关于二阶多元偏微分方程特征问题研究型教学的一个实例剖析

管毅

摘要：研究型教学是各个高等院校都在积极尝试的教学模式，作者在讲授偏微分方程特征问题时，就二阶多元偏微分方程中的特征问题的一个教学实例，谈点自己就研究型教学的个人认识，供相关研究者参考。

关键词：特征方程；偏微分方程；研究型教学

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：：1674-9324（2017）11-0223-02

偏微分方程的特征问题是偏微分方程中最基本、最重要的概念之一，然而在关于特征问题的教学过程中，授课教师常常采取如下处理方式：一是特征方程或特征曲线（特征曲面）直接以定义形式给出，学生不能理解其中的思想，从而很难体会特征方程、特征曲线（特征曲面）的意义；二是二阶多元偏微分方程的特征问题相对于一阶偏微分方程以及二阶二元偏微分方程的特征问题来讲要复杂的多，学生理解起来也要困难很多，作者在多年的实际教学发现，老师通过适当的引导，学生以分组讨论的形式，通过类比的方法进行偏微分方程特征问题的教学，效果不错，下面介绍关于这一部分教学内容所展开的研究型教学的一个实例。

一、二阶多元的特征

为方便起见，对含有三个以上自变量的二阶线性方程进行讨论，其一般形式为：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）

其中系数a■，b■，c以及f为x■，x■，…，x■的已知函数，且在R■的某区域Ω内连续可微，且a■=a■.参见文献[1]—[4]。

（一）超平面的情形

考虑方程（1.1）在超平面的情形，若在该超平面上的函数值和该平面的外法线方向已知，不防设超平面方程为：S：x■=x■■

即为如下的cauchy问题：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）u■=φ■（x■，x■，…，x■） （1.2）？摇■■？摇=φ■（x■，x■，…，x■） （1.3）

类比前面讲过的一阶、二阶二元特征问题，能否唯一确定所有的二阶偏导数在超曲面S上的值？

经过学生的分组讨论，每个组基本都能给出正确答案，大致过程如下：

解：对方程（1.3）两边分别对变量x■，x■，…，x■求导，则有：

■■=■，i=1，2，…，n-1.

下面求■■=？

由方程（1.1）知：

a■■+2■a■■+■a■■+■b■■+cu=f.

根据条件（1.2）和（1.3）知：

在曲面S上，有：

a■■+2■a■■+■a■■+■b■■+cu=f.

显然当系数a■不为零时，■被唯一确定，否则，不能唯一确定。

（二）一般曲面的情形

考虑方程（1.1）在一般曲面的情况，设曲面方程为：S：G（x■，x■，…，x■）=0.若已知函数在曲面上的值和方向导数在曲面上的值，即如下的cauchy问题：

■a■■+■b■■+cu=f. （1.1）u■=φ■（x■，x■，…，x■） （1.2′）？摇■■？摇=φ■（x■，x■，…，x■） （1.3′）

1.问题。能否如超平面情形类似，求出二阶偏导数的在曲面上的值？方程的特征方程和特征曲面是什么？

类比超平面的情形，一般曲面直接求偏导数在曲面上的值较为困难，老师通过引导，提示学生可以考虑拉直变换，将曲面转化为超平面，从而将一般曲面的cauchy问题转化为超平面的cauchy问题，学生通过分组讨论，除个别小组还有些问题外，其余小组基本可以得到正确答案。

2.问题的答案。经过下组讨论，总结，问题基本解决，大致如下：

解：设p（x■■，…，x■■）是曲面上任意一点，且在P点有■（■）■≠0.，不防设■（x■■，x■■，…，x■■）≠0.，做拉直变换：ξ■=x■，ξ■=x■，……ξ■=x■，ξ■=G（x■，x■，…，x■）.

易知则该变换是可逆变换，原Cauchy问题转化为：A■■+2■A■■+■A■■+…=0.（1.1′）u■=φ■， （1.2″）？摇■ξ■=0=φ■. （1.3″）

与（1.1）的情形类似，在曲面ξ■=0上可求出除■外其余二阶偏导的值，为了求出■，只需要■的系数A■=■a■■■≠0.

故当A■=■a■■■≠0.，所有二阶偏导在曲面S上的值被唯一确定，此时称S为方程的非特征曲面。

若A■=■a■■■=0.，则不能唯一确定■的值.

对方程A■=■a■■■=0.两边同除（±■）■，则有：

■a■α■α■=0.（1.4）

称方程（1.4）为方程（1.1）的特征方程，其在点P（x■■，x■■，…，x■■）处的解为在P（x■■，x■■，…，x■■）处的特征方向。若曲面S上每一点的法向均为特征方向，则称S为方程（1.1）的特征曲面。

二、教学效果

本次研究型教学实施之后，关于特征问题学生在探究的过程中理解起来更加深入，激发了他们的学习热情和探究精神，教师通过设置合理而又关键的问题，让学生通过讨论、类比、归纳得出问题的答案，学生全程参与教学过程，在此过程中分析问题能力、归纳问题能力、合作学习的能力都得到了锻炼，这一教学方式让学生成为学习的主人，让学生体会到成功的喜悦，是一种比较有效的教学尝试。

参考文献：

[1]朱长江.偏微分课程研究型教学的一个实例剖析[J].数学教育学报，2014，23（1）.

[2]朱长江，邓引斌.偏微分方程教程[M].北京：科学出版社，2005.

[3]谷超豪，李大潜，陈恕行.数学物理方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]姜尚礼，陳亚浙，刘西桓，等.数学物理方程讲义（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1996.

An example of the Research-Based Teaching on Eigen Problem of Two Order Partial Differential Equations with more than Two Variables

GUAN Yi

（College of Mathematics and Information Science，Guiyang University，Guiyang 550005，China）

Abstract：Many courses were attempted to teach by the research-based teaching model in a large number of universities，I also made a little attempt on how to teach by research-based teaching model when i teach partial differential equations. In this paper，I will demonstrate the research-based teaching model by concrete examples about eigen problem of two order partial differential equations with more than two variables，In addition，I will present some opinions about research-based teaching mode for inference.

Key words：characteristic equations；partial differential equation；research-based teaching