注重学生数学解题的通性通法训练

☉陕西省咸阳师范学院基础教育课程中心 安振平☉西藏民族大学附属中学数学教研组 袁义东

注重学生数学解题的通性通法训练

☉陕西省咸阳师范学院基础教育课程中心 安振平☉西藏民族大学附属中学数学教研组 袁义东

通性通法是指具有某些普遍意义的规律性的常规解题模式和常用数学思想方法.高考数学重视考查核心的知识和具有普遍意义的思维方法.例如，从方程组出发，通过代入消元，获得一元方程；画函数图像或方程曲线，显示几何直观；移项、分解因式、配方、分类讨论、构造函数等代数变形.读者在学习解题的过程中要对这些普遍性的思想方法进行概括、提炼和总结，不断地在具体解题活动中深入回味和深度感悟，逐渐积累形成自己的解题风格.

高考命题的一个基本原则就是突出核心数学思想，淡化特殊解题技巧，尽管某些数学问题有多种甚至有十多种解答途径，但相对读者而言，这些解法中具有普遍意义的用于考试的通性解法也就一二种，更多的解法是针对具体题目的特殊方法，这些非通性的特法，在高考复习中应当特别注意淡化，以便腾出更多的学习时间，抓住数学本质，关注核心概念和通性通法，使得数学的学习更容易些.

如下问题是文1、文2中探究的话题，延续章建跃博士的思考，谈谈笔者的一些想法.

问题（2011年重庆高考理科第7题）已知a，b>0，a+b=2，则最小值是（ ）.

这是关于二元的条件最值探求问题，应用代入方法，可以实现化“二元”为“一元”，体现“化多为少”的转化策略.

方法1：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

这里用求导数来研究函数最值属于通法，是一种程序性的解答，但要在读者学习了导数知识之后，才可以应用呀！如果读者没有学习导数知识，那么对该题目的解答，它有哪些通性通法呢？

方法2：由a+b=2，得b=2-a，代入消元，有

这是关于a的函数，若读者没有学过导数知识，不用求导能解答吗？

因为a是实数，所以方程（*）有实数根，于是，其判别式（3-2y）2-8y≥0，即4y2-20y+9≥0，解得

显然，方法2是要求读者具备初中知识就可解答的通法.通法要看读者的知识贮备，要看读者已经掌握了哪些知识，有哪些解题经验.

如上的解答体现了解出一个字母后，再代入消元，实现将二元化归为一元的消元方法，试问，不用消元，还有其他通性通法吗？

显然，问题解答的焦点在于如何运用条件a+b=2，实现解题过程的化归与转化.

方法3：由条件等式a+b=2，把函数式变形为展开后，你会发现，基本不等式呼之于出，思维是流淌出来的.下略.

需要指出的是，基本不等式是高中数学必修5的内容，上述巧妙应用条件，也是有思维对接的“基底”，这是不是通法呢？命题人想考查的解答也许就是该解法吧.笔者以为“通法”和“特技”有时是相对的，教学中重视通法，淡化特技是值得大力提倡、探究和思考的.

数学是思维的体操，在数学的学习和解题过程中逻辑推理起着主导作用，读者在探究解题时要更多地注重代数推理、几何直观，以及在化归转化过程中的具有普遍意义和广泛迁移性的那些策略性知识，更多地重视思考问题变更中的“开窍点”是什么，“转化点”是什么，思维“受阻点”在哪里，善于想想为什么要这样进行变形和推理，不这样变形行吗？还有其他解答通道吗？提炼反映数学本质的东西.学习数学解题就意味着掌握基本题的通用解法.

1.章建跃.注重通性通法才是好数学教学［J］.中小学数学（高中版），2011（11）.

2.查正开.“零次化”解2011年高考题［J］.中小学数学（高中版），2011（11）.