真曲线对比可看出电极直径对探测灵敏度的影响更为显著，极间距对于提高传感器探测灵敏度具有一定的限度。

传感器电极间形成的电场如图8所示，两电极间的电场线分布密集，是感应来袭目标的主要区域，故传感器尺寸一定时，为了满足传感器探测范围及距离要求，需选择合适的极间距，过小会导致探测范围小，过大则会导致探测距离减小。

3.3 电极结构参量仿真结果分析

不同极间距条件下，弹目距离与电容变化量间的关系如图9(a)所示。在相同弹目距离和电极直径条件下，极间距越小，探测灵敏度越高。图9(b)为静态目标特性实验结果，描述了弹目距离与检波电压变化量之间的关系。比较图9(a)和(b)可看出仿真结果与实验结果吻合。

相同极间距，不同电极直径条件下仿真结果如图10(a)所示，图10(b)为静态实验结果，在其他参数相同时，增大电极直径可提高传感器探测灵敏度。

由图9(a) 、图10(a)仿真曲线对比可看出减小极间距对探测距离影响小，在弹目距离小于100mm才有明显差别。而电极直径对探测距离影响显著，弹目距离在400～500mm时已有较大差别。通过以上两组实验对比可得出结论：在传感器尺寸一定时，增大电极直径可提高系统探测距离，极间距不宜过大或过小，需结合探测范围考虑。与上一节理论分析结论完全吻合，验证了准静电场的复变函数法电容分析理论的正确性。

4 结论

本文提出了一种对工作于准静电场的耦合式电容探测器应用复变函数法分析其电极片结构参数与电容值之间关系的计算方法。该方法适用于分析对称的静态模型，简单有效，计算结果更为精确。有限元仿真结果分析表明,增大电极直径对提高传感器探测灵敏度效果更为显著，而极间距大小对灵敏度的影响具有一定的限度，选择时需综合考虑探测距离及范围要求。准静电场的复变函数法电容计算公式和Maxwell有限元仿真结果均与静态实验结果吻合，对进一步提高传感器的探测灵敏度提出更好的优化措施。但该方法不适用于分析目标来袭时电容变化量与结构参数之间的关系，具有一定的局限性，如何改进该方法成为下一步研究的重点。

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Finite Element Simulation and Capacitive Analysis Based on Complex Variable Method of Quasi-electrostatic Field

ZHAN Yinyu1,2, DENG Jiahao1,2, YE Yong1,2, LIU Shichuan1,2

(1.Science and Technology on Electromechanical Dynamic Control Laboratory, Beijing 100081, China; 2.School of Mechatronical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Aiming at the distance determination problem of high-speed motion targets, a capacitive analytic approach based on complex variable method was proposed for the planar capacitive coupling sensor working in quasi-electrostatic field. This approach, applying to analyze symmetry model, needed little calculation and more accurate. It directly reflected the relation between the capacitance and electrode structural parameters. Simulation results showed that increasing electrode diameter had a major influence on improving the sensitivity, and electrode spacing had no significant effect. Proper electrode spacing needed to be selected in order to meet the detection range and distance. A good agreement was obtained by the theoretical comparison. These results contributed the experiment schemes improvement and optimization in the future work.

capacitance sensor; complex variable method; finite element simulation; quasi-electrostatic field

2016-08-21

占银玉(1990—)，女，安徽桐城人，硕士研究生，研究方向：电容引信、信号处理。E-mail:1300462282@qq.com。

TJ434.1

A

1008-1194(2017)01-0008-05