法国初中数学教材特点剖析及启示

张玉环，吴立宝，曹一鸣



法国初中数学教材特点剖析及启示

张玉环1，吴立宝2，曹一鸣3

（1．河南大学数学与统计学院，河南开封 475004；2．天津师范大学教师教育学院，天津 300387；3．北京师范大学数学科学学院，北京 100875）

法国数学教育比较优秀，数学教材是数学教育的重要载体，但国内对法国数学教材的研究比较少．首先介绍法国的教育体制，然后通过实例，对使用比较广泛的法国初中数学教材进行剖析．法国初中数学教材对中国教育工作者的启示：注重“低起点，小步子”；讲究直观实验与严谨推理相结合；注重分层教学；合理设计课前准备活动、课后活动．研究对中国初中数学教材的发展及数学教学改革具有一定的参考价值与意义．

法国；初中；数学教材；特点

1 问题提出

法国产生过笛卡尔、费马、庞加莱，还有埃菲尔塔上72位法兰西科学、工程精英里的拉格朗日、柯西、拉普拉斯、傅里叶等著名数学大师．这要得益于法国优秀的基础数学教育．蔡元培先生认为：在世界各国之中，法国文化与中国最相契合[1]．所以研究法国数学的基础教育颇有意义．特别地，数学教材是数学教育的重要依据．

但是近年来国内对法国数学教材的研究比较少．比如蒲淑萍（2012）介绍了法国中学数学教材的特色．如：以现代数学内容及方法为统领；注意与多学科联系，突出数学的文化价值和应用意识；以实验、探究等活动方式展示“活生生的数学”，等[2]，这对中国中学数学教材编写具有一定的启示作用．但该介绍比较宏观，没有具体分析教材的编排特点等．汪晓勤、蒲淑萍等研究了法国数学教材中的数学史，比如文献[3]．沈春辉对中法高中数学教材中的数学文化进行了比较研究[4]，等等．初中是基础教育的重要阶段，因此，这里通过典型实例及量化分析的方法详细剖析法国初中数学教材的特点，并总结对中国数学教育的启示．

法国基础教育介绍．法国从1959年开始实行6~16岁的义务教育．学前教育一般从2~3岁开始，儿童被送入幼儿园学习4年左右．小学5年：CP（预科）、CE1、CE2（初级课程）、CM1、CM2（中等课程）．目前小学被分为两大环节：基础学习（CP-CE1）与巩固期（CE2-CM1 & 2）．中等教育为7年，从六年级到结业班．分为两个阶段：college （初中，4年）和lycee（高中，3或4年）．在高中的最后，学生参加全国考试Baccalaureat，不仅是检测他们中学学习情况的考试，而且是进入大学的资格考试[4~5]．法国保持相对集中和人人接受平等服务的理念，每个孩子都要上完初中．

2 研究对象：教材和年级的选择

法国中小学的教学大纲由法国教育部统一制定，无论是公立学校还是私立学校都采用全国统一的课程．各个学校没有统一的教材，教师讨论决定选用何种教材．教材在编写、出版、发行过程中有一套非常严格的制度．

Sesamath是1901年成立的法国社会团体，其大部分成员是经验丰富、知识渊博的数学教师们，他们对中小学数学教材的贡献得到了很好的信誉，并且跟Generation5与Magnard两大出版公司合作出版教材．这里选择研究Sesamath与Generation5合作出版的初中教材[6~9]．本版教材集合了信誉、新课标、现代信息技术、新思想等于一身，在网络平台上完全开放，迎合了现代社会的发展，影响越来越大，在法国教材界占有一席之地．这4本教材都配套有练习册，并且网站上有许多软件工具操作、实施的案例等．

法国小学5年，初中4年，高中3年．为方便与中国教材比较，选法国初中的后3年来研究，即5e（初二）、4e（初三）、3e（初四），分别对应中国的7年级、8年级、9年级，3本教材的封面见图1．并且以“三角形”、“方程”、“统计”这3块内容为主要研究对象．

图1 法国教材封面

3 实例剖析法国教材的编排特点

法国教材每一章节的讲解，编排顺序为：问题的引入→准备活动（Active）→定理、命题的呈现（Method）→例题、习题→课后活动→本章小结→娱乐数学（Recreation mathematics）．下面通过实例进行剖析．

3.1 问题引入

人们常说“良好的开端等于成功的一半”，比较好的问题引入，能够吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生有准备地进入新课程学习．法国教材每一章的首页一般会通过一个或两个小问题，引入本章所研究的内容．

案例1：9年级“泰勒斯定理”这一章的导入问题见图2，其中上侧是教科书原文，下侧是对应的中文翻译．

图2 “泰勒斯定理”的导入问题

3.2 准备活动（Active）

一系列的准备活动（Active）拉开了正文的序幕．这些准备活动是由层层推进、环环相扣的小问题组成的，这样就共同组成了问题构成的探究发现过程．具体操作形式：实施小组活动对问题合作探究，或使用软件工具让学生对问题有直观认识，然后引导学生给出部分问题的严谨证明（过难的不给证明）．

案例2：8年级“三角形与平行”这一章“三角形和中位线”的活动，见图3和图4．

图3 “三角形与中位线”的法国教材原文

该案例的是由两部分组成，第一部分有3个小问题，引导学生利用软件探究，直观了解三角形中位线的性质；第二部分有5个小问题，一步一步地引导学生给出中位线的证明．此即直观实验与严谨推理相结合．并且整个过程注重让学生亲身体验与感悟，而不是被动地接受．

3.3 “定义”“定理”“命题”等内容的呈现（Method）

法国教材中的正文并没有明确分出小节．每一章先列出准备活动，然后依次讲相应的概念、法则等．例题分排在相应的概念、法则后面．教师根据教学情况及学生的反应来确定如何分配课时．

3.4 例题和习题的设置

例题设置方面．法国初中教材中的例题解答较为详细具体．大部分例题的解答被分成两侧，左侧是具体的计算步骤，右侧是相应的原理说明．

图4 “三角形与中位线”中文翻译

案例3：9年级“三角学”这一章，“计算边长”的例题见图5、图6．

图5 “计算边长”的法国教材原文

习题设置方面．主题内容讲完后，是课堂练习与课后练习，其中课堂练习基本仿照例题来做．法国教材习题设置相对较多，且层次比较明显，基本按照从易到难的顺序排列．法国习题的主要功能，一方面是知识的学习，即对新知识进行巩固、强化、深化、计算、应用，另一方面，人文教育功能，即普及常识、数学史、数学文化及科学知识．

图6 “计算边长”的中文翻译（上面框对应左侧）

案例4：9年级“方程组”这一章，其中的一个习题见图7．

图7 习题

该题目涉及到地震问题，除了题目之外，还专门附有一些历史与常识，比如法国发生过的地震，以及抗地震的方法，等等．

3.5 课后活动

课后习题后面是课后活动，即巩固新知的小组活动（把班里的学生分成小组），或深化新知的活动，或熟悉相关的数学史及数学文化的活动，具体如下．

（1）巩固新知的小组活动．

案例5：7年级“统计”这一章，研究了数据归类、频率计算以及扇形图后，给出了两个小组活动．其中一个如下：在班级中做调查，包含两个问题（比如，质量、数量的问题），具体见图8、图9，其中图8是教材原文，图9是大致的中文翻译．

（2）深化新知的活动．

知识的深化这一块包括对概念、命题的扩展、延伸，以及概念、命题的实际应用等．

图8 “关于调查”小组活动的教材原文

图9 “关于调查”小组活动的中文翻译

比如9年级“三角学”这一章，研究了正弦、余弦、正切以及它们之间的关系式之后，研究AI-Kashi定理（即余弦定理，其实是勾股定理的推广，还包括证明），以及如何根据视角计算树的高度．

再如9年级“方程组”这一章，先研究二元一次方程组（并非一般形式），以及用代换消元、高斯消元法求解，然后分组探究代换消元法、高斯消元法计算一般形式的二元一次方程组，并讨论方程组有无解以及几个解的情况．

（3）有关数学史、数学文化的活动．

法国教材中的数学史、数学文化一般是本章内容涉及的重要人物，或知识的起源、延拓，形式灵活．设计的活动主动权放在学生手里，并给出了学习的具体操作过程．

案例6：9年级“泰勒斯定理”这一章的数学史、数学文化见如图10、图11．

图10 “泰勒斯”的法国教材原文

图11 “泰勒斯”的中文翻译

3.6 章末小结

每一章节后面都会把本章所学内容用表格列出来．图12 为9年级法国教材“三角学”这一章的小结，由于只需看一下形式，所以没有具体翻译．

图12 “三角学”这一章小结的法国教材原文

3.7 娱乐数学（Recreation mathematics）

每章节的最后是娱乐数学（Recreation mathematics）部分，会有一个或几个比较有意思的题目（或联系实际、或历史上的经典题目），利用学过的知识来解决．

案例7：如8年级“三角形和平行”这一章“求山高”问题，见图13．中文大意：有个数学家爬山，在山脚下想求出山的高度．图13中，1处的高度为2.5 m，1=4 m，12=66 m，计算山顶的高度．

图13 “求山高”法国教材原文

案例8：8年级“方程与不等式”这一章的娱乐数学为“求年龄及求农场中的相关问题”，具体见图14、图15．

图14 法国教材原文

图15 中文翻译（图14左侧对应上面右侧对应下面）

4 提炼法国教材的特点

4.1 注重新知识的前期准备探究与过渡

法国教材对新知识的准备活动很重视，每一章都有很大的篇幅，具体会设计一系列的活动，每个活动又包含好几个小问题，层层推进，并且有些准备活动间也有联系．意在培养学生们的自主探究能力，对新知识的引入做足铺垫，希望能够自然而然地过渡到新概念、定理．准备活动的具体形式：使用软件工具进行探究，或设计问题引导学生一步一步地证明，或设计小组活动让学生分工研究问题，或用软件工具演示后再引导学生去证明．由此可知法国教材非常注重对新知识的前期准备、探究与过渡．

4.2 注重知识的延拓 学生自主发挥空间大

法国教材有一些概念、命题不是出现在正文里，而是分布在课后活动或习题中，供有兴趣的同学钻研，让有余力的学生进一步深化知识．

法国教材在课前准备活动、课后活动里都设置有小组活动．让学生自己动手实验、操作，进行探究新知、巩固新知或深化新知，因此学生自主发挥的空间比较大．

4.3 内容要求上“前松后紧”

中法两国7、8、9年级教材中“三角形”，“统计”，“方程”3个知识主题的知识点个数统计，见表1．

表1 中法3个模块知识点个数比较

由表1可以看出，中国教材中的知识点个数比法国教材的知识点个数多．再结合教材对各知识点的具体要求，得知中国教材难度较大．

综合分析教材得知，法国对小学、初中的要求相对来说较低，强调学生在初级阶段玩中学习，到高中阶段知识难度会大大提高，特别是微积分、概率统计等，见文献[10~12]，这就是所谓的“前松后紧”．

4.4 内容分布注重螺旋式上升

法国教材的知识内容分布注重螺旋式上升，同一个知识主题的内容分布在不同的年级以及不同的章节，逐步递进，甚至同一个知识点会先后出现两次，但具体要求层次不同．比如“相似不变性”在不同课本中出现了两次，具体要求也进一步加深．

4.5 数学史和数学文化设计具体形式灵活

数学史、数学文化在法国教材里分布广泛，设计形式灵活，主动权在学生手里．有时分布在课后活动，有时暗含在课后习题里，操作具体，基本摆脱了所谓的“空架子．”

4.6 例题详细清晰习题难易层次明显

法国教材中的例题每一步都有解释说明，便于学生理解，易于学生自学．

习题配置较多，且难易层次明显，有仿照例题的小练习，有巩固新知的综合题目，也有进一步深化的较难题目．按照曹一鸣等制定的统一标准，对例、习题进行量化分析．其中例题、习题的背景主要分为4个层次，分别是无背景、个人生活背景、公共常识背景、科学背景，分别依次赋值1、2、3、4[13]．中法两国7、8、9三个年级的“统计”内容例题、习题的个数、知识点总数及背景要求的统计见表3．总之，中国初中“统计”内容中有20个概念、命题，比法国多12个，但两国的例题、习题的个数则基本相同，可见法国设置的例题、习题相对较多，但中国平均每个题目考察的知识点个数比中国多，并且背景要求相对较高．

表3 “统计”模块例习题的要求

4.7 重视软件工具的使用

法国教材里软件工具出现频繁，操作具体，并且在教材相关的网站专门设案例库．所涉及的软件有Tracenpoche、Instrumenpoche、SACoche、Mathgragh等，见图16．自20世纪80年代以来，法国的中小学教学改革把教学个性化和教学技术的现代化视为总的改革方向．

图16 工具和软件

4.8 关注娱乐数学

法国教材专门设有娱乐数学模块，会设置一个或几个切合实际，或历史上经典的、有意思的题目，不仅能拓宽学生的视野，更重要的是要引导学生关注有意思的数学，予学中取乐，激发学生对数学的兴趣与学习热情．

5 法国教材对我们的启示

5.1 注重“低起点 小步子”

法国教材中比较注重用基本的概念来解决问题，特别是几何部分，比较注意知识设计的“低起点，小步子”．比如，教材几乎不提三角形全等、相似，而是用三角形平行边成比例、泰勒斯定理以及泰勒斯逆定理这些基础概念，来解决问题．这样做的目的是让学生尽量从最基本的起点出发探究、学习，而不是需要记住一系列的公式、定理后再去学习，更利于学生掌握数学思想方法．

“低起点”并不是一味降低教材的难度，必须注意知识的系统性和科学性，因为这两者是教材建设的生命．如果只追求降低难度，缺乏教材全部内容和相关知识点之间的系统性和整体性，表面上减少了知识点，反而会增加教材的难度[14]．

5.2 直观实验与严谨推理相结合

法国比较注重软件工具的使用，让学生通过操作软件工具，对问题建立直观的认识，然后再给出部分问题的严谨推理、证明．中国对软件的使用还没有做到真正的普及，这方面需要进一步努力．但也不能过于强调直观实验，严谨推理作为中国的优秀传统仍应继续保持，要注意直观实验与严谨推理的合理结合．田载今等认为“直观实验是初级认识手段，逻辑推理是高级认识手段……直观实验会在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面进一步大显身手．但是创新不能仅仅停留在这个层次上，而需要在此基础上进行科学的思考、探究、论证．”[15]

5.3 注重分层教学

要做到分层教学，一方面教材要有个性化的设计．法国教材习题设置较多，且从易到难分层明显，供学生多样化的需求，比较注重个性化教学．法国比较注重素质教育，强调个人发展，着重培养学生的独立思考能力．自20世纪80年代以来，法国的中小学教学改革更是把个性化教学以及教学技术的现代化视为总的改革方向．法国前教育部长杰克·郎（Jack Lang）曾在书籍《初中学什么？——初中学生的要求手册》指出：我们计划的初衷——所有人的初中必须也是每个人的初中．

另一方面要注重知识的深化．法国教材比较注重这一方面，一般会在习题或课后活动深化本章的概念、命题．比如，“统计”部分的正文并没有给出“直方图”的定义和计算，而在前面的活动（Active）及后面的总结、习题中均有出现．再比如，“泰勒斯定理”这一章，在课后活动中让学生探究学习“余弦定理”，等等．这样不仅能拓宽学生的视野，也可以引导有余力的学生进一步深化学习．

5.4 合理设计课前准备活动和课后活动

法国教材在课前、课后都设置有一系列的活动，特别有一些小组活动，发展学生的交流与合作、自主探究能力．我国《义务教育数学课程标准》（2011版）明确提出了“四基”，即数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，并把它们确定为中国义务教育数学课程的基本目标．可见数学活动被提上了日程，因此活动的设计是教材设计非常重要的一个环节．要结合学生的年龄特征和经验背景，为学生创设合适的、有意义的、丰富的、形式多样的、合理的活动．

那么，怎样才能设计出优质的数学活动？有以下几个基本思路：通过活动水平层次的不断提升，使学生对数学探究的理解不断加深，数学发现的能力不断提高，并培养学生的合作学习能力；赋予活动丰富的教育内涵，注重教学目标的设计和活动内涵的设计，过程中可以进一步深化新知；通过活动确立学生在教学中的主体地位和参与的热情等[16]．

[1] 周谷平．蔡元培与法国教育管理模式的移植及其启示[J]．高等教育研究，2005，（2）：87-92．

[2] 蒲淑萍．法国中学数学教材的特色及启示[J]．外国中小学教育，2012，（8）：53-59．

[3] 汪晓勤，蒲淑萍．数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J]．课程·教材·教法，2012，（8）：63-68．

[4] 沈春辉．中法高中数学教材中的数学文化比较研究[D]．华东师范大学，2012．

[5] Jean-Luc Doner. Mathematics in French Education [EB/OL]. http://www.cfem.asso.fr/syseden.html. 2013-03-12.

[6][M]. France Chambery: Generation 5, 2012.

[7][M]. France Chambery: Generation 5, 2011.

[8][M]. France Chambery: Generation 5, 2010.

[9][M]. France Chambery: Generation 5, 2010.

[10] 张玉环，Alain leger．中法高中数学课标微积分内容比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（2）：19-24．

[11] 张玉环，Alain leger，王沛．中法高中最新数学课标几何比较研究[J]．数学教育学报，2013，22（5）：37-41．

[12] 李红玲，张玉环．中法课标中概率统计内容的比较分析[J]．数学教育学报，2014，23（5）：60-64．

[13] 吴立宝．中澳数学教科书习题比较研究——以人教版和HMZ 8年级教科书为例[J]．数学教育学报，2013，22（2）：58-61．

[14] 田载今，李海东．直观实验·逻辑推理·几何证明的教育价值[EB/OL]．http://www.pep.com.cn/ gzsx/jszx_1/jxyj/ gzsxjgyj/201008/t20100826_763599.htm.2013-04-12.

[15] 王奋平．中国和新加坡高中数学教材整体知识结构比较研究[J]．数学教育学报，2014，23（2）：14-18．

[16] 黄鸣春，崔鸿，刘胜祥．法国小学科学教材的特点分析[J]．科学课，2005，（2）：32-33．

[责任编校：周学智]

Features Analysis and Inspiration of Mathematics Textbooks for French Secondary School

ZHANG Yu-huan1, WU Li-bao2, CAO Yi-ming3

(1. School of Mathematics and Statistics, Henan University, Henan Kaifeng 475004, China;2. Teacher Education College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China;3. School of Mathematical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

French mathematics education is superior, and mathematics textbooks are basis for mathematics education, but there are a few domestic researches on French mathematics textbooks. This paper introduces the French education systems firstly, and then, we analyze the features of mathematics textbooks for French secondary school through some specific examples. The features are summarized as follows: They focus on “low starting point, small steps”; They lay emphasis on intuitive experiments by software, and simultaneously, lay stress on the combination with rigorous reasoning; They lay emphasis on hierarchical teaching; personalized teaching; They lay emphasis on rational design of preparatory activities before class and after-school activities. Our researches have potential values and implications for the developments of mathematics textbooks for our country, yet the mathematical teaching reform.

France; secondary school; mathematics textbooks; features analysis

G423.3

A

1004–9894（2016）06–0032–06

2016–07–10

2013年教育部人文社会科学研究基金——高中数学课程标准的国际比较研究（13YJA880003）；河南省教师教育课程改革研究项目——多元化学习评价在高校数学类教师教育理论课程的实践与探索（2016-JSJYYB-012）；河南大学第十四批校级教学改革项目——《应用多元统计分析》及配套软件课程教学内容改革和课程体系建设（HDXJJG2014-119）；河南大学民生学院教育教学改革研究项目——《概率论与数理统计》课程的学习成绩归因分析

张玉环（1983—），女，河南商丘人，博士，主要从事数学教育和计算数学研究．吴立宝为本文通讯作者．