基于数学核心素养的教学设计——以“直线与圆的位置关系”为例

包东妹 戴静君

(江苏省锡山高级中学，214174)

基于数学核心素养的教学设计
——以“直线与圆的位置关系”为例

包东妹 戴静君

(江苏省锡山高级中学，214174)

本文笔者结合自身的工作实践和先进教育理念的学习谈谈对数学核心素养及基于核心素养的教学设计的认识．

数学核心素养是具有数学基本特征的适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质．普通高中《数学课程标准》(修订版)指出数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体．

基于数学核心素养的教学设计应以发展学生的数学核心素养为基本目标,创设有利于学生核心素养发展的教学情境,引导学生把握数学内容的本质,感悟数学的思想,落实“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验),提高“四能”(从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)．下面以“直线与圆的位置关系”为例,从教学目标的确定,教学过程的实施,和设计体会三个方面来阐述笔者对数学核心素养的理解．

一、教学目标的确定

教学目标是教学中师生所预期达到的教学效果和标准(布鲁姆),是教学的根本指向和核心任务,是教学设计的关键．教师可根据课程标准的解读、教材分析、学情分析,以学生为主体,聚焦核心素养来确立课时教学目标和单元教学目标．

本节课在目前高中数学教材中位于必修2的第二章,在修订版中位于选修1,要求进一步提升学生的数学核心素养．

1. 教材分析

本章是解析几何的初始部分,学好直线与圆,领会解析几何思想,可以为后续学习椭圆、双曲线、抛物线打下坚实的基础．在教学中,教师要引导学生经历下列过程(如图1),感受解析几何解决问题的一般方法:

由此可见,解析几何就是将“形”的问题转化为“数”的问题来解决,数形结合是本章的重要数学思想,而数的计算是能否得到正确答案的关键．所以在学习时,不仅要会将几何问题代数化,还要通过构造“形”来体会问题的本质,开拓思路,选择合理有效的算法,简化运算．

2. 学情分析

学生在初中已经学过直线和圆的图形表示,本节课是利用高中所学的方程来研究两者的位置关系,即应用新的知识或新的方法来解决原来的问题.这是一个从旧知中发现和提出新问题的好素材,也是提高分析和解决问题能力的好时机．鉴于笔者所在学校的生源较好,在教学中应多创造让学生提问的机会,给学生充分的思考时间和独立解决问题的空间,努力促进数学核心素养的形成和发展．本章主要提升数学运算、直观想象和逻辑推理三大数学核心素养．

3. 课程标准的要求

普通高中《数学课程标准》(修订版)对本章的教学要求是:

①回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程;

②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系;

③能用直线与圆的方程解决一些简单的问题．

4. 教学目标

《数学课程标准》(修订版)对每一个数学核心素养都是通过“情境与问题”、“知识与技能”、“思维与表达”、“交流与反思”这四个方面来表述．结合上述解读,通过目标分解的方法,将本节课的教学目标确定如下:

(1)问题与情境:学生根据想象和构建图形,说出直线和圆的位置关系,对于给定的直线和圆的方程,学生能概述方程组的解与位置关系之间的对应情况.

(2)知识与技能:学生由方程组能熟练求出直线与圆的交点坐标;会通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断直线和圆的位置关系.

(3)思维与表达:在观察和交流中,通过直观想象提出与直线和圆有关的数学问题,能够借助图形探索解决问题的思路,形成数形结合的思想,体会几何直观的作用和意义;能用准确的数学语言表达形与数之间的关系,归纳出求弦长、切线长、切线方程等的基本方法.

(4)交流与反思:在师生交流、生生交流中体会用代数方法求解几何问题的一般过程;通过交流和反思比较不同解法的优劣,并选择最优解法．

5.教学重难点

教学重点:用代数方法判断直线与圆的位置关系,求解与弦长、切线长、切线方程等有关的问题．

教学难点:从形到数和从数到形的灵活转化及方法的选择．

二、教学过程

教学是基于知识并通过知识的学习来提升人的素养的一种教育活动,教学应该是意味深长、影响广远的,不仅要让学生收获丰富的知识、熟练的技能,也要让学生得到方法的领悟、思想的启迪、情感的熏陶和精神的提升．所以在进行教学设计时,需以课程思想为主线,整合教材资源,在熟稔把握教材内容的基础上进行必要的整合,在解构之后进行教材重构,以寻找更顺畅新颖的教学路径．

1. 问题情境

同学们,我们知道点、直线、圆是平面内最基本的图形,那么:

问题1 点与圆有哪些位置关系?如何判定?

问题2 直线与圆有哪些位置关系?如何判定?若已知直线的方程和圆的方程,则方程组解的个数与上述位置关系有怎样的对应关系?

设计意图 由简单的点与圆入手,寻找最近发展区,通过类比,迁移到直线与圆,学生易联想到用圆心到直线的距离与半径比较大小,从而转化为方程来研究,实现从“形”到“数”的一次转化．这两个问题是促进和发展直观想象核心素养的．

2. 意义建构

(1) 一个对应:直线和圆的公共点,既满足直线方程又满足圆的方程;反之,以方程组的解为坐标的点必是直线和圆的公共点．

(2) 两个判定:

直线与圆的位置关系及方程组解的判定.

设计意图 将学生通过思考与交流获得的正确结论用图表表示,数形并茂,深化认识．这是对直观想象的具体表示,也是逻辑推理中的等价转化和数学运算中的寻求算法的过程,所以是数学核心素养的综合体现．

3. 举例与探究

例1 已知直线l:4x+3y=40和圆C:x2+y2=100.

(1)判断直线l和圆C的位置关系;

(2)求直线l和圆C的公共点坐标．

设计意图 与书上例题相比,这里将两个问题调换顺序,目的有二:其一,先判断位置关系的入口宽一点,学生可以通过求圆心到直线的距离进行判断(以下称为方法1),也可以联立方程组判断Δ(以下称为方法2),并通过比较归纳不同方法的优劣,若先求交点就把方法狭隘了;其二,只有相交或相切才有公共点,判断了位置关系再求交点比较合理,考虑到两问都要求解,那么联立方程组是必经之路,解方程组也是解析几何中必须掌握的运算能力．

问题3 一条直线与一个圆相交,除了例1所示问题外你还能提出什么问题?你能将它应用到例1吗?

设计意图 这个问题也可以直接由老师在例1上加第三问:(3)求直线l被圆C截得的弦长．但是,由学生主动提出问题,并产生主动探究的倾向,对提高学生主动学习的积极性,发展学生的自主学习研究能力,有着非常重要的意义．在老师的启发引导下,学生还是比较容易联想到弦长,但对求弦长又会有不同的方法,这也是一个引发讨论和比较的好契机．

问题4 限定直线满足的一个条件(如下),将直线动起来,你能就求直线方程设置哪些问题?(提示:可以从相交、相切、相离这三种不同的位置关系入手)

(2)若直线过点A(10,5).

设计意图 荷兰数学教育家弗莱登塔尔说过:“学习数学的唯一正确方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学习的知识发现或创造出来．”教师的任务就是引导和帮助学生去进行这种“再创造”,而不是把现成的知识灌输给学生．问题4是一个更加开放的问题,更能体现学生发现和提出问题的能力．放手让学生去做,他们会让你有更多的惊喜．教师可以作一些题型准备(如下),根据学生的思维和反应作出不同程度的提示．学生可能提出的问题会类似于题组中的类型,纵使不是大多数学生都能提问,也不是每个类型都能涉及,或学生的思维会跳出教师的预设,也没有关系,让学生穷其所思,畅所欲言,因为只有给他们舞台,才会有更好的发挥．

题组1

题组2

(i)过点A(10,5)作直线与圆C:x2+y2=100相交,所得弦长为8,求直线方程；

(ii) 过点A(10,5)作直线与圆C:x2+y2=100相切,求切线方程和切线长；

(iii) 过点A(10,5)作直线与圆C:x2+y2=100有两个交点,求直线斜率的取值范围；

(iv) 过点A(10,5)作直线,使圆C:x2+y2=100上恰有1个点到直线的距离等于11,求直线方程．

4. 巩固与提升

选择题组1(i)和题组2(ii),由学生小组讨论,比较不同思路的简洁性,让学生板演过程．

辨析两组题的不同,关注直线方程的注意点．

在时间充足的情况下,其余类型或学生其他的想法也可以拿出来讨论,或者给学生练习,也可以留作课后去钻研和思考．

设计意图 叶澜教授说:“课堂应是向未知方向挺进的旅程……而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程．”在数学教学中要善于洞察“意外”,捕捉“美丽”．课堂也不一定是完整的,适当向课外延伸可以激发学生的学习热情,培养自主学习和深度学习的习惯．通过巩固与提升,不仅找到合适的方法,更能求出正确答案,可以发展学生的数学运算和逻辑推理的核心素养．

5.小结与反思

(1) 通过本节课的学习你会解决哪些问题?

(2) 这堂课你最深刻的感受是什么?

设计意图 小结与反思是学习数学的一种好的习惯,它能去伪存真,帮助学生积累更多经验,储备更多的解题方法,并在各种途径中作出合理的选择．

三、设计体会

基于数学核心素养的教学设计应具备以下特征:

1. 有较高的教学立意

教学设计的立意高低直接影响到数学课程的实施水平,关乎到数学在培养学生的思维方面究竟能发挥多少程度的作用.教学设计应从数学课程特征,从数学培养学生理性思维的功能等方面着眼,把数学思想、数学方法作为教学设计的核心和主线,这样的数学课才可能上得有数学味.

2. 有较强的问题意识

课堂不是教师表演的场所,而是师生之间交往、互动的场所;课堂不是对学生进行训练的场所,而是引导学生发展的场所;课堂不只是传授知识的场所,而且更应该是探究知识的场所． 数学教学是数学活动的教学,从本质上说,数学活动是一种思维活动,而数学思维活动又集中地表现为提出问题和解决问题的过程．因此,从某种意义上说,数学教学设计就是问题的设计．数学教学设计的中心任务就是要设计出一个(一组)问题,从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程,让学生在解决问题的过程中“做数学”,学数学,增长知识,发展能力．

3. 有生成的预想和空间

电影是一门遗憾的艺术,因为不可能重拍,建筑是一门遗憾的艺术,因为不可能重建,教学也永远是一门遗憾的艺术,教学设计永远只是一种对教学过程的预期,而实际的教学活动则永远是个谜,只有发生了才会知道结果,这或许是教学的魅力所在．教学设计中要充分考虑学生的可能想法,给学生足够生成的空间,教师才能灵活应对课堂的“突发事件”,做到掌舵方向,游刃有余．

总而言之,基于数学核心素养的教学设计应有明确的围绕核心素养制定的教学目标,有促进核心素养形成和发展的教学过程,有检验核心素养落实程度的评价标准．基于数学核心素养的教学过程应让学生学会提问,学会交流,变“学会”为“会学”．