小组合作学习教学模式设计<br/>——以“椭圆及其标准方程”教学为例

小组合作学习教学模式设计
——以“椭圆及其标准方程”教学为例

2017-01-16陈刚

高中数学教与学 2016年24期

关键词：化简椭圆定义

陈刚

(陕西省西乡县第二中学，723500)

○教学研究○

小组合作学习教学模式设计
——以“椭圆及其标准方程”教学为例

陈刚

(陕西省西乡县第二中学，723500)

作为当代主流教学理论与策略之一的小组合作学习,它改变了原有传统讲授式的教学模式,让学生在问题情境中探索,在解决问题的过程中合作与交流,使得学生的学习过程更加生动活泼,更好地发挥学生的主动性和创造性．它不仅仅是一种学习方式,学习者在小组学习的环境里学会与他人互相交流合作.例如，彼此尊重、理解和宽容、表达、倾听和说服他人等等.这种学习方式能从根本上改善课堂的气氛,大面积提高学生的学业成绩,促进学生形成良好的非认知心理品质等．正是基于这一认知,小组合作学习成为中学课堂教学中的一大亮点．

虽然小组合作学习实现了中学数学教学模式的重大变革,但在具体的教学实践中,特别是在与每个学校具体实情相结合,每个教师在课堂具体的操作的过程中,又出现了一些新情况、新问题,这与小组合作学习的理论预期之间还存在着较大的差距．为了使小组合作学习能更好、更有效地促进高中数学课堂教学,笔者结合“椭圆及其标准方程”一节课的教学，就小组合作学习在高中数学教学实践中存在的问题进行了细致的研究和分析．

为了尽量规避小组合作学习在教学中出现的问题,结合小组合作学习的教学建议,在提取同组其他教师建议的基础上,编拟了高中数学小组合作学习课堂设计案例,并在日常教学中加以实践,收到了较好的教学效果．

一、教材及学情分析

本节课是北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程第一节椭圆的第一课时“椭圆及其标准方程”,是在学习完圆与圆的方程后又一种新的圆锥曲线；同时为后面抛物线和双曲线的学习奠定基础.因此，“椭圆及其标准方程”这节课起到了承上启下的重要作用．在这一章节中,我们将类比圆与圆的方程的学习过程和学习方法,继续用解析几何的思想探究椭圆的几何特征及其定义,建立椭圆的方程,进一步感受数形结合的基本思想．

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如数形结合思想、化归思想等．因此,教学时应重视体现数学的思想方法及价值．

根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．

二、教学目标分析

按照教学大纲的要求,根据教材分析和学情分析,确定如下教学目标:

(1)知识与技能目标.理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力．

(2)过程与方法目标.经历椭圆概念的产生过程,由形象到抽象,从具体到一般,掌握数学概念的数学本质,提高学生的归纳概括能力,进一步感知数形结合和解析法的思想．

(3)情感态度价值观目标.充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思,促进形成研究氛围和合作意识．

三、教学重点和难点

(1)教学重点.椭圆的定义及椭圆标准方程的推导.

(2)教学难点.椭圆标准方程的推导.

四、教法分析

新课程倡导学生自主学习、小组合作学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,按照“创设情境——学生实验——意义建构——形成理论——知识应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程；并以多媒体手段辅助教学,使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人.

五、教学过程设计

1.课前小组合作学习

学生活动内容分组目标成果展示小组困惑工具教师活动1．复习圆与圆的标准方程；2．列举生活中椭圆的例子．6人一组1．掌握圆的定义和圆标准方程的推导过程；2．感知解析几何的思想；3．感知数学与生活的联系，数学来源于生活．整理成纸质材料小组长记录课前对学生复习整理的相关材料进行检查，并评出质量较好的小组在班内通过投影仪展示

设计意图为本节课椭圆及其标准方程的学习奠定基础．

2.创设情境，提出问题

用圆柱状水杯盛半杯水,将水杯放在水平桌面上,截面为圆形；当端起水杯喝水时,水杯倾斜,再观察水平面,此时截面为椭圆形.看来,椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线.圆是到定点距离等于定长的点的轨迹,根据圆的定义,用一根细绳就可画出一个圆.将细绳的一贯固定在黑板上,在另一端系上一支粉笔,将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可.将圆心从一点“分裂”成两点,将细绳的两端固定在这两点,用粉笔挑起细绳并绷紧,移动粉笔,可画出什么图形?

设计意图激发学生的学习兴趣和探索欲望．

3.课中小组合作学习

学生活动内容分组目标成果展示小组困惑工具教师活动1．三人一组合作，在纸板上画一个椭圆；2．通过椭圆的形成过程，类比圆的定义，给出椭圆的定义；3．思考：作图过程中，两个图钉的位置是否可以任意选取？3人一组1．感知椭圆的形成过程；2．理解和掌握椭圆的定义；1．部分小组给出椭圆的定义，其他小组加以补充或改正；2．对活动内容中的3思考题展开小组之间的辩论．小组长记录细绳一段，图钉两枚，纸板一张1．参与各个小组的活动，在各小组之间巡视，并适时进行指导；2．对小组的辩论加以总结和概括，形成椭圆的概念．

设计意图一方面,在小组合作实验的过程中感知椭圆的形成过程;另一方面,通过小组之间的讨论使学生准确理解椭圆以及椭圆的焦点和焦距有关的概念,从而提升学生合作的探究能力以及数学概括、表达能力．

4.形成理论，建立数学

(1)椭圆定义的完善

提出问题:椭圆的定义中对于常数有没有要求?这个常数可以是任意正实数吗?

引导学生回答:在“定义”中需要加上“常数>|F1F2|”的限制；继续深化问题:若常数=|F1F2|或常数<|F1F2|,情况会发生什么变化?

以平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”为理论依据,得出结论:当常数=|F1F2|时,与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是线段F1F2;当常数<|F1F2|时,与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹不存在.

请学生给出经过修改的椭圆定义,教师用幻灯片给出完善的椭圆定义,并介绍焦点、焦距的定义.

说明这里的教学方式并没有采用小组合作学习形式,让学生进行小组讨论交流,而是借鉴了传统教学模式中的引导法和启发法,让每个学生能进行自主思考探究,使学生经历椭圆概念的完善过程,加深对椭圆本质的认识,逐渐养成严谨的科学作风．避免了小组合作学习流于形式,甚至成了个别数学优秀生展示的舞台,学困生的看台．

(2)椭圆的标准方程

(i)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤:建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐标化、化简、证明等价性．

(ii)建立焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

① 建系设点:观察椭圆的几何特征,如何建系能使方程更简洁?——利用椭圆的对称性特征.

以直线F1F2为x轴,以线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设焦距为2c(c>0),则F1(-c,0)，F2(c,0).设M(x,y)为椭圆上任意一点,点M与点F1、F2的距离之和为2a(2a>2c).

② 动点M满足的几何约束条件:

|MF1|+|MF2|=2a.

③ 坐标化:

④ 化简:化简椭圆方程是本节课的难点,突破难点的方法是引导学生思考如何去根号.

5.课中小组合作学习

活动内容分组目标成果展示学生困惑工具教师活动化简(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a6人一组掌握化简含根号的方法，提升学生的运算力，培养学生的钻研精神小组选取代表进行方法展示小组长记录1．参与各个小组的活动，在各小组之间巡视，并适时进行指导；2．对小组的辩论加以总结和概括，评出方法最优小组，得出焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

教师预想小组可能的化简方法:

(1)移项后两次平方法;

(2)用等差数列法:设