APOS理论下的高中“说数学”

2017-03-09广东省广州市天河中学林海滨

卫星电视与宽带多媒体 2017年14期

广东省广州市天河中学林海滨

《普通高中数学课程标准》明确指出，要重视学生的数学交流能力的培养。“说数学”，顾名思义，就是让学生在学数学的过程中，通过语言与教师、与同学交流对所学知识的理解。随着新课程标准的实施，让学生“说数学”在数学课堂上已经不新鲜。但是，很多所谓的“说数学”其实就是“说解题”，在对数学理解起着至关重要作用的概念的教学中，很多教师都不知道该引导学生去说什么，沉闷的概念课让学生对本就抽象的数学概念的理解大打折扣，不少学生因为数学概念学不好，慢慢失去学习数学的兴趣。

事实上，数学概念也大有可“说”，想要让学生有说的内容，有说的契机，有说的兴趣，关键是教师要改变重解题、轻概念，重结论、轻过程，重讲授、轻探索的落后观念。本文将在APOS理论的框架下，结合教学实践，探讨高中数学概念课中如何让学生“说数学”。

一、APOS理论概述

APOS理论是美国数学家杜宾斯基等人提出一种建构主义学说。它将数学概念的获得分为“活动—过程一对象一图式”四个阶段。它强调在数学概念学习中，学生开展各种各样的数学活动，在活动中学生结合已有的知识和经验，通过思维运算和反省抽象，对概念具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。在这四个阶段中，学生有很多口头表达的机会，通过“说概念”，也能大大促进学生对概念的理解。

二、概念课如何“说数学”

1.说概念的形成

《普通高中数学课程标准》提出，数学概念的教学要经历直观感知、观察发现、类比猜想、抽象概括等过程。 APOS理论也强调学生在数学活动基础上形成数学概念。在开始学习概念时，教师应该根据所学概念的特点，提供多样化的感性材料，让学生在感性认识的基础上，通过积极的思维活动和学生之间的交流，最终上升为理性认识，并用严密规范的数学语言表达出概念。有时可以提供几组特例，如学习等差（等比）数列时，可提供多组不同类型的等差（等比）数列，让学生观察规律，并提炼概括出概念。有时可以让学生通过动手操作，如椭圆（双曲线、抛物线）概念的教学中，教师可组织学生进行数学实验，并让学生讨论，从而自行得出椭圆（双曲线、抛物线）的定义。学习几何概念时可以多提供实际模型和图形，如在“异面直线”概念的教学中，教师可让学生在教室里找出一些既不平行又不相交的直线，然后告诉学生这样的直线叫异面直线，接下来提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，经过反复修改补充后，得出准确严谨的定义：“我们把不同在任何一个平面内的直线叫异面直线”。

总之，教师在新概念的教学中千万不能用自己的活动代替学生的活动，更不能贪图方便，直接就给出定义，然后解释说明了事，而应该切实让学生经历概念的形成过程，并通过口头的表达，培养学生运用数学语言的能力。

2.说概念的本质

掌握概念贵在掌握概念的本质，运用概念解决数学问题的关键就在于是否掌握了概念的本质属性，如果对概念的本质理解得不准确或不全面，就会在数学学习中出现这样或者那样的问题，导致数学成绩不理想，影响了学习数学的自信心。因此APOS理论强调对“对象”精致化，使其成为一个具体的对象。但刚刚形成的概念对学生来说只是一种初步的形式，其实质的含义并不清晰，所以教学中需要教师提供丰富的变式，在师生积极的语言交流中让学生把概念的本质属性和非本质属性分开。例如学生通过一些实例知道函数是两个非空数集的一种对应关系，还需要通过现实生活中的一些图表和图象认识到表达函数的多种方法，需要通过由实际问题抽象出来的分段函数认识到不同的变量范围可以有不同的对应关系，需要通过y=2x 和s=2t 是否同一函数的辨析才能认识到函数的三要素，需要通过函数值（m是某个常数）、等的计算才能理解符号“ ”的含义，这些都构成了对函数概念理解的一部分，教师必须在这过程中注意有针对性的引导学生，与学生进行良好的互动，才能让学生不断升华对函数概念的理解。同时，教师也可以提出一些开放性的问题，让学生思考和讨论。比如在函数概念的学习中，教师可以问：“你能不能举一些不能画图象的函数”等问题。越多样的角度和渠道，越能加深学生对概念的理解程度，最后学生形成的概念图式越准确、越全面。

3.说概念的联系和区别

数学概念不是一个个孤立的个体，它们之间有着紧密的联系，因此数学概念的教学应该提供机会让学生把新的概念纳入到原有的概念体系中，从而形成综合的心理图式。如认识了递增数列、递减数列后，可让学生谈谈它们和函数单调性之间的关系，学完了双曲线的概念，可让学生谈谈它与椭圆的异同。

数学中许多概念具有一定的抽象性和相似性，使得学生对这些概念的理解容易产生混淆。例如频率与概率、映射与函数、对数与指数、子集与真子集、相互独立事件与互斥事件等。教师要引导学生讨论辨析这些概念的异同，说说它们之间的区别与联系，深刻理解这些概念。

4.说概念的应用

引导学生利用概念解决问题和发现概念在解决问题中的作用，是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固，以及解题能力的形成。这一环节如果能精选例题，让他们从不同的角度应用概念解决问题，并提供给他们发表个人解法的机会，对于学生思维的培养和学习兴趣的提高大有益处。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在说概念应用的过程中产生内心的体验和创造。