例谈直观想象能力

金玉明

摘 要：直观想象不等同于“数形结合”，是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路。

关键词：核心素养；直观想象；数形结合

数学学科核心素养主要包含以下六个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。华南师范大学数学科学院何小亚教授曾发题为《数学核心素养指标之反思》中，高屋建瓴，针对这六个方面逐一进行反思。其中对于第四条“直观想象”作如此反思：把“想象”去掉，这一指标的内容实际上就是“数形结合”。这一点作为一线教师的我感觉是否有失偏颇？

在对数学问题的认识过程中，我们经常需要借助一些实例进行分析，让学生经历由直观到抽象的过程，经历数学建模，解决问题。对这些实例的研究，笔者认为应当归为直观想象的范畴，这些内容却有可能与几何或者是数形结合并无关系。

一、三个实例，谈一谈直观想象核心素养不等价“数形结合”

实例（一）：镇江一中一节公开课的引入背景：“糖水加糖，糖水会变甜”这一现象说明了函数的一个什么性质？从本例中可以给学生一个直观想象，那就是当一个量在增大时，另一个量随之增大，从函数的性质来看就是函数单调递增。“如何用函数的性质表示这一现象”就是一个直观想象的过程。当然这个过程必须有一个完整的体系，那就是直观想象—特殊数学模型—一般数学模型。这应当可以看作研究一个事物的运动规律，在这个现实、直观的事物运动规律中并没有出现任何平面几何或者是立体几何图形。

实例（二）：教材中的背景材料：等比数列的引入常用的两个例子就是“细胞分裂”和“放射性元素的衰变”。这两个例子的出现给学生一个直观感受，并想象其后出现的项可能具有的特征。同样这样的想象过程也是遵循直观想象—特殊数学模型—一般数学模型这样一个建模的过程。这个例子也说明直观想象不一定与图形有关系，可能就是数的变化规律。

实例（三）：现实生活中的例子：侯振挺证明巴尔姆猜想（“排除论”中的著名猜想）：候车室望着排队上车的队伍，回想起研究的问题，突然神思飞跃，觉得一排长长的队伍变成一行行算式，这一个个人影都成了数学符号，一下子豁然开朗。这显然也不能说这就是数形结合的思想方法，但这却是直观想象的一种形式。

二、对三个实例中直观想象和数形结合区别的探究

由以上三个实例，让笔者深切感受了“直观想象”素养的各种形式，不只是“数形结合”思想方法，它同时还囊括了在空间中事物的位置关系、形态变化与运动规律等各方面，它蕴含了“数形结合”思想方法，同时也将其外延为一切规律的思考与探究。在以后的教学中，我们培养学生直观想象素养，看样子不只是数形结合，而是发掘从直观到抽象之间的事物本质联系。

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路。所以笔者认为，直观想象不等同于“数形结合”，或者说不只是“数形结合”。当然，数形结合也是直观想象的重要组成部分。

三、数学问题中直观想象的地位与作用

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。具体来说，就是由具体到抽象的能力。数学提出问题通常是因为某些问题得不到解决而发现的，这些背景材料可能是生活中的实例，特别是相邻学科研究过程中遇到了某些问题而发现的，比如，牛顿在研究物理问题时创造出了微积分；也有可能是数学问题本身就亟待解决的，比如，大数学家欧拉在微分方程、曲面微分几何等方面的研究。直观想象在这些问题的发现中至关重要，培养学生的直观想象能力也是培养学生数学敏感性和学习数学兴趣的重要手段。

四、如何培养学生的直观想象

借助教材中的背景材料培养学生的直观想象能力，应当是一个行之有效的办法，包括立体几何、解析几何、函数、向量中的几何背景以及集合、数列、复数等问题中的直观背景。对于教材中的背景材料，通常只会将其作为辅助的引入材料，忽视了其作为发现问题源头的重要作用。数学的提出问题、分析问题、解决问题的过程通常都会遵循规则：特殊实例—特殊数学模型— 一般数学模型— 一般数学方法这样一个步骤来研究，而特殊实例显然是问题的源头，也是问题提出的关键所在。我们在教学中一定要仔细研究背景材料的切入口以及与数学模型之间的关系，合理使用背景材料，引导学生从中发现数学规律和模型，从而解决问题。

参考文献：

何小亚.数学核心素养指标之反思[J].中学数学研究，2016（7）.

编辑 鲁翠红