对人教版“充分条件”与“必要条件”定义给出方式的商榷

季伟松　屈黎明

【摘要】教科书中“充分条件”与“必要条件”的概念是直接给出的，学生即不理解为什么要提出“充分条件”与“必要条件”的概念，也没有经历概念形成的提炼过程，甚至对概念的表述也是一知半解，只能是死记硬背概念而不能灵活运用。本文通过创设情境，对教学进行精心设计，让学生体会概念的形成过程，体会概念的内容以及其名称的合理性，也算是一次对概念教学的尝试.

【关键词】概念的提出；概念的形成；概念的表述；教学设计

高中数学教科书《人教版A版选修21》中的“充分条件与必要条件”这一节对“充分条件”与“必要条件”的定义是按照如下方式给出的：

前面我们讨论了“若p ，则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题.例如，下面两个命题中：

（1）若x>a2+b2，则x>2ab，（2）若ab=0，则a=0，

命题（1）为真命题，命题（2）为假命题.一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.

上面的命题（1）是真命题，即x>a2+b2x>2ab，所以“x>a2+b2”是“x>2ab”

的充分条件，“x>2ab”是“x>a2+b2”的必要条件.

在平时的教学中，大部分教师基本上也是按照以上方式给出“充分条件”与“必要条件”的定义，少数教师略有改进，但大同小异.笔者以为，以上方式有诸多不妥之处，值得商榷.

1 为什么要提出“充分条件”与“必要条件”的概念——概念的提出

每一个概念的产生都有其自身的背景，有的背景比较简单，有的背景十分丰富.数学概念的产生大致有以下五种背景：（1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；（5）根据有理论上存在的可能性而提出.爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个更重要.因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步”.忽视对概念提出原因的教学将不利于学生创造力和科学钻研精神的培养，也不利于学生接受新知识.不少教师在概念教学中，完全忽视概念产生的背景，经常突如其来地告诉学生一个新概念.至于为什么要提出这个概念，学生缺乏心理和知识的准备，觉得一头雾水，让学生只知其然，不知其所以然.“充分条件与必要条件”的知识来源于《逻辑学》，《逻辑学》是关于思维规律的学说.有时我们说某个人讲话“没有逻辑”，人们在思考怎样使我们的表述具有逻辑性，并上升到理论高度对其进行研究时，就提出了“充分条件”与“必要条件”的概念.因此，为了让学生理解为什么要提出“充分条件”与“必要条件”的概念，我们可以创设实际生活中关于语言表达是否具有逻辑性的情境，使学生理解提出“充分条件”与“必要条件”概念的必要性.

2为什么要取“充分条件”与“必要条件”这样的名称——概念的形成

教科书中“充分条件”与“必要条件”的概念是直接给出的，学生没有经历概念形成的提炼过程，只感知到了冷冰冰的形式化的概念，不知道为什么pq，p就称为q的充分条件，q称为p的必要条件.有人可能会说这就是定义没什么为什么，如果我们这样给学生解释只能说我们是“庸师”，概念的内容以及其名称的给出肯定有其合理的原因，我们需要设置情境让学生理解其合理性，否则，学生只能是死记硬背概念而不会灵活运用.概念的形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念.“充分条件”与“必要条件”的概念其实质是描述条件對结论的制约程度.教师应该抓住这一实质创设情境，让学生体会概念的形成过程，体会概念的内容以及其名称的合理性.

3结论怎么又变成了条件，到底谁是条件，谁是结论——概念的表述

教科书“充分条件”与“必要条件”的概念是在一起定义的，显得简洁明了.但是，对于初学的学生而言极易引起混淆.他们对pq，p称为q的充分条件好理解，但q称为p的必要条件往往不能理解.因为在学生看来，pq明明p是条件，怎么q称为p的必要条件，q又变成了条件.事实上q作为条件是对“若p ，则q”的逆命题而言的.“若p ，则q”的逆命题为：“若q ，则p”.因为pq，即qp，所以q称为p的必要，但在学生初次接触概念时我们这样讲解，学生是极易引起混淆的，只会被越讲越糊涂.因此，笔者以为“充分条件”与“必要条件”的概念应通过两个命题引出，分开表述，条件就是条件，结论就是结论，不要在条件与结论之间转变.

针对以上三个方面的问题，笔者对“充分条件与必要条件”这一节的教学进行了精心的设计，该设计方案与传统方案有较大不同，也算是一次对概念教学的尝试，难免有不妥之处，请同行指正.本节课的重点与难点是概念的给出，因此，本文对概念的应用巩固，课堂小结等略去不述.

4 教学过程设计

4.1概念的提出

问题1：在日常生活中，有时我们会说某人说话没有逻辑，前言不搭后语，例如：“若甲的年龄比乙大，则甲是乙的父亲”.这句话“有逻辑”吗？它的条件和结论分别是什么？

问题2：当一句话没有逻辑时，是指什么？要使我们的表述具有逻辑性我们需要研究什么问题？

师：当一句话没有逻辑时，是指由条件无法保证结论成立.要使我们的表述具有逻辑性，我们需要研究命题的条件与结论的关系，这就是我们这节课要学习的“充分条件与必要条件”.事实上，前人很早以前就开始研究有关“逻辑”的问题.对“逻辑”的研究，最早可以追溯到古希腊的亚里士多德，经过后人的发展，现在已经发展为一门学科——《逻辑学》.到底命题的条件与结论具有哪些关系呢？我们一起来看下面的问题.

4.2概念的形成

师：前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题.一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作pq；“若p ，则q”为假命题，是指由p通过推理不能得出q.这时，我们就说，由p不能推出q，记作p≠>q.

问题3：对于一个一般的“若p ，则q”形式的命题，请用符号“”与“≠>”表示条件p与结论q之间的所有可能关系.

生：条件p与结论q之间有下列四种关系：

（1）pq，p<≠q；（2）p≠>q，pq；（3）pq，pq；（4）p≠>q，p<≠q

问题4：用以上p与q的四种关系填写下表：

问题5：思考以上命题（1）、（2）的条件p对保证结论q的成立所起的作用.

师：在命题（1）中，pq，也就是说条件p： 张三是高中生，有“足够”的理由保证结论q： 张三是中学生成立.在数学中，对于这里的“足够”人们习惯用它的同义词“充分”来称呼，因此，我们称p是q的充分条件.一般地，若pq，则称p是q的充分条件.

师：在命题（2）中，p≠>q，也就是说条件p没有充分的理由保证结论q成立，我们称p为q的不充分条件.

师：在命题（2）中，p≠>q，条件p没有充分的理由保证结论q成立，但是我们发现在命题（2）中，pq，这说明p与q之间应该是有一些逻辑联系的，条件p对结论q有着怎样的影响呢？

师：在命题（2）中，如果甲的年龄不比乙大，则甲一定不是乙的父亲，也就是说，“甲的年龄比乙大”是“甲是乙的父亲”成立所“必须”的条件.我们把这样的条件称为结论的必要条件，即，p是q的必要条件.一般地，若pq，则称p是q的必要条件.这里的“必要”是必不可少的意思.

师：在命题（1）中，p<≠q，能否称p是q的不必要条件呢？

师：在命题（1）中，“张三是高中生”不是“张三是中学生”所必不可少的条件，如“张三是初中生”也能得到“张三是中学生”.因此，我们称p是q的不必要条件.

师：综上分析知：一般地，若pq，则称p是q的充分条件；p≠>q，则称p为q的不充分条件；若pq，则称p是q的必要条件；p<≠q，则称p为q的不必要条件.

问题6：命题“若p ，则q”的条件p与结论q具有如下几组关系，请完成下表：

师：要使我们的表述具有逻辑性，一句话的条件p与结论q应具有怎样的关系？

生：条件p应是结论q的充分条件.

（概念的应用巩固，课堂小结等略去不述）

5教学反思

通过对“充分条件与必要条件”这节课的设计与思考，笔者对如何上好概念课有如下想法：

5.1用教材而不是教教材

“充分条件与必要条件”这是一节比较难上的概念课.在平时的教学中我们往往过多地依靠课本所提供的思路，在教学设计上难以有所突破，使得设计思路不符合学生的认知规律.教材往往把某一节的知识比较系统化、理论化地呈现出来.我们不能照本宣科，教师所要做的就是依靠教材，把这些生硬的知识通过自己的設计，生动浅显地呈现给学生.教材只是我们备课时参考的诸多素材中最主要的一种，我们要用教材而不是教教材.

5.2概念教学不可忽视的两个环节

一般认为，数学概念的教学要经历背景分析（概念的提出）、内涵提炼（概念的生成）、外延辨别（概念辨析）和实际运用几个环节.当前，概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式.在概念的背景引入上着墨不够，在概念的内涵提炼上，没有给学生提供充分的概括概念本质特征的机会.认为让学生直接记住概念，节省时间出来多做几道题目更实惠.很多教师都忽视了“概念的提出”与“概念的生成”这两个环节.这导致了教师的概念教学枯燥无味，学生对概念的学习死记硬背，不求甚解.学生在没有理解概念的情况下匆忙去解题，这使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的解法，一旦遇到新的题目就束手无策.笔者以为，“概念的提出”与“概念的生成”这两个环节是概念教学的“血”和“肉”，抽象的形式化的概念是概念教学的“骨”.在概念教学中没有了“血”和“肉”，只剩下“骨”当然就干瘪无味了.在概念教学中把“血”和“肉”与“骨”结合在一起，才能使我们的教学鲜活生动.另外，从培养学生的数学思想、探究意识、钻研精神、发现问题、提出问题的意识的角度来说，这两个环节更加重要.在数学发展的历程中，每一个概念的提出、概念的生成都经历了很长时间的积累，包涵着无数数学家的智慧，这里正是一个展示数学思想方法，数学家的钻研精神和睿智的好场所.因此，我们在进行概念教学设计时切不可忽视这两个环节.否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空.以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正.

作者简介季伟松（1975—），男，浙江宁海人，中学一级教师. 研究方向：数学教育.

屈黎明（1979—）， 男，湖北汉川人，中学一级教师. 研究方向：数学教育.