数学学科核心素养要素析取的实证研究

喻 平



数学学科核心素养要素析取的实证研究

喻 平

（南京师范大学课程与教学研究所，江苏南京 210097）

数学核心素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力．在理论分析基础上，初步析出数学核心素养要素，采用大样本问卷，对数据进行因素分析和不同的聚类分析标准，得到数学核心素养的两种结构．第一种由8种基本成分组成：数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格．第二种由7种成分组成：数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格．

数学核心素养；因子分析；聚类分析

《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》于2014年3月正式印发，在“着力推进关键领域和主要环节改革”部分提出，研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准；要根据学生的成长规律和社会对人才的需求，把对学生德智体美全面发展总体要求和社会主义核心价值观的有关内容具体化、细化；要研究学科核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力．

1 问题提出

近些年，世界各国不断推进课程体系的改革．国际课程改革发展的一些共同发展趋势与特点：关注学生发展，强调培养适应现代社会所需的能力；强调课程的整合性，注重学科之间的相互融合；在课程中融入了质量评价标准，强调问责．世界各国的课程标准中出现强调“关注学生的发展，培养学生核心能力”的趋势，推动了学生核心素养（key competencies）的研究和模型的制定．例如，1997年12月经济合作与发展组织（OECD）启动的“素养的界定与遴选：理论和概念基础”项目，对学生核心素养体系构建作了系统的研究[1~2]．

美国、澳大利亚、芬兰、日本、韩国等国家都有开展学生核心素养的研究．在芬兰，学生的核心素养在国家课程标准当中明确规定，规定了学生需要具备的核心素养．将素养划分为七大主题——成长为人，文化认同与国际化，信息素养与交际，参与行使公民与企业家的权利，对环境、健康和可持续发展的将来的责任感，安全与交通，技术与个体．根据这7个主题再逐步分解到各个学科中去．也就是说，芬兰的课程中直接融入了对学生核心素养的界定与规范，再分解这些核心素养到各个学科之中，作为教学的目标和评价依据，并直接引导教师的教学．Eurydice发布了一份题为“在欧洲学校中发展核心素养：政策机遇与挑战”的报告，对核心素养的课程实施现状与问题进行了较为全面和深入的调研．该报告对32个Eurydice网络成员国家（含当时欧盟全部27成员国外加冰岛、列支敦士登、挪威、克罗地亚及土耳其）小学、初中和高中阶段（ISCED等级1~3级）2011—2012学年的课程和评价方面进行了统计调查，指出了当前面临的几个关键问题：在政策层面，学校教育中的核心素养培养需要更具战略性的政策支持；在内容层面，与传统的基于学科的能力相比，需要在跨学科素养的培养上做出更大努力；在学生层面，一方面是减少基本能力（母语、数学和科学）方面低成就学生的比例，另一方面则是鼓励更多的学生投身数学、科学和技术领域的更高层次的学习或事业，以满足经济发展的需求．

在学科核心素养研究方面，美国国家管理者协会和州立学校首席管理会联合出台了“共同核心州立标准”（CCSS）．其中在数学学科标准中提出的核心素养是：（1）理解和解决问题；（2）抽象的、量化的推理；（3）构造可行的论证、推理；（4）数学建模；（5）灵活地使用适合的工具；（6）精确化；（7）探求并利用结构；（8）在反复推理中探求并表达规律．Hong对韩国、澳大利亚、新西兰的教师作了调查，结果表明要转变单纯学科知识传授为发展学生的核心素养，关键的问题是重构课程而不是在现有课程基础上对教学方法的改造[3]．类似的研究还有Han and Shin[4]、Park[5]、So[6]等．Shute等提出一个评价学生核心能力的嵌入式模型，并给出了具体的实施步骤[7]．

在国内，教育部哲学社会科学重大攻关项目“义务教育阶段学生学业质量标准体系研究”课题组，提出基于学生核心素养的课程体系建构设想，认为构建基于核心素养的课程体系应至少包含具体化的教学目标、内容标准、教学建议和质量标准4部分．其中，具体化的教学目标和质量标准要体现学生核心素养，内容标准和教学建议要促进学生形成核心素养[8]．辛涛等提出中国基础教育阶段学生核心素养的概念内涵，在核心素养的遴选时要遵守素养可教可学、对个体和社会都有积极意义、面向未来且注重本国文化这3个原则[9]．

目前，教育部正在组织专家对“高中课程标准”进行修订，要求把学科核心素养作为修订课程标准的主线，围绕学科核心素养制订教学内容和评价标准．因此，各学科的核心素养体系的建构成为当前一个必须要做的工作．然而，从目前的研究来看，各学科核心素养成分的确定多是由一批专家综合各方面意见讨论而定，这种基于思辨的研究基于专家的理论见识，有不可替代的作用，但是这种小群体的价值信念也可能会出现以偏概全的缺陷．对学科核心素养成分的研究，应当采用思辨提出框架、实证加以验证的方法．这里对数学学科核心素养开展实证研究，析取数学核心素养的基本成分．

研究的基本思路为：（1）通过理论分析，采用专家讨论的方法，初步提出数学素养的基本成分；（2）根据初步提出的基本成分，编制数学素养问卷，选取小样本进行预测，修订问卷；（3）以中小学骨干教师为对象，采用大样本测试收集数据；（4）用统计方法作因子分析和聚类分析，析取数学核心素养基本成分．

2 数学核心素养的初步析取

核心素养是指学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，对照这一定义，数学核心素养应当是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力．

2.1 选择数学核心素养的依据

拟定数学核心素养，应当从数学学科本质与数学教育价值两个方面考虑．

首先，从数学学科本质角度考察．对数学本质的认识，历来是数学哲学中讨论的话题，数学家和数学哲学家从不同视角观察数学，提出了若干不同的认识和见解．表1给出一些著名数学家或数学哲学家的观点[10]．

表1 一些数学家或数学哲学家对数学本质认识的观点

方延明将各家观察作了一个归类，对数学本质的认识存在万物皆数说、哲学说、符号说、科学说、工具说、逻辑说、创新说、直觉说、集合说、结构说、模型说、活动说、精神说、审美说、艺术说[11]．

对这些观点作进一步梳理，宏观上可以把数学的本质概括为两个大的方面，即数学的科学特质和数学的文化特质．

数学的科学特质表现为除了有科学的本性外还具有数学本身的特性，数学本身特性可以用几个关键词刻画：抽象、逻辑、结构、模式、数据、直觉．事实上，从历史上几个重要的数学哲学流派的各自追求，可以看到都是围绕这些关键词开展的．以罗素（Russell）为代表的逻辑主义，把数学与逻辑等价看待，认为数学可以归结为逻辑．直觉主义否认超经验的数学对象存在，强调数学对象的可构造性，而这种构造源于非逻辑思维占主要成分的数学直觉，阿达玛（Hadamard）认为，数学直觉的本质是某种美的意识或美感，其实是对数学对象间存在着的某种隐微的和谐性与秩序的直觉认识[12]．以希尔伯特（Hilbert）为代表的形式主义，认为数学思维的对象就是数学符号本身，符号就是本质，它们并不代表任何物理对象．数学对象是一堆毫无实际内容的形式符号体系，不管从什么假设出发，只要这些假设能以符号形式明显地表示，用形式的演绎来推理，就成为数学．受形式主义学派影响发展起来的法国布尔巴基学派，在促使数学理论体系进一步形式化方面做了大量工作．该学派认为，数学各分支应按照结构性质划分，运用公理化方法按照结构观点加以整理．所谓“结构”，是一些用若干公理来定义的基本数学关系．最基本的结构有3种，即代数结构、序结构和拓扑结构，以这3种结构为基础，全部或绝大部分数学内容都可以归结为各种结构，数学的发展无非是结构的构建和重组而已．显然，逻辑主义以“逻辑”为核心刻画数学；直觉主义以“构造”、“非逻辑思维”、“数学美”等概念为核心认识数学；形式主义对数学的描述建立在“抽象”概念基础之上；布尔巴基学派则以“结构”塑造数学．其实，不同学派是从不同角度来认识数学的本质，都有合理因素但又表现出各自的片面性．

数学的文化特质指数学的文化元素表现出来的特别性质．数学既是科学又是一种文化，数学文化包括数学知识、数学思想方法、数学精神、数学信念、数学价值观和数学审美．数学知识是人们认识客观世界的物质成果，是科学劳动的果实和产品，负载着数学方法和数学精神，是数学文化的基础．数学思想方法最能体现出数学思维的过程和品质，是数学文化最主要的现实表现．数学精神、数学信念是数学家共同体在追求真理、逼近真理的科学活动中，将数学思想方法内化后所形成的独特的精神气质，是数学文化的核心和精髓．数学价值观是人们对数学本体功能和外在功能的认识，是人们对数学的价值判断．数学审美是一种理性的精神，这种精神促使人们去探求和确立知识深刻、完美的内涵．科学教学观视野下的数学教学，就是要充分展示数学的文化元素．“数学人文精神的内涵具体体现在其理性求知、一种文化、数学思维品质、普遍的思想方法和语言以及独特的审美价值上．”[13]

其次，从数学教育的价值维度分析．关于数学教育的价值，在中国历次“数学教学大纲”和“数学课程标准”中均有描述，反映在各种文件的“课程目标”中．欧内斯特（Ernest）从教育观念层面将数学教育分为5种类型：严格训导派、技术实用主义、旧人文主义、进步教育派、大众教育派[14]．这些派别在认识论、课程观、教学观、教育目标等方面都存在差别．数学教育的价值体现在教育目标中，反映了数学教育的育人功能．严格训导派强调思维训练的重要性，教育目的是针对不同阶层的学生提供不同的训练，掌握基础知识和基本技能，为将来的职业和个人发展做准备．技术实用主义持功利主义观，教育目的主要是让学生掌握就业需要的数学知识与技能．旧人文主义重视数学知识、文化和价值的传播功能，视数学为人类文化遗产和智力成就的核心部分，教育目的是传承数学文化，欣赏数学美．进步教育派的教育目的是通过数学教育促进人的素质发展，实现人格完善，富于创新精神．大众教育派强调公平民主，通过数学教育使学生获得批判性意识、民主公民意识，在社会环境中能用数学思维方式提出问题和解决问题．

总结各家论点，数学教育的价值在于：掌握数学知识，形成基本数学技能，发展数学能力，训练数学思维，掌握数学工具，领悟数学精神，传承数学文化．

2.2 提出数学素养的基本要素

根据上面的分析，组织部分师范大学从事数学教学论研究的专家讨论，提出与数学素养相关的17个要素，这17种要素的名称及涵义见表2．

表2 初步析取的17种数学素养要素

2.3 量表制作

对初步析取的17个因素设计调查问卷．作1，2，…，17分别表示17个数学素养基本元素，问卷采用Likert量表7点记分，要求被试对每一个问题根据自己的理解，判断每一个要素与数学核心素养的接近程度并在相应位置作出选择．数字7表示最接近，数字1表示最不接近．同时，在全卷最后有一个开放性问题：除了上面表中的内容外，您认为数学核心素养还应当有哪些要素？

选取江苏省90名被试，对量表进行预测．90名被试包括35名数学教育专业在校研究生，55名江苏省中学教师，其中高中教师30名，初中教师25名．

对预测结果作了两个方面的数据分析．

（1）对各题项与总量表进行相关分析，若题项与总量表的相关没有达到显著性水平（＜0.05），表明此题项须剔除．结果见表3．

表3 各题项与总量表的相关性

从表3可以看出，应当删除题项2，即2：数学概括能力．修订后的量表由16个项目组成．下面的讨论，与17个数学素养要素对应的变量序号保持不变．

（2）对修订后的量表进行信度分析，计算Cronbach’s系数，其值为0.642，量表有较高的信度．

3 数学核心素养的验证性因子分析

3.1 被试选择

正式施测选择的被试来自10个省，对象包括高中、初中和小学数学教师，由两类人员组成：在读研究生（博士、硕士、教育硕士），“国培”教师成员．选择这两类人员进行调查，是考虑到他们均具备一定的理论或实践知识，对数学核心素养有个人的认识和理解，因而样本有一定的代表性．具体地，福建21名，河南67名，广东33名，广西52名，湖北71名，湖南88名，江苏191名，江西40名，内蒙30名，山西198名，浙江31名，山东204名．其中江苏的被试包括参加预测90人，后面的数据统计把这90个被试的预测数据作为正式测试数据．全体被试人数为1 026，样本量较大．

3.2 描述性数据

描述性统计结果，计算16个项目得分的基本数据，结果见表4．

表4 描述统计量

3.3 因素分析结果

对16个项目的数据进行因子分析，目的是找到综合能力成分和公共因素．表5反映了KMO和Bartlett检验结果，数据显示，KMO抽样适当性参数值为0.904，＜0.001，=120，卡方值4 382.043，说明16个变量之间不是独立的，因而可以进行因素分析．

由表6可以看到，其特征根只有3个大于1，所以只提取3因子，这3个因子在碎石图（图1）的坡上．

表5 KMO和Bartlett的检验

表6 解释的总方差

注：提取方法：主成份分析

图1 数学核心素养因素碎石图

表7是旋转成分矩阵，数据显示，因子1在诸多项上都有较大负荷，因此可以认为因子1是较全面反映各项能力的综合指标．其中在因子1上有较大负荷的是1，3，4，5，7，10，11，即数学抽象能力、数学运算能力、逻辑推理能力、合情推理能力、数学建模能力、数据分析能力、直观想象能力，这些项目均可考虑作为数学核心素养的基本要素．在因子2上负荷较大的6：数学交流能力，8：数学阅读能力，9：数学变换能力，12：数学应用能力，13：数学解题能力，14：对数学的认识信念．这些项目的共同属性是对数学的理解并用数学知识解决数学问题或现实问题的能力，可以将因子2命名为数学问题解决能力．在因子3上负荷较大的项目是15：数学地思考问题，16：数学文化的认识，17：严谨的思维品质，这3个项目的共同属性是在文化层面对数学的理解，因此，可以命名为数学文化品格．

表7 旋转成份矩阵a

3.4 聚类分析结果

在上面的因子分析中，从因子1析取了7个项目，进一步对因子1的7个项目进行聚类分析，合并一些项目之后提取数学核心素养基本成分．

表8中聚类过程的输出．表9是分为6类的结果，只有3和4归为一类，即逻辑推理能力和合情推理能力合并为一类，虽然这两种推理在思维方面有所差异，但均属于数学推理，因此两种推理合并后命名为推理能力．其余各项独自属于一类，这样得到因子1的数学核心素养成分为6个：数学抽象能力、数学运算能力、数学推理能力、数学建模能力、数据处理能力、空间想象能力．

表8 聚类表

表9 群集成员

分为6类显得因素比较多，如果我们把数学核心素养综合指标分为5类，那么从图2的结果可以看到，7与10应当合并为一类，即数学建模能力和数据分析能力应当合为一类，可命名为建模与数据分析能力．这样，因子1中得到的数学核心素养为5个：数学抽象能力、数学运算能力、数学推理能力、建模与数据处理能力、空间想象能力．

将数学建模能力与数据分析能力合并，从学理上是通顺的．因为数学建模包含对数据的分析过程，反之，数据的收集、处理和分析，最终归结为用一种数学模型去解决．

图2 聚类分析冰柱图

通过对因子1的聚类分析，结合因子2和因子3，采用第一种聚类标准，提取出数学核心素养由8个成分组成，将其简称为：数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格．采用第二种聚类标准，提取出数学核心素养由7个成分组成：数学核心素养由数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格．

4 讨 论

高中数学课程标准修订组的专家提出了数学核心素养的6种成分：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，与研究者用实证方法得到的结果基本上是吻合的，但多出了问题解决能力和数学文化品格两个因素．专家组提出的6个数学核心素养，虽然不是以能力冠名，但本质上6个要素均为能力．其中逻辑推理（用词不准确）包括演绎推理和合情推理，与研究者提出的数学推理是一致的．

事实上，数学建模与数据分析属于问题解决范畴，因此可能有包含关系之嫌，但是，问题解决具有的性质是数学建模和数据分析不能涵盖的．数学的交流、阅读、变换、应用和解决各类问题，都属于问题解决的基本要素，因此问题解决能力当属数学核心素养的一个成分．至于数学文化，它是渗透在数学知识深层的隐性元素，“数学素质的本质是数学文化观念、知识、能力、心理的整合，而实现数学素质教育目标的关键在于充分体现数学文化的本质，把数学文化理念贯穿到数学教育的全过程中”[14]．数学文化是学生数学品格的形成不可缺少的因素，高中课程标准修订组专家把这一因素排斥在外的做法，是值得商榷的．

5 研究结论

（1）通过因子分析和第一种标准的聚类分析，数学核心素养由数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格等8种成分

组成．

（2）通过因子分析和第二种标准的聚类分析，数学核心素养由数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格等7种成分组成．

致谢：感谢下列老师主持本研究的调查测试并收集数据．福建师范大学李祎，河南师范大学王振平，深圳大学傅赢芳，广西师范大学唐剑岚，郧阳高等师范专科学校余晓娟，湖南师范大学谢圣英，湖南科技大学曾友良，赣南师范学院曹新，内蒙师范大学李伟军，山西师范大学杨红萍，杭州师范大学叶立军，山东师范大学于文华．

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[责任编校：周学智]

Empirical Study on Elemental Extraction of Key Competencies of Mathematics

YU Ping

(Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

The key competencies of mathematics is the essential mathematics character and key mathematics ability students should have, which can meet the need of both long-life and social developments. On the basis of theoretical analysis, the writer preliminarily dissolves out the elements of key competencies of mathematics. Then the writer makes a factor analysis and different standard of cluster analysis by using large simple questionnaire, which produces two types of structures of the key competencies of mathematics. The first type consists of 8 kinds of basic components, which are mathematics abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity, spatial capacity, problem-solving capacity and mathematical culture character. The second type consists of 7 kinds of basic components, which are mathematical abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity.

key competencies of mathematics; factor analysis; cluster analysis

G420

A

1004–9894（2016）06–0001–06

2016–11–25

江苏省社科基金项目——中小学生数学核心素养体系建构与教学实践研究（15JYD001）；江苏省教育厅重大项目——义务教育学科核心素养和关键能力研究（2015JYKTZD-02）

喻平（1956—），男，重庆人，教授，博士，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．