内容分布与认知要求双重视角下数学课程标准比较研究——基于“中国”“美国”“新加坡”小学初中学段之比较

康玥媛



内容分布与认知要求双重视角下数学课程标准比较研究——基于“中国”“美国”“新加坡”小学初中学段之比较

康玥媛

（天津师范大学教师教育学院，天津 300387）

选取在国际上有代表性的美国及亚洲的新加坡与中国的小学及初中数学课程标准为研究对象，从内容分布与认知要求两个维度进行编码比较研究．主要研究结果显示三国数学课程标准分别呈现如下特征：中国在内容维度上，几何内容拥有的认知要求最多，在认知要求维度上最重视数学推理，并且数学推理主要是以几何内容为主要载体的；美国和新加坡在内容维度上，数与代数拥有最多而丰富的各类认知要求，在认知要求维度上两国均十分重视“问题解决”，美国还重视“关联”类认知要求．

数学课程标准；内容分布；认知要求；国际比较

1 研究问题

数学课程标准无疑是数学课程改革、数学教学实施以及考试评价的重要核心纲领性政策文件．当前，世界很多国家未必有在全国广泛使用的教科书，但世界主要国家均已颁布全国统一的数学课程标准[1]．因此，对国际间的数学课程标准进行比较研究最具有可比性和代表性．关于数学课程标准的已有研究更多的是聚焦于数学知识和课程内容及其组织与编排[2~4]．有针对具体内容领域的研究，比如严卿等人对函数内容进行了比较研究[5]，又如刘长明等人对空间与图形内容进行了比较[6]．另外，也有对数学课程标准中所重视的学生素养进行比较研究的[7]．然而，数学内容标准的描述是离不开认知要求的，但鲜有研究课程标准中的内容标准是如何规定学生应达到哪些认知要求的．研究者将数学课程内容与认知要求这两个维度相结合，进行交互式研究，探索不同国家数学课程标准中，在不同内容主题下的认知要求分别是如何设置的，各个内容领域所承载的认知要求是何种类型的及其重视程度如何．

2 研究设计及概念界定

2.1 研究思路与方法

在进行跨文化的数学课程标准比较研究时，需要注意国际比较研究的一个很重要的目的是为本国的教育服务．分析框架要结合本土数学课程特征开发相应的研究编码、分析框架，处理好统一性和独特性的问题[8]．因此，研究者采用定性与定量相结合的研究方法，在定制分析框架时首先考虑中国数学课程标准内容领域以及认知要求的特点以及中国数学课程改革要研究的热点问题．具体的步骤如下．第一步，通过文献研究确定编码体系：通过研究已有文献，以及与专家学者共同讨论、反复修订的基础上，以教育目标分类学为理论依据，将课程目标根据不同类型和层级进行分类，构建适合中国数学课程研究的编码体系，目的是建立一个统一的“标尺”来衡量研究对象，以便进行比较和统计分析．第二步，实施编码：在进行编码的过程中，为了保证编码过程的准确以及可重复、可验证性，依据第一步中已建立的统一的编码框架，利用NVivo 10.0质性分析工具对各国数学课标文本内容实施编码．第三步，统计分析、得出结论：借助NVivo软件完成统计和分析、报表等工作，统计编码的数据结果，最后进行分析，结合各国数学教育背景及课标内容得出结论．

2.2 研究对象

研究对象为中国、美国及新加坡3个国家最新颁布的、使用范围较广的小学及初中数学课程标准[1]．具体为：中国教育部于2012年颁布的《义务教育数学课程标准（2011年版）》[9]；美国选取的是2010年由全美州长协会与美国各州首席学校官员理事会联合推出的《统一核心州数学标准（Common Core State Standards for Mathematics）》[10]；新加坡采用的是新加坡教育部2006年修订、2007年正式实施的《数学教学大纲（小学）》[11]（Mathematics Syllabus -Primary）及《中学数学教学大纲》[12]（Secondary Mathematics Syllabuses）．

2.3 认知要求的概念界定

Stein, Smith[13]以及Stein, M. K., Smith, M. S., Henning- sen, M. A., Silver, E. A.[14]将认知要求（cognitive demand）定义为“学生参与并完成某项任务或活动所需要思维的种类和水平”，并将认知要求分为记忆、无联系的程序、有联系的程序和做数学4种水平．TIMSS 2007以及Porter在课程一致性的研究当中，也均采用了“认知要求”的提法[15]．在研究了以上界定的基础上，研究者提出的“认知要求（cognitive demand）”是指学生习得某些知识或参与并完成某项任务所需要的知觉、记忆、思维等活动的类型和水平．认知要求与课程内容共同构成了课程标准中的内容标准．

2.4 编码体系的设计

借鉴布卢姆多层级系统的结构体系，研究者将编码模型设计为多层级、多指标的二维编码体系，分为内容和认知要求两个维度．

2.4.1 数学内容维度

为了便于跨国比较，在综合了各个国家数学课程标准所划分的数学内容领域的基础之上，选取中小学数学课程中主要的几类数学知识作为分类指标，将数学内容分为以下6个领域：数与运算；代数；测量；几何；统计与概率；其它．其中，有些内容不属于前5类的，都统一归为“其它”一类．比如，有些国家的“综合实践活动”、“思考活动”等内容都归为“其它”．

2.4.2 认知要求维度

美国心理学家布卢姆（B. S. Bloom）提出的教育目标分类学理论，将教育目标分为认知领域、情意领域和动作技能领域3个主要领域．其中，认知领域划分为记忆（回忆）、理解、应用、分析、评价、创造6种水平[16]．TIMSS 2007课程比较的认知领域被分为识记、应用和推理3类[17]．PISA的测试中的数学过程维度是数学能力形成和发展的过程、解决问题的过程，包括利用数学语言的能力、建模的能力和数学化的能力．

基于上述模型，同时参考了所要研究的各国数学课程标准中普遍、重点提出的能力要求，提出认知要求维度的分类为：A.识记；B.程序性操作；C.表达；D.数学推理；E.非程序性问题解决；F.关联；G.其它．体现了对学生从最简单、最基本的认知要求到复杂的、高级的认知要求层级分类．具体解释如下：

（1）识记（Knowing）主要包括识别、知道、了解、记忆等低水平要求．为了使框架模型的应用性、操作性更强，不便做过细的划分，只将这些习得性认知要求都归为识记部分．

（2）程序性操作（Performing Routine Procedures）主要是指按照一定有规可循的步骤执行程序，解决程序性的常规技能性问题．比如进行计算、解方程等操作．

（3）表达（Communicating）．此项指标不仅有学生应用语言进行交流、解释、表达的含义，而且包括学生用字母表示数、用数据表示几何图形、用图表展示描述统计数据等数学内部知识间的沟通．总之，是用某种形式去表示、说明、描述数学知识．

（4）数学推理（Mathematical Reasoning）主要包括解释、证明、推导、探究、探索、发现等．

（5）问题解决（Non-routine Problem Solving）这里的问题解决必须是没有指导的、创造性的应用各种方法、策略综合地解决一些开放式数学问题或实际应用问题，也包括创造性地提出问题、综合分析问题等．

（6）联系（或关联）（Making Connections）包括数学内部知识之间的联系，数学与其它学科之间跨学科的联系，以及联系实际问题，即将数学知识与校外生产、日常生活的相联系．

3 内容分布与认知要求双重视角下的编码研究结果

根据建立的统一编码指标，对中国、美国及新加坡3个国家的数学课程标准实施内容分布与认知要求两个维度的编码，并对编码结果进行频数分析．

3.1 中国数学课标内容分布与认知要求频数分析及特征

中国数学课标小学（第一学段）及初中（第二、三学段）“内容主题——认知要求”两个维度的分布情况，频数结果如表1所示．

表1 基于统一编码的中国数学课标双向细目表

为了便于更好地观察二维分布情况，将表1中频数转化为二维曲面图，二维曲面图中不同颜色代表不同的数值范围，20条为一个刻度单位，如图1所示．二维曲面图展示出了7类认知要求水平是如何分布在6类内容主题上的，二维曲面图可以大体反映出不同内容主题对不同认知要求的重视程度．

图1 基于统一编码的中国数学课标二维曲面图

以上结果显示，中国数学课程标准内容分布及相应的认知要求呈现以下特征：（1）所有内容分布上，“关联”类认知要求均较少，仅有14项认知要求，数量最少．（2）“识记”、“程序性操作”、“表达”、“数学推理”、“问题解决”这5类认知要求在所有内容主题上都有较多分配，但低水平的认知要求要明显多于高水平的认知要求．（3）“几何”内容非常受重视，“识记”、“程序性操作”、“表达”、“数学推理”和“问题解决”这5类认知要求都在“几何”内容上有较多要求，共有160项认知要求，数量最多．（4）在“数与运算”和“代数”内容上，也十分重视“识记”、“程序性操作”、“表达”、和“问题解决”，但没有“几何”内容的要求数量多．另外，“代数”内容比“数与运算”内容更加重视“数学推理”这一高水平认知要求．

3.2 美国数学课标内容分布与认知要求频数分析及特征

美国小学及初中数学课标“内容主题——认知要求”两个维度的分布情况，数据结果如表2所示．

表2 基于统一编码的美国数学课标双向细目表

根据美国数学课标编码后数据绘制出二维曲面图，图中不同颜色代表不同的数值范围，15条为一个刻度单位，如图2所示．

图2 基于统一编码的美国数学课标二维曲面图

通过双向细目表及二维曲面图可知，美国数学课标内容分布及认知要求呈现以下特征：（1）美国数学课标对于“数学推理”类认知要求极少，仅有11项，数量最少．（2）“识记”、“程序性操作”、“表达”、“问题解决”和“关联”这5类认知要求在“数与运算”、“代数”、“测量”和“几何”4部分内容上都有较多分配，但低水平的认知要求均多于高水平的认知要求．（3）在“数与运算”内容上，非常重视“识记”、“程序性操作”和“表达”低水平认知要求．（4）“几何”内容比较重视低水平“程序性操作”类认知要求．（5）“统计与概率”内容只停留在低水平的认知要求上，缺乏高水平的“数学推理”、“问题解决”和“关联”这3类认知要求．

3.3 新加坡数学课标内容分布与认知要频数分析及特征

新加坡小学及初中数学课标“内容主题——认知要求”两个维度的频数结果如表3所示．

表3 基于统一编码的新加坡数学课标双向细目表

二维曲面图如图3所示，其中不同颜色代表不同的数值范围，20条为一个刻度单位．

图3 基于统一编码的新加坡数学课标二维曲面图

由以上结果可知，新加坡数学课标内容及相应认知要求的特征有：（1）新加坡数学课标认知要求丰富，这主要体现在：首先，总数多，共有456项，明显多于中国和美国；另一方面，认知要求分布广泛，各个内容主题都有不同类型的认知要求．（2）“识记”、“程序性操作”、“表达”和“问题解决”这4类认知要求在“数与运算”、“代数”、“测量”、“几何”、“统计与概率”所有内容上都有较多分配，但低水平的认知要求仍要多于高水平的认知要求．（3）欠缺“数学推理”和“关联”这两类认知要求．（4）认知要求中，更重视“识记”和“程序性操作”．（5）认知要求中，最重视“问题解决”类认知要求，并且集中在“数与运算”、“代数”、“测量”和“统计与概率”这些内容上．新加坡数学课标编码过程中，“其它”类认知要求主要是由一些只规定了学习内容而没有规定需达到的认知水平的标准所组成的．

4 讨论及启示

通过已有研究结果，可以得出中国、美国、新加坡3国的数学课程标准共同特征是：低水平类认知要求（识记、程序性操作、表达）总数明显多于高水平类认知要求（数学推理、问题解决、关联）总数．这一普遍特征是符合学习规律的，学习的过程必定是由简单认知逐渐过渡到复杂认知的过程，高水平认知要求的习得与掌握必定是以低水平认知要求的熟练掌握为基础的．因此，在接下来的研究中，主要讨论的是各国所重视的高水平的认知要求有哪些？分布于哪些数学内容之上？

（1）中国几何内容独占鳌头，数学推理钟情几何．

在中国数学课程标准中，对“几何”内容主题的认知要求总数最多．对比之下，美国和新加坡两国的数学课程标准中，认知要求最多的均集中在“数与运算”这部分内容主题上．说明中国对于几何内容各个类型和层次的认知要求的掌握是极为强调和重视的；而美国和新加坡更为重视“数与运算”内容的各类认知要求．

在中国数学课程标准“几何”内容中，最重视的高水平认知要求是“数学推理”．同时，“数学推理”类认知要求半数以上是对于“几何”内容的要求．说明中国数学课程标准中，一方面，对于“几何”内容更为重视培养学生数学推理的能力；另一方面，“数学推理”能力的培养主要是通过“几何”这一内容载体而实现的．与中国相比，美国和新加坡的数学课程标准对数学推理的认知要求明显低于中国．

几何内容一直是各国数学教育关注的焦点，也是历次课程改革的焦点．数学推理是几何课程中需要培养的非常重要的一种能力，但发展推理能力只是几何课程的目标之一，并不是几何课程的全部目标．几何当中的证明为推理能力的培养提供了载体和方法途径，但除了证明，在几何课程中还应重视发展学生的几何直观、空间观念、想象力、猜想、非正式的推理等多样化的能力．另外，数学推理的要求并不仅仅限于几何的内容，而应该体现在数学学习和生活的各个领域[18]．在数与代数、统计与概率、综合与实践等其它数学内容领域应同样加强发展学生的推理能力，通过不同的途径和方法，使得学生所发展形成的推理能力是多样的、全面的．

（2）美国重视数与运算，“问题解决”“关联”齐头并进，欠缺“数学推理”．

从编码结果中可知，美国数学课程标准非常重视数与运算内容，所具有的认知要求总数最多，各种认知要求类型均有涉及．

事实上，放眼国际，无论是美国，还是英国、澳大利亚、芬兰及新加坡等国家，历次数学课程改革，数与代数都被视为数学课程中最重要的组成部分[2]，也是其它数学内容的基础，“数”的内容渗透在数学课程的各个领域．数与代数对于整个数学课程乃至跨学科、日常生活和工作都是至关重要的基础．与之相比，对中国的启示是应该加强对数与代数内容的广度与深度，在数与代数领域加强各个类型的认知要求，尤其是现在较为欠缺的高水平认知要求，通过数与代数的内容素材去发展学生的数学推理能力以及关联的能力．改变当前通过几何训练数学推理能力这一单一途径的现状．

在高水平认知要求中，与中国重视数学推理有所不同的是，美国非常重视“问题解决”和“关联”，而且对二者的重视程度不分伯仲．从20世纪80年代开始，“问题解决”就是美国数学课程的核心要求．在美国，也有很多研究者及一线教师还将“问题解决”作为一种教学模式在课堂上实施[19]．然而，美国对于“数学推理”是较为欠缺的，尤其是“统计与概率”内容只停留在低水平的认知要求上，缺乏“数学推理”“问题解决”这样的高水平认知要求．

中国的数学课程标准的课程理念也十分重视“问题解决”，尤其是在课程总目标当中着重提出了“增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”．但需要加强的是，在具体的内容标准中，在各个领域的数学内容中，对“问题解决”应提出更多的、更有针对性的、明确的认知要求，使课程理念落到实处[20~26]．

（3）新加坡数与运算要求最多，“问题解决”一枝独秀．

新加坡的数学课程标准与美国相似，数与代数内容的认知要求最多，而且类型最丰富；在高水平认知要求中，“问题解决”类认知要求显著多于“数学推理”和“关联”．说明新加坡与美国一样，极其重视发展学生问题解决的能力．新加坡的中小学《数学教学大纲》[11，12]的结构将“问题解决”放在数学学习的中心位置（如图4所示），数学教育目标之一即是发展学生数学思维和问题解决的能力，并将这些技能运用在形成问题并解决问题的过程中．

图4 新加坡中小学数学课程标准框架

以上研究结果再一次印证了各国数学课程对于“问题解决”这一认知要求极高的重视程度，对于这一焦点问题，无论是数学课程还是数学课堂教学的实施都需要引起我们足够的重视．其次，新加坡的《数学教学大纲》不仅重视基本概念和技能的学习，同时还强调学习的过程以及学习态度和元认知，提出多角度、多元化的课程标准．这些特点值得中国借鉴．

5 结 语

由于各国的历史文化不同、国情不同以及教育改革所面临的问题、教育理念不同，各国的数学课程标准之间存在差异是很正常的，就好比“世上没有完全相同的两片树叶”一样．如果没有差异，千篇一律都是一致的面孔，那么也就失去了统计与比较的意义．因此，面对跨国比较研究所得出的差异，不必也不可能断定孰是孰非、孰优孰劣、一味的去效仿．进行国际比较的意义在于，由于中国长期在一定的课程范式下，难免有些思维定势，正如苏轼的诗句“不识庐山真面目、只缘身在此山中”所言．需要站在更高、更广的世界范围内，以国际视野一览众山小，要做的是立足本土，继续保持中国数学教育的优良传统，同时又要紧跟国际，与时俱进，给这些优良传统赋予新的时代内涵．最后，研究者只是如实、客观的获得了各国数学课程标准的实然状况，得到了一些数据和差异，借此可以将别的国家作为一面镜子，去更客观地反思中国的课程，更好地了解自己，进而取长补短、中西兼容，打造出世界级一流的、具有中国特色的优质数学课程．

[1] 曹一鸣．十三国数学课程标准评介（小学、初中卷）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[2] 康玥媛，曹一鸣．中英美小学和初中数学课程标准中内容分布的比较研究[J]．课程·教材·教法，2013，33（4）：118-122．

[3] 严虹，吴立宝，康玥媛．中美初中数学课程的比较研究[J]．比较教育研究，2015，（2）：96-101．

[4] 康玥媛．澳大利亚全国统一数学课程标准评析[J]．数学教育学报，2011，20（5）：81-85．

[5] 严卿，胡典顺，汪钰雯，等．中美两国课程标准中高中函数内容的比较[J]．数学教育学报，2015，24（4）：19-24．

[6] 刘长明，孙连举．中美两国数学课程标准中初中学段“空间与图形”领域的内容标准之比较[J]．数学教育学报，2002，11（4）：49-52．

[7] 严家丽．英美澳高中数学课程标准的启示：注重学生的ICTM素养[J]．数学教育学报，2014，23（6）：50-53．

[8] David Clarke，曹一鸣，李娜．跨文化数学教学比较研究中的七大困境[J]．数学教育学报，2014，23（4）：13-15．

[9] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[10] Common Core State Standards Initiative.[EB/OL]. http://www. corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf, 2011-04-01.

[11]  Ministry of Education.[M]. Singapore: Curriculum Planning and Development Division, 2006.

[12] Ministry of Education.[M]. Singapore: Curriculum Planning and Development Division, 2006.

[13]  Stein M K, Smith M S. Mathematical tasks as a Framework for Reflection: From Research to Practice [J]., 1998: 268-275.

[14]  Stein M K, Smith M S, Henningsen M A, et al.(2nd ed.) [M]. New York: Teachers College Press, 2009.

[15]  Porter A C. Measuring the Content of Instruction: Uses in Research and Practice [J]., 2002, 31(7): 3-14.

[16]  Anderson L W．布卢姆教育目标分类学：分类视野下的学与教及其测评（完整版）[M]．蒋小平译．北京：外语教学与研究出版社，2009．

[17]  Gonzales P, Williams T, Jocelyn L, et al. Highlights From TIMSS 2007: Mathematics and Science Achievement of U.S. Fourth-and Eighth-Grade Students in an International Context (NCES 2009–001) [R]. Washington, DC: National Center for Education Statistics, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education, 2008.

[18] 綦春霞．浅谈几何证明[J]．中学数学教学参考，2001，（7）：15-17．

[19] 蔡金法．关于“通过问题解决进行数学教学”的研究综述[J]．浙江教育学院学报，2009，（1）：28-36．

[20] 王光明，张楠，周九诗．高中生数学素养的操作定义[J]．课程·教材·教法，2016，（7）：50-55．

[21] 吕世虎，杨健，林碧珍．大陆与台湾地区义务教育数学课程目标的比较研究及其启示[J]．当代教育与文化，2015，（2）：52-57．

[22] 王光明，杨蕊．基于NVivo10质性分析的少数民族数学学习心理因素研究[J]．民族教育研究，2015，（1）：81-84．

[23] 郭衎，曹一鸣，王立东．教师信息技术使用对学生数学学业成绩的影响——基于三个学区初中教师的跟踪研究[J]．教育研究，2015，（1）：128-135．

[24] 王光明，康玥媛，曹一鸣．芬兰独特而平稳的教育改革及启示[J]．天津师范大学学报（社会科学版），2015，（5）：66-70．

[25] 曹一鸣，郭衎．中美教师数学教学知识比较研究[J]．比较教育研究，2015，（2）：108-112．

[26] 王光明，张楠．国际教育学研究发展趋势[J]．当代教育与文化，2015，（6）：20-27．

[责任编校：陈汉君]

Comparative Study of Content and Cognitive Demands of Mathematics Curriculum Standards from China, US, and Singapore

KANG Yue-yuan

(College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

In this study, we select the mathematics curricula from China, US and Singapore. We code the curricula in the following two dimensions: content distribution and cognitive demands. China’s standards consist of a high proportion of geometry content, which outnumbers all the other content by an obvious margin. In the China’s standard, mathematical reasoning is very important among high-level cognitive demands. In the US and Singapore’s standards, number and algebra are more than other content. Problem solving is more important among high-level cognitive demands from the US and Singapore.

mathematics curriculum standard; content settings; cognitive demands; comparative study

G40-059.3

A

1004–9894（2016）06–0027–05

2016–08–20

全国教育科学“十二五”规划2013 年度教育部青年专项课题——内容分布与认知要求双重视角下的义务教育课程标准国际比较研究——以数学课程为例（EHA130395）

康玥媛（1983—），女，天津人，副教授，博士，主要从事数学课程与教学研究．