皮亚诺公理体系下的自然数运算（二）

文︳张新春

皮亚诺公理体系下的自然数运算（二）

文︳张新春

2.乘法

到现在为止，我们已经定义了自然数的加法，并讨论了有关加法的一些性质与定律。我们将在这一节讨论自然数的乘法。当然，首先得把乘法定义出来。我们能利用的只有自然数的加法以及相关的运算性质与定律。

乘法也是用归纳的方法定义的。说起来也简单，就是对任意的两个自然数m和n，我们都要规定n×m是什么意思（这里，我们已经在使用“×”了，即已经用n×m表示把n乘到m上了）。也可以这么说，对于任意的自然数n，我们要规定以下这些式子的意义：

n×0、n×1、n×2、n×3、n×4、n×5、n×6、…

因为自然数的个数是无限的，要逐个规定以上无穷多个式子的意义，我们只能利用数学归纳法。基本思路是，先直接规定上述第一个式子的意义，然后借助前一个式子的意义规定后一个式子的意义。如此下去，每一个式子的意义都规定出来了。下面，我们把上述分析写得稍稍严格一点。

定义1（自然数乘法）：设n是任意的自然数，我们规定n×0=0。设已经定义好了n×m，我们定义n×（m+）=n×m+n。

根据这个定义，有：

n×0=0，

n×1=n×0+n=0+n=n，

n×2=n×1+n=n+n，

n×3=n×2+n=n+n+n，

……

当然，也可以说，所谓定义乘法，即是对任意的自然数m，规定以下这些式子的意义：

0×m、1×m、2×m、3×m、4×m、5×m、6×m、…

这里使用归纳法，我们也可以这样定义乘法：

定义2（自然数乘法）：设m是任意的自然数，规定0×m=0。设已经定义好了n×m，我们定义（n+）×m=m+（n×m）。

根据这个定义：

0×m=0，

1×m=m+（0×m）=m，

2×m=m+（1×m）=m+m，

3×m=m+（2×m）=m+m+m，

……

就像加法是重复的“后继”一样，乘法是重复的加法。

定义1与定义2都是用归纳的语言说明n× m的意义，定义1是固定n，对m作归纳，而定义2则是固定m，对n作归纳。

应该说明的是，不论按定义1还是按定义2，n×m和m×n的意义是不同的。若按定义1，n×，若按定义2则恰好相反。

小学数学教学中，在引入乘法的意义时，并没有区分这两个算式的意义，是为了降低教学难度，减轻学生的负担。

以下是苏教版小学数学教材中引入乘法的部分：

其他小学数学教材采用的方法大体类似。这里采用的是模糊的处理办法：4个2相加，可以写成4×2或2×4，那么2个4相加，就可以写成2×4或4×2。也就是说，4×2可以表示2个4相加或4个2相加，2×4也可以表示2个4相加或4个2相加。于是4×2与2×4的意义就完全一样。我们把小学数学教材中关于乘法的定义一般化：n×m和m×n都可以表示n个m相加或m个n相加，从而意义一样。若作严格的分析，这样的规定有两个问题：首先，把n×m定义为n个m相加或m个n相加，首先就要解决n个m相加或m个n相加的和是否相等的问题。当然，这个问题由加法的性质得到保证。但即使是这样，也还是有第二个问题，即不符合数学定义的简洁性要求。同时，若引进乘法的意义时，规定n×m和m×n的意义是相同的，以后又让学生探究乘法是否具有交换律，即探究n×m的结果是否和m×n的结果相同。这在逻辑上是很荒唐的：意义都完全一样了，结果能不相同吗？

我们认为，学生学习乘法的负担并不在于是把2×4的意义规定为4个2相加还是规定为4个2相加或2个4相加，而在于当乘法的意义和基本性质、运算定律都明确之后，在解决某一个具体问题时，我们还机械地要求学生列式只能写成m×n而不能写成n×m。因此，除了把乘法的意义作一个模糊处理外，我们还可以有另外一种处理办法：首先明确规定乘法的意义（即规定m×n的唯一意义），到以后明确乘法的交换律后，再约定在解决具体问题时不再对两个因数的顺序作明确要求。

另外，小学数学教材中把乘法规定为几个相同加数的和的简便运算，这里需要补充两个定义，一是关于1的，a×1的意义是不能用加法说明的，即不能说a×1是“1个a相加”，于是，原来的大纲版教材中补充规定a×1=a；二是补充规定a×0=0。数学中经常有这类规定，需要强调的是，这类规定看似随意，其实是有其合理性的。比如，要保证乘法运算定律普遍正确，就必须规定a×1=a,a×0=0。以a×0为例，由乘法分配律，a×0+a×0=a×（0+0）=a×0，于是a×0=0。这就说明，如果不规定a×0=0，则乘法分配律就不能得到满足。

以下讨论乘法的运算定律。与证明加法交换律与结合律的方法完全类似，我们可以证明：

在此，我们不详细证明以上两个运算定律，只证明：

由于乘法满足交换律，我们只需证明上述等式中的一个即可。我们证明后一个，方法仍然是数学归纳法：固定a和b，对c用归纳法。

当c=0时，a×（b+0）=a×b，a×b+a×0=a×b，于是a×（b+0）=a×b+a×0，即c=0时，乘法分配律成立。

假设a×（b+c）=a×b+a×c，我们来证明a×（b+ c+）=a×b+a×c+。

根据加法的定义与加法的交换律，b+c+=（c+）+ b=（c+b）+=（b+c）+，于是a×（b+c+）=a×（b+c）+，根据乘法的定义，a×（b+c）+=a×（b+c）+a=a×b+a×c+ a=a×b+a×c+，这样就完成了归纳。

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