以阻抗边界条件计算导电半无穷空间中的交变电流分布

王 川

(武汉大学 电气工程学院，武汉 430072)

0 引 言

在许多实际问题中需要考虑导电媒质为半无穷空间的情形，例如直流输电或配电网接地故障等。作为半无穷空间的导电媒质可以是大地，也可以是湖水，海水等[1]。在许多应用中，需要考虑电极附近的电流场特性，且激励源并非仅限于直流源，故用来描述远离电极区域的无源Laplace方程或齐次Helmholtz方程就需要进行修改以反映电极附近区域的电流场特性。为此，我们将从Maxwell方程组出发推出含有激励源项的非齐次Helmholtz方程。由于电源可被视为维持电极上自由电荷的装置，我们可据此物理地理解非齐次项为电荷密度的函数的原因。另一方面，由于这类模型庞大的计算域而使得纯数值方法的运用受到了限制，我们将考虑解析-数值混合方法。为了避免分离变量法的复杂性，我们直接应用阻抗边界条件得到关于电流密度的第一与第三边值条件，再用Green函数求解。对于(半)球形电极，计算时可直接视为点电极，而对于垂直线状电极，我们将建立关于电荷密度的变分，为此将静电势能表为电荷密度的函数，并以Ritz法极小化此变分，从而得到电荷密度分布。

1 边值问题的建立

×H=κE+iωεE

(1)

(2)

式中：ω为激励源频率。由式(1)，式(2)和Ohm定律。

J=κE

(3)

得到导电空间中电流密度的方程为：

(·J)-ΔJ=-iωκμJ

(4)

·J=-iωρ

(5)

代入式(2)得到一非齐次Helmholtz方程：

ΔJ+k2J=-iωρ

(6)

式(5)、式(6)中的ρ为激励源(电极)上的电荷密度，且-iωκμ=k2。式(6)在直角坐标系中等价于3个标量方程：

(7)

式中：Jx，Jy，Jz分别为电流密度J的3个分量。

为得到边值，我们考虑阻抗边界条件[2]：

E-(n·E)n=γZ0n×H

(8)

其中，n为单位外法向量，

(9)

式中：Z0为自由空间特征阻抗；μ0，ε0分别为自由空间的磁导率和介电常数。参数γ定义为：

(10)

式中：εr，μr分别为导体的相对介电常数与相对磁导率。

只要|1/γ|≫1阻抗边界条件就可以应用。若频率不是太高，式(10)总是可以满足的。

将：

(11)

代入式(8)右边，我们得到：

(12)

考虑电场强度切向分量的连续性并注意在导体表面有Ez=0，我们最终得到电流密度的边界条件为：

(13)

(14)

Jz=0

(15)

至此，我们已对Jx，Jy建立第三边值问题而对Jz建立第一边值问题。

2 Green函数的构造

为得到上述边值问题的Green函数，我们考虑Helmholtz方程的基本解：

(16)

式中：(x,y,z)和(ξ,η,ζ)分别为场点与源点。由于导体表面为一无穷大平面，故可运用镜像法得到第三边值问题的Green函数为[3]：

(17)

其中：

(18)

(19)

(20)

(21)

第一边值问题的Green函数为：

(22)

式(17)，式(22)的构造已考虑Sommerfeld辐射条件：

(23)

3 以Green函数法解电流密度边值问题

令：

(24)

则边值问题，式(13)～式(15)之解可表为：

r=xex+yey+zez,R=ξex+ηey+ζez,

m=x,y,z

(25)

式中：VR为源函数KM(R)所在的区域，而KM(R)需要事先给定，这是与电极形状有关的函数。若两电极为(半)球状且其间距d远大于电极自身的半径，则可视两电极为点电极，KM(R)可以Dirac-δ函数描述即：

M=ξ,η,ζ

(26)

式中：q为单个电极上的电荷量，K1，K2分别为两点电极的坐标(-d/2,0,0)和(d/2,0,0)，将两点电极之间的连线取为x轴并将导电半空间表面取为z=0，如图1所示。

图1 点电极激励的导电半空间Fig.1 The conducting half-space excited by the point electrodes

为了便于应用，可由：

(27)

将电极电荷量q以流经系统的总电流I代替，注意流出为正流入为负的电流符号规则。

采用表示法：

(28)

并考虑Dirac-δ函数导数的性质：

(29)

即得：

m=x,y,z,M=ξ,η,ζ

(30)

引入函数：

(31)

则式(30)可写为：

(32)

(33)

(34)

其中：

(35)

(36)

(37)

(38)

总电流密度为：

(39)

在实际情况中常见的还有线状电极。设有一垂直于地面的线状电极，若其长度l远大于其半径，则可将其视为一维杆0≤ζ≤l，设其上电荷垂直密度分布为ρz(ζ)，在激励源频率不太高的准静态情形，则其将使静电势能达到最小。

(40)

积分域D为：

0≤ζ1≤l,0≤ζ2≤l,|ζ1-ζ2|≥c>0

式中：c为一充分小的正数以使式(40)不含奇点(位于ζ1=ζ2上)并使数值计算结果足够精确。

运用Ritz法[4]，设：

(41)

则若令a0=q/l即能满足条件：

(42)

将式(41)代入式(40)得U=U(a1,a2, …,a2n)。

并使：

(43)

即可得到关于a1,a2,…,a2n的线性方程组，从而得到线状电极上电荷密度的垂直分布ρz(ζ)。

在ω=0的直流激励源情形，电流密度式(32)～式(34)将变为：

(44)

(45)

(46)

总电流密度为：

(47)

式中：r1，r2分别由式(35)，式(36)表出。这是两半球电极直流电流在均匀导电媒质中扩散的熟知结论[5]。

4 数值计算

以下我们给出算例，各参数取值如下：激励源角频率ω=100 π rad/s；电极距离d=50 m；电导率κ=0.1 S/m；相对磁导率μr=1；相对介电常数εr=50；总电流I=50 A；电极长度l=10 m；计算范围-50≤x≤50，-25≤y≤25，z=2。先计算两个点电极激励的电流密度分布，结果如图2。

图2 点电极激励的电流密度场Fig.2 The field of current density excited by point electrodes

图2显示了由于点电极形状与位置的对称性所导致的电流密度场的对称性。电流密度场在离开点电极区域后衰减很快。

再考虑垂直棒状电极与点电极组成的系统。设棒状电极长度l=10 m，位于x=-25，y=0，0≤z≤10， 则运用Ritz法求得：

(48)

在式(40)的计算中取c=10-9。这种情况下依式(25)算得的电流密度分布如图3所示。

图3 线状电极-点电极激励的电流密度场Fig.3 The field of current density excited by linear-point electrodes

图3显示点电极附近比线状电极附近 的电流密度场衰减更快。这是合理的，因为线状电极上电荷的纵向分布使得电流在其附近的扩散区域更广。

5 结 语

以非齐次Helmholtz方程与阻抗边值条件可以建立时谐激励源在导电半无穷空间中产生的电流密度场模型。以Green函数法可将整个导电区域的电流密度场表为公式，这些公式仅在电极本身所处的区域具有奇异性。本文公式在ω=0的特殊情形与已知结果一致。另外，为求得运用Green函数法所必须的源分布，可用Ritz法极小化关于电荷密度的静电势能函数的变分，此法对于线状电极可以非常简单地实行。数值计算表明本文的混合方法可以方便地应用于可化为这类模型的实际问题中。

□

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