试论高中导数学习的教育价值

李慧娟 傅海伦 权 奎

(山东师范大学数学科学学院,250014)

○数学教育○

试论高中导数学习的教育价值

李慧娟 傅海伦 权 奎

(山东师范大学数学科学学院,250014)

2014年3月,教育部印发了《关于全面深化课程改革、落实立德树人根本任务的意见》,提出了“核心素养”概念,为进一步深化课程改革指明了方向．所谓“核心素养”指的就是那些一经习得便与个体生活、生命不可剥离的、并且具有较高的稳定性、有可能伴随一生的素养．导数作为微积分的核心概念之一,是初等数学与高等数学的衔接桥梁,是高等数学在中学的渗透．虽然导数在高等数学中会进一步深入学习,但是将这部分内容下放到中学对于学生的综合发展是有一定意义的．这不但符合教材编排的循序渐进、螺旋上升的原则,而且对于学生核心素养的培养具有重要的意义．

导数作为高中选修课程的一部分,也是高考的必考内容之一,其教育价值引起了众多学者或一线教师的关注.其实，导数不只是一个新的概念,更是一种解决问题的方法.本文以高考数学有关导数试题为例,说明了导数作为工具在分析和解决一些问题上的优越性，并在此基础上进一步介绍导数学习的教育价值所在．

一、对高中导数教学目标的认识

导数是“导数及其应用”这一章的主要组成部分,也是学习定积分和微积分基本定理的基础.该部分的课程目标为:学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用．通过本部分的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值．

传统的导数课程内容结构遵循“数列——数列的极限——函数的极限——函数的连续——导数——导数的应用”的顺序,这种设计具有严密的逻辑结构,是数学的学术形态,是高等数学微积分课程设计的“缩编”．数学知识是一个庞大的具有严密逻辑的体系,我们看到的是其学术形态,学习到的是前人的研究成果,而其发展的艰巨性和不断改进的过程是易被忽略的．导数的概念虽然是通过极限来定义的,但是高中阶段并没有学习极限的严格定义,因此在教学过程中为了学生的直观感知,需要结合学生的实际情况将数学的学术形态转化为符合实际的教育形态,并通过大量的实例来理解导数的概念,感受导数概念的形成过程．

导数具有广泛的应用性,在理解导数的基础上需进行灵活的运用．在教学中,要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想价值．

二、数学辩证思维能力的培养

导数概念是教学的重点,也是难点所在.已有的研究表明,学生对导数概念的认识存在认知上的困难,因此对于概念教学引起了广泛的关注．导数这一新的概念较之前已学概念存在很大的不同,其中蕴含了丰富的运动辩证、对立统一的思想方法,体现了思维的辩证性,是一种以变化发展视角认识事物的思维方式．高中生的逻辑思维虽然已达到一定的水平,但是与逻辑思维相对立的辩证思维能力仍有待提高,它们对于运动变化、对立统一的认识是非常朦胧的．将导数下放到中学有利于培养学生的辩证思维能力,促进思维发展的严密性与灵活性．

从物理学角度来看,导数是变化率的极限形式．导数的引入借助于大量直观的生活情境,以变速直线运动为例,从熟悉的平均速度开始,不断缩小时间间隔.在这个过程中,相应的平均速度会产生相应的变化,是一个不断产生量变的过程．当时间间隔变得越来越小,逐渐逼近某一时刻时,平均速度不断接近一个定值,而这个定值就是在某一时刻的速度,即瞬时速度,已不再是平均速度了,这便产生了质的飞跃,发生了质变．但瞬时速度和平均速度是相互联系,相互依存的,瞬时速度是平均速度的极限形式,体现了对立统一的规律．将物理现象中的不同变化快慢问题加以抽象,便成了数学上研究函数变化快慢的问题了,即从平均变化率到瞬时变化率是一个由量变引发质变的过程,瞬时变化率即为导数.用数学形式化的语言加以定义为:

一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

通过以上分析,可以看出导数概念具有双重性,既表示一种过程,看作计算规则；又表示一种结果,某时刻、某点的状态．因此需要用辩证思维的方式来认识导数．

三、数学工具与应用性价值

1.对函数性质的描述

函数是对客观事物变化状态的描述,从常量数学到变量数学的转变,是从对函数的系统学习开始的．而导数是研究函数的工具,可以描述函数的变化快慢．对于基本初等函数,可以借助函数图象来直观观察函数的变化状态,或根据单调性的定义来求单调区间．但对于比较复杂的函数,徒手直接画出图象是比较困难的,如果利用单调性的定义,在计算上会比较麻烦,不容易得出结论．此时导数是研究函数变化的重要工具,通过借助导数进行分析,可以大体了解函数的变化状态,比如增减性、极值、最值等．教师应引导学生在解决具体问题的过程中,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．

从另一方面来说,导函数也是函数,前面已定义了函数在一点处的导数,当x变化时,f ′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(derivative function)(简称导数)．y=f(x)的导函数有时也记作y′,即

当函数的导函数仍然是复杂函数时,可以再次求导,借助导函数的导数,以原函数的导数为中介来研究原函数的性质．

2.数学问题解决的工具价值

问题解决不仅是对知识学习的检验,而且也是学习的一种方式．应试教育遭到批判,但并不意味着拒绝一切测试,事实上，测试也是检验学生学习结果的一种重要方式,当然并不是唯一方式．在高考中,导数是必考内容,也是难点所在．因此问题解决成为导数学习的目的,这是众多教师存在的误区,只关注程序性的数学知识,注重利用导数解题的步骤,而忽视了对导数概念的认知．

导数处于知识的交汇口,与各个模块的知识存在联系,如函数、数列、解析几何、三角函数、向量、不等式证明等.尤其在高考中,题目的综合性更加显著,对导数的运用要求更高．与导数有关的题目可以大体分为两类:一类是给定函数表达式f(x);另一类是没有明确的函数表达式,比如证明不等式等．对于给定函数表达式,研究函数的单调区间、求曲线的切线、已知单调性求参数的范围、证明与函数有关的不等式等这类题目,目标是比较明确的,需借助导数的相关知识,首先确定定义域,然后对给定函数求导,利用导数研究问题的答案．而对于没有给定函数表达式的题目,可能存在多种解决方法,导数法是比较隐蔽的,不容易想到的．如下面的例子：

例1 已知a，b是正整数,且1

(1+a)b>(1+b)a．

分析 虽然题目为证明不等式,未出现函数,但是通过变形构造函数可以使解决方案简单明了．原不等式等价于

原问题转化为证明f(a)>f(b)．

3.解实际优化问题的应用价值

导数作为微积分的核心概念,已被广泛应用于物理、天文、经济、工业、工程以及日常生活等多个领域,如生产利润问题、资源合理利用分配问题、器具制造问题等．所谓实际优化问题,指与实际问题相结合,给予一定实际背景,求其最值、最优的题目．对于这类题目,实际上就是数学建模的过程．通过对题目的分析,舍弃无关因素,抓住题目的关键信息,构建恰当的函数解析式,进而利用导数的知识对函数进行分析,并结合实际情况,给出最终的方案．解决这类题目需要各方面的综合知识,需要注意的是,一定要结合问题情境及其隐含的限制条件,比如题目中的研究对象是人数、机器数量、车的辆数等等,一定注意定义域为非负整数．

四、数学思想方法的教育价值

数学思想方法比纯形式化的数学知识更重要,前者比后者更具有普遍性．如果说数学知识是数学的“躯体”,数学方法是数学的“行为准则”的话,那么,数学思想无疑就是数学的“灵魂”．数学思想方法的掌握有利于知识学习的迁移和思维的创新．导数这一模块中,形式化的数学知识中蕴含了丰富的数学思想方法,如数形结合思想、运动与变化的思想、分类思想、最优化思想、极限思想和模型思想，等等.在教学中让学生体会导数的思想及其内涵是课程标准的需要,也是学生发展的需要．

数形结合思想是研究函数的重要方法,将图形的直观与代数符号的精确表达相结合,加深了对函数及其性质的认识．导数概念不仅通过形式化的符号语言给出了定义,而且从图象上的割线逐渐逼近切线的过程来解释其几何意义,加深对导数这一抽象概念的认识．

运动与变化思想、极限思想体现在导数概念的形成过程中．由平均变化率到瞬时变化率、由割线到切线,分别从符号语言角度和几何角度体现了运动与变化的过程,最终通过无限逼近到某一点,得出导数的概念．

最优化思想贯穿于导数应用的全过程,无论是单纯的解决纯数学问题还是生活实际问题,都离不开最优化思想．在解决这些实际问题时,需忽略无关因素,考虑主要因素,建立恰当的数学模型,对模型进行研究,并最终将结果回归到实际问题中，找出最优的方案．

在解决含参数导数问题时,尤其是与单调区间相结合的问题,分类讨论是一种重要的思想方法．由于参数的不确定性,就需要综合考虑各种因素,遵循一定的原则,进行分情况讨论．分类讨论从理论上来说是一种比较简单的思想方法,但是在真正的实际应用中,却存在一定的困难,已引起广大一线教师的关注．分类讨论存在于不同题型和知识模块中,但都遵循同样的原则:对象确定、标准统一、不重不漏、分清层次、逐级讨论．在导数问题中，分类讨论一般遵循以下几个依据:一是依据极值点与给定区间的位置关系;二是依据两根的大小关系;三是依据判别式;四是依据根是否在定义域内．在应用过程中一定要注意分类标准的统一,否则会造成混乱．(本文为教育部重点课题——“数学史应用于数学教育的方法论研究(DHA130273)”、中国学位与研究生教育学会课题——《全日制教育硕士(数学)专业学位研究生课程教学创新体系建设研究》(2015Y0502)及山东师范大学教育硕士示范课程“中小学数学课程与教材分析”成果之一．)