分类例说双变量问题的求解策略

吴旭红

(江苏省常熟市中学，215500)

分类例说双变量问题的求解策略

吴旭红

(江苏省常熟市中学，215500)

一、单一函数类

1.恒成立问题

例1 已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时f(x)取得极值-2.

(1)求f(x)的单调区间和极大值;

(2)证明对任意x1,x2∈[-1,1],不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.

分析 本题是同一函数的最值问题,只需求出函数f(x)在[-1,1]上的最值(或范围),再由|f(x)max-f(x)min|<4着手即可.

2.零点问题

例2 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若a>b>c,且f(1)=0,试证明f(x)必有两个零点;

分析 本题第(2)问使用零点存在定理,用f(x1)·f(x2)与0的大小比较,学生往往无从下手,联想不到零点存在定理.

3.斜率等式型

例3 设函数f(x)=ax+sin x+cos x,若函数f(x)图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在A,B处的切线互相垂直,则实数a的取值范围是______.

函数f(x)在不同的两点A,B处的斜率

∴-1≤a≤1.

二、两个函数类

1.常规任意存在问题

常规任意存在问题,相对简单.不等式型基本规则如下:假如函数f(x),g(x)分别在其定义域M,N内最值存在,则

∀x1∈M,x2∈N,都有f(x1)≥g(x2),可得f(x)min≥g(x)max;

∀x1∈M,∃x2∈N,使f(x1)≥g(x2),可得f(x)min≥g(x)min;

∃x1∈M,∀x2∈N,使f(x1)≥g(x2),即f(x)max≥g(x)max;

∃x1∈M,x2∈N,使f(x1)≥g(x2),即f(x)max≥g(x)min.

此类问题学生掌握较好,弄清模式,在最值取不到或者不等号为“>”、“ <”时注意区间的端点是否取到,就可以解决问题.等式型问题理解上相对困难,需要理解存在为大(子集)原则.如:∀x1∈M,∃x2∈N,使f(x1)=g(x2)的解题策略为:若f(x)在M上值域为A,g(x)在N上值域为B,则A⊆B.类似于上述斜率等式型.

2.构造型任意性问题

(1)当a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;

(2)当a<0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;

分析 本题解决问题的关键是构造函数.对于(3)，不妨设0a(x2-x1).令h(x)=f(x)-ax,则h(x2)>h(x1)，问题转化为h′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.

初接触这类问题时,学生往往用导函数f′(x)>a处理,原因是他们对导函数和平均变化率的关系混淆,需要引导学生进行区别,学会等价转化.

3.构造型存在性问题

(1)求f(x)的单调区间;

(2)令g(x)=ax2-2ln x,则g(x)=1时有两个不同的根,求a的取值范围;

(3)存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|成立,求k的取值范围.

解 (1)(2)略.

(3)不妨设x1>x2>1,由(1)知x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减.

|f(x1)-f(x2)|≥k|ln x1-ln x2|

等价于f(x2)-f(x1)≥k(ln x1-ln x2)，

即 f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1，

也即存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,使f(x2)+kln x2≥f(x1)+kln x1成立.

本题的关键是构造函数.但由于不等号为“≥”,与例4不同,本题为不等式有解问题,需要注意不等号,区别于恒成立问题.亦可以先求反面,转化为恒成立问题.

三、综合应用类

1.与对数函数相关

例6 已知直线x-y-1=0为曲线f(x)=logax+b在点(1,f(1))处的一条切线.

(1)求a,b的值;

解 (1)略. a=e, b=0.

(2)先求出k1,k2(用x1,x2表示),探寻k1,k2两者的关系,然后结合基本不等式求解.

f(x)=ln x,

以下有两种处理方法：

∵t>1时,r′(t)>0,∴r(t)在[1,+∞)上单调递增,∴r(t)>r(1)=0,∴k2>k1.

2.与指数函数相关

解 (1)a>e2(过程略).

设g(s)=2s-(es-e-s),则g′(s)=2-(es+e-s)<0,∴g(s)是单调减函数,则有

又f ′(x)=ex-a是单调增函数,且

(3)依题意，有exi-axi+a=0,则a(xi-1)=exi>0，∴xi>1(i=1,2))，且

由直角三角形斜边的中线性质,可知

=0.

∴(a-1)(t-1)=2.

解析几何中的曲线上的两点问题也比较多,本质是点的双重身份,即既在这个曲线上,又在那条曲线(直线)上,亦即方程组的根,处理方法往往联立方程,或者用点差思想,本文不再赘述.

总之,双变量问题首先要让学生通过练习熟悉题型,在此基础上学习解题策略,再通过思考,归纳解决问题的方法：以单调性为背景,集合思想为原则,构造函数为桥梁,函数定义域为根本,等价转化为解题策略.