大学物理教学中对大角度单摆的介绍

李 蕊 刘改琴

(重庆理工大学光电信息学院，重庆 400054)



大学物理教学中对大角度单摆的介绍

李 蕊 刘改琴

(重庆理工大学光电信息学院，重庆 400054)

大学物理的教学在简谐振动部分介绍了小角度单摆，但没有介绍摆角较大时单摆的运动.利用Matlab研究了大角度的单摆运动，得到了大角度单摆的运动曲线，曲线表明，尽管摆角较大时单摆不再做简谐振动，但其运动曲线看似余弦曲线，且具有一定的周期性；文章给出了小角度单摆的相图及其与实际摆动的对比动画；对大角度单摆运动的相图进行了分析，说明在摆角较大时单摆的运动将不同于简谐振动而更加复杂.在此基础上，探讨了如何把所得结论引入到大学物理教学中，以加深和拓展学生对单摆运动的理解.

单摆；Matlab；动画

在大学物理教学中，对单摆的介绍安排在简谐振动部分，而只有单摆的摆角很小的时候单摆才做简谐振动.单摆的摆角为大角度时做什么运动并未给学生介绍.由于单摆摆角较大时，其运动方程没有解析解，Matlab软件可以对非线性微分方程进行数值求解，在作图和动画方面也功能强大，不少文献都采用Matlab对单摆进行分析[1-3].故本文首先通过Matlab计算来分析无阻尼无驱动力时大角度单摆的运动，得到图像和动画，然后在此基础上探讨如何把大角度单摆的运动引入到课堂教学中，以加深和拓展学生对单摆运动的理解.

1 无阻尼、无驱动力时大角度单摆的运动

无阻尼、无外来驱动力时，单摆的运动方程为

(1)

(2)

当θ很小时，sinθ≈θ，方程的解为正弦(或余弦)函数，单摆做简谐振动.而当单摆摆角为大角度时，运动方程为非线性方程，很难得到其解析解.利用Matlab软件对大角度的单摆运动进行数值计算，将(2)式改写为

(3)

计算所得到的不同摆角的单摆运动曲线如图1所示.

图1 不同摆角的单摆运动曲线

图1显示了不同的大角度的单摆运动曲线，曲线看似余弦曲线，并且运动周期随摆幅的增大而增大.这一趋势与大角度的单摆运动周期公式相符合[4].

T=

在大学物理教学中讲完做简谐振动的小角度单摆之后，作为补充，可以直接给出图1和以上的周期公式，使学生认识到摆角较大时单摆不再做简谐振动，但仍然在做周期运动.

2 小角度单摆运动的相图

在大学物理教学中对小角度单摆运动的描述往往是角位置、速度、加速度随时间变化的函数关系.但是当单摆的摆角较大时，由于其运动方程无法给出解析解，这时就可采用相图表示单摆小球的运动状态.

(4)

适当选择初始条件，其解为

(5)

(6)

因此，小角度的单摆的相图如图2所示是一个圆.显然这并不是单摆小球的真实的运动轨道，但同样给出单摆不同时刻的运动状态.

图2 小角度单摆简谐振动的相图

为帮助学生理解相图，还可给出小角度单摆运动与其相图的对比动画，图3为对比动画的一个截图.图中显示单摆小球正向左侧摆动.

图3 小角度简谐振动的相图与单摆运动的对比图

将相图引入到教学中，可以拓展学生的思维方式，使其认识到可以有或直观或抽象的多种方式表现物体的运动.在课堂教学中如果有富余的时间，可以对相图的概念略作介绍，然后给出单摆运动与其相图的对比动画即可.

3 大角度单摆运动的相图

当单摆的摆角较大时，可从保守系统能量守恒的角度来给出相图.为了能做大幅度的运动，把单摆系有小球的细绳换成质量可忽略的刚性细杆.取单摆摆杆水平时重力势能为零，则单摆的总机械能为

(7)

(8)

(9)

选取不同的H值(H=-0.866,0,1,1.8)，可得大角度的单摆运动相图如图4所示.

图4 不同摆角的单摆相图

由图4可知，当H<1时，相轨道是一些闭合回线，单摆做往复运动.

而当H=1、摆角可达到π时，相当于单摆竖直倒立起来，从图4中可以看出出现了不稳定的平衡点.在平衡点处，单摆的运动出现了两种可能，一种可能是单摆在最高点反向运动，仍然呈现一种往复运动，在相图中相轨道闭合；第二种可能是单摆在最高点沿原运动方向运动，这时单摆的运动已不再是周期性的往复运动了，其相轨道也不再闭合.而在有阻尼、有驱动力时，单摆的运动将更加复杂，很容易进入混沌[5,6].

当H>1时，曲线不再闭合，表示单摆不再摆动，而是沿顺时针或逆时针方向旋转起来.

由此可知，单摆具有较大能量时，其运动出现了不确定性，已经不同于我们所习惯的机械决定

论了.这种延伸知识的介绍可使学生认识到单摆的运动就能体现经典力学的局限性.在物理选修课的教学中可以对此作一些讲解.

4 结语

本文利用Matlab给出了大角度单摆的运动曲线和不同摆角的单摆的相图.计算所得曲线与理论分析的结果是一致的.利用Matlab计算得到曲线图像可以清楚显示出大角度单摆的运动，动画比对更是可以使学生易于理解.把这些图和动画引入到大学物理的教学中，可使学生对单摆的运动有更深的理解.

[1] 李硕，赵彤帆，李根全，等．Matlab软件在单摆自由振动中的应用[J]．实验室研究与探索，2013，32(11)：65-68. Li S， Zhao T F， Li G Q， et al. Application of Matlab Software in simple pendulum free oscillation[J]． Research and Exploration in Laboratory， 2013， 32(11)： 65-68.

[2] 郭娜，朱奕奕．Matlab软件在单摆自由振动中的应用探索[J]．电子技术与软件工程，2015(10)：86. Guo N， Zhu Y Y． Application and exploration of Matlab software in simple pendulum free oscillation[J]． Electric Technology & Software Engineering， 2015， 10： 86.

[3] 龙晓霞．大角度单摆运动的计算机模拟[J]．重庆文理学院学报(自然科学版)，2006，5(2)：28-31. Long X X． Computer simulation for the motion of a single pendulum in large angle[J]． Journal of Chongqing University of Arts and Sciences(Nature Sciences Edition)， 2006， 5(2)： 28-31.

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[6] 黄报星．非线性单摆的周期解与混沌解及其混沌控制[J]． 高等函授学报(自然科学版)，2003，16(2)：1-3,13. Huang B X． Periodic solution and chaotic solution of nonlinear simple pendulum and chaos control[J]． Journal of Higher Correspondence Education(Natural Sciences)， 2003， 16(2)： 1-3,13.

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INTRODUCE SIMPLE PENDULUM OF LARGE ANGULAR AMPLITUDE IN UNIVERSITY PHYSICS TEACHING

Li Rui Liu Gaiqin

(College of Optical and Electronic Information, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054)

Simple pendulum of small angular amplitude is introduced in university physics teaching, but simple pendulum of large angular amplitude is not mentioned. In this paper, Matlab was used to study the motion of simple pendulum of large angular amplitude and the motion curves are obtained. The curves seem like cosine curve and the motion is also periodic. Phase diagram of simple pendulum of small angular amplitude is given and an animation is made to contrast phase diagram with the actual motion. Phase diagram of large angular amplitude shows a more complicated motion of simple pendulum, which is different from the simple harmonic oscillation. On this basis, how to introduce the conclusions in the physics teaching is discussed in order to deepen and broaden students’ understanding of simple pendulum movement.

simple pendulum; Matlab; animation

2015-11-19；

2016-03-08

重庆理工大学高等教育教学改革研究项目2013YB37.

李蕊，女，讲师，主要从事物理教学科研工作,研究方向为凝聚态物理.lrsharper@cqut.edu.cn

李蕊,刘改琴. 大学物理教学中对大角度单摆的介绍[J]. 物理与工程，2016，26(6)：75-77.